5.8  Lösungen der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

Wir betrachten eine von links auf eine Potentialstufe mit endlicher Energiehöhe einfallende Welle. Dies führt zum Ansatz

ψ(x,t) ist harmonisch von der Zeit abhängig. Deshalb ist ϕ(x) ist eine stationäre Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Die Lösungen sind abhängig von der Energie des Teilchens (der Welle) unterschiedlich:

1. Die Energie der einfallenden Welle E ist grösser als die potentielle Energie (E > V ₀). Dann werden wir im ganzen Gebiet wellenartige Lösungen mit Interferenzen bekommen.
2. Die Energie der einfallenden Welle E ist kleiner als die potentielle Energie (E ≤ V ₀). Hier gibt es das Phänomen der evaneszenten Wellen, also an der Grenzfläche lokalisierter Wellen.

Sei ϕ(x) die Ortsfunktion einer einfallenden Welle, die sich in der positiven Richtung der x-Achse ausbreitet. Ihr Impuls ist p₁ = ℏk₁ für x < 0 und p₂ = ℏk₂ für x > 0. Die kinetische Energie ist T = p²∕2m = E und T = p²∕2m = E - V ₀. Also haben wir

(5.1)

und

(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung müssen zweimal differenzierbar sein, d.h. ϕ und ∂ϕ∕∂x müssen stetig sein für alle x. Die Stetigkeit besagt, dass ϕ(x) und ∂ϕ(x)∕∂x für x = 0 dieselben Werte haben müssen. Die Eigenfunktion ϕ(x) hat für x < 0 zwei Komponenten: Eine sich ausbreitende Welle mit der Amplitude A₁ in der positiven Richtung der x-Achse und eine sich ausbreitende Welle (die reflektierte Welle) mit der Amplitude A′₁ in der negativen Richtung der x-Achse. Beide mit demselben Impuls p₁ = ℏk₁. Für x > 0 es gibt nur eine harmonische Welle mit der Amplitude A₂ und dem Impuls p₂ = ℏk₂ (transmittierte Welle), die sich in die positive Richtung der x-Achse ausbreitet. Also erhalten wir für den ersten Fall

	=
	=	(5.4)

(5.5)

und Transmissionskoeffizienten

(5.6)

Diese beiden Koeffizienten beschreiben die Intensität der Reflexion bzw. der Transmission, oder, in anderen Worten, deren Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Vorfaktoren haben die gleiche Funktion wie die Dieklektrizitätszahlen in den Fresnelschen Formeln der Optik. Die Erhaltung der Gesamtenergie verlangt, dass

(5.7)

ist.

Wenn im Gebiet x > 0 die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist (Fall 5.8) wird der Wellenvektor imaginär

(5.8)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen für x > 0 zu finden, exponentiell mit x abnimmt. Weiter haben wir

	=
	=	(5.10)

(5.11)

und für den Transmissionskoeffizienten

(5.12)

Alle Energie wird also reflektiert, aber es gibt im verbotenen Bereich dennoch eine mit der Distanz abnehmende Energiedichte.