Harmonischer Oszillator

©2005-2012 Ulm University, Othmar Marti
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5.10 Harmonischer Oszillator

Wenn die potentielle Energie V (x) eine quadratisch von x abhängt ist die Bewegung des Teilchens beschränkt und analog zum Fall eines klassischen harmonischen Oszillators. Der Operator hat die Form

^ -ℏ2-∂2-- 1- 2 2 H = - 2m ∂x2 + 2 m ω x

(5.1)

mit der potentiellen Energie

V (x ) = 1m ω2x2 2

(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung sind stationär und haben, dem Separationsansatz entsprechend, die Form

ψ(x,t) = e-iEt∕ℏϕ (x)

(5.3)

Damit können wir die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden

ℏ2 ∂2 ϕ 1 - ------2 + --mω2x2 ϕ = E ϕ 2m ∂x 2

(5.4)

Potentielle Energiefunktion eines harmonischen Oszillators.

Wir definieren drei Parameter und ersetzen die Variable x durch u

∘ ---- -ℏ-- b = m ω E ϵ = --- ℏω u = x- b

(5.5)

Die Gleichung 5.4 lautet dann

∂2 - ---2ϕ(u ) + u2ϕ (u) = 2ϵϕ(u) ∂u

(5.6)

Um die Eigenfunktionen ϕ_n und die Eigenwerte ϵ_n (oder E_n) zu finden. definieren wir die folgenden Operatoren

( ) ( ) † -1√-- -∂- -1√--- 2-∂- ^a = 2 u - ∂u = b 2 x - b ∂x ( ) ( ) ^a = -1√-- u + -∂- = --1√--- x + b2-∂- 2 ∂u b 2 ∂x

(5.7)

Die Operatoren ^† und sind nicht hermitisch (also nicht selbstadjungiert). Sie sind aber adjungiert zueinander. Deshalb kann man schreiben

( 2 ) ^a†^a = 1- u2 - 1 - -d-- 2 du2

(5.8)

Also wird Gleichung (5.6)

(^a†^a + 1)ϕ(u) = ϵϕ (u ) 2

(5.9)

Die Hamiltonoperator kann mit den Operatoren und ^† umgeschrieben werden

^ † 1- H = ^a ^a + 2

(5.10)

Der Kommutator der Operatoren und ^† hat den Wert

[ ] ^a,^a† = ^a^a† - a^†^a = 1

(5.11)

Die Eigenschaften des Kommutators zeigen, dass

[^a,^a] = 0

(5.12)

und

[ † †] ^a ,^a = 0

(5.13)

Wir wollen nun untersuchen, wie die Gleichung (5.9) sich ändert, wenn wir sie von links mit oder ^† multiplizieren. Wir schreiben Gleichung (5.9) um

( ) † 1- ^a ^aϕ (u ) = ϵ - 2 ϕ(u)

(5.14)

Multiplizieren wir Gleichung (5.14) von links mit und verwenden Gleichung (5.12) erhalten wir

ϕ(u)	= ϕ(u)
ϕ(u)	= ϕ(u)
	=
^†	=	(5.15)

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.14) mit dem Eigenwert (ϵ- 1∕2) ist, ist ϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.14) , aber mit dem Eigenwert ((ϵ - 1 ∕2) - 1 ) . Der Operator erniedrigt den Eigenwert um 1. Er wird Absteigeoperator oder Vernichtungsoperator genannt.

Multiplizieren wir Gleichung (5.14) von links mit ^† und verwenden Gleichung (5.12) erhalten wir

^†ϕ(u)	= ^†ϕ(u)
^†ϕ(u)	= ^†ϕ(u)
^†ϕ(u)	=
^†ϕ(u)	=
^†	=	(5.16)

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.14) mit dem Eigenwert (ϵ - 1∕2) ist, ist ^†ϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.14) , aber mit dem Eigenwert ((ϵ - 1∕2) + 1) . Der Operator ^† erhöht den Eigenwert um 1. Er wird Aufsteigeoperator oder Erzeugungsoperator genannt.

Wenn wir eine endliche Energieskala haben, muss es eine kleinste Energie und damit auch einen kleinsten Eigenwert geben. Das heisst, es muss eine Ortswellenfunktion ϕ₀(u) geben, auf die angewandt der Vernichtungsoperator eine Nullfunktion ergibt.

^a ϕ0(u) = 0

(5.17)

Wir verwenden die Definition von und erhalten

ϕ₀(u)	= 0
ϕ₀(u)	= 0
uϕ₀(u)	= -ϕ₀(u)
u = -ϕ₀(u)	= - ln
u²	= - ln +
ϕ₀(u)	= C exp	(5.18)

Die Konstante C ergibt sich aus der Normalisierungsbedingung

∞ ∫ * -1∕4 ϕ 0(u )ϕ0(u)du = 1 =⇒ C = π -∞

Die normierte Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators in den Koordinaten u und x ist

( ) ( ) ϕ0(u) = --1- exp - 1u2 =⇒ ϕ0(x) = --1- exp - m-ω-x2 π1∕4 2 π1∕4 2ℏ

(5.19)

Ausgehend von ϕ₀(u) können wir nun durch die wiederholte Anwendung von ^† auf ϕ₀(u) alle Lösungen generieren.

Die ersten nicht normierten Funktionen sind

ϕ₀(u)	= exp
ϕ₁(u)	= exp
ϕ₂(u)	= exp
ϕ₃(u)	= exp
	=	(5.20)

Mit der Normalisierungsbedingung dass das Integral über der Wahrscheinlichkeitsdichte gleich eins sein soll bekommen wir

ϕ₀(u)	= exp
ϕ₁(u)	= exp
ϕ₂(u)	= exp
ϕ₃(u)	= exp
	=	(5.21)

Aus ϕ₀(u) = 0 und Gleichung (5.14) folgt, dass

1- 1- ϵ0 - 2 = 0 =⇒ ϵ0 = 2

(5.22)

Allgemein ist also

ϵ = n + 1- ∀n ∈ ℕ ∪ {0} n 2

(5.23)

Wir erinnern uns an die Substitutionen in Gleichung (5.5) . Deshalb sind die

Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators

( 1 ) En = n + -- ℏ ω ∀n ∈ ℕ ∪ {0} 2

(5.24)

Die gleichabständigen Eneregieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind für diesen charakteristisch. Der kleinste Energieeigenwert E₀ hat den Wert ℏω∕2. Es ist nicht möglich, einen harmonischen Oszillator in Ruhe zu haben. Die minimale Energie E₀ ist die Nullpunktsenergie. Sie bewirkt, dass harmonische Oszillatoren immer energie enthalten, egal wie tief die Temperatur sinkt. Das heisst, die Boltzmannverteilung aus der klassischen Thermodynamik gilt nicht mehr.

5.10.1 Hermite-Polynome und der harmonische Oszillator

Die Lösungen von Gleichung (5.14) können mit Hermite-Polynomen ausgedrückt werden.

1 1 ( u2 ) ϕn(u) = ∘---√---√----Hn (u )exp - --- n! π 2n 2

(5.25)

mit

( ) ∂n ( ) Hn (u) = (- 1)nexp u2 ---n exp - u2 ∂u

(5.26)

Die ersten Hermite-Polynome sind

H0 (u) = 1 H1 (u) = 2u 2 H2 (u) = 4u - 2 H3 (u) = 8u3 - 12u 4 2 H4 (u) = 16u - 48u + 12 H5 (u) = 32u5 - 160u3 + 120u

(5.27)

Die Normierungsbedingung ist erfüllt, da

∞ ∞ ∫ 2 ∫ 1 2 ( 2) ϕ n(u)du = -n--√---Hn (u )exp - u du = 1 ∀n ∈ ℕ ∪ {0} -∞ -∞ 2 n! π

ist. Hermite-Polynome haben die folgenden Eigenschaften

H (- u) = (- n)nH (u) n n

(5.28)

∫ +∞ 2 Hm (u )Hn (u )e- u du = Hm ·Hn = δmn -∞

(5.29)

Die ersten acht Hermite-Polynome.

5.10.2 Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

Wenn wir die Substitutionen aus Gleichung (5.5) rückgängig machen, erhalten wir

ϕ₀(x)	= exp
ϕ₁(x)	= exp
ϕ₂(x)	= exp
ϕ₃(x)	= exp

ϕ_n(x)	= H_n exp	(5.30)
ϕ_n(x)	= ⁿϕ₀(x) = ⁿ exp	(5.31)

Die Normierungsbedingung ist

∫ +∞ * ϕ m(x)ϕn(x )dx = ϕm · ϕn = δmn -∞

(5.32)

Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

5.10.3 Teilchen im endlichen Potentialtopf

Potentialtopf.

Der Fall eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf ist etwas komplizierter als der Fall des unendlichen. Die Wellenfunktion verschwindet nicht am Rand des Topfes. Wir müssen zwei Fälle betrachten: wenn die Energie höher als die Potentialwälle ist, also E > V ₀ und wenn sie kleiner ist. Im ersten Falle haben wir zum Beispiel eine von links einlaufende Welle, die sich an den Diskontinuitäten des Potentials reflektiert. Diese Lösung müsste aus der Lösung des Potentialwalls ablesbar sein. Im zweiten Falle haben wir lokalisierte Wellenfunktionen.

5.10.3.1. Potentialtopf, E > V ₀

Transformation einer Potentialschwelle in einen Potentialtopf

Die Lösungen sind in Gleichung (5.4) angegeben und werden hier nochmals wiederholt.

A′₁	=
A₂	= -
A′₂	=
A₃	= -

A₁ stellt die einfallende Welle dar. der Wert ist frei wählbar. Die Energiewerte müssen aus Gleichung (5.5)

∘ ------ 2mE k1 = k3 = ---2- für x < 0 ∨ x > a ℏ

und Gleichung (5.6)

∘ ------------- 2m-(E----V0) k2 = ℏ2 für 0 ≤ x ≤ a

werden umskaliert mit E → E - V ₀ ausserhalb und E - V ₀ → E im Topf. Wir erhalten

∘ ------------- 2m-(E---V0-) k1 = k3 = ℏ2 für x < 0 ∨ x > a

(5.33)

und

∘------ 2mE k2 = --2-- für 0 ≤ x ≤ a ℏ

(5.34)

Daraus folgen die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten T und R

|| ′||2 R = ||A-1|| = ---(--------(8E√-(V0√---E-))-)------------+ 1 |A1 | V02 1 - cos 2 2 Em a + 8E (EV0 ) ℏ

(5.35)

und

T	= *
	= ² =	(5.36)

Die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten sind also gleich wie bei einer Barriere, sofern E > V ₀ ist. Eine kurze Kontrolle zeigt, dass R + T = 1 ist, wir also keine Teilchen verlieren. Sowohl die Reflexion wie auch die Transmission oszillieren mit der Breite der Barriere a. Die Gleichungen können noch vereinfacht werden:

R = --------(∘----4E-(V0---E))-------------- + 1 V02 sin2 2m (E - V0)aℏ + 4E (E - V0)

(5.37)

und

| |2 T = ||A3-|| = --------(∘----4E-(E----V0))-------------- |A1 | V 2 sin2 2m (E - V )a + 4E (E - V ) 0 0 ℏ 0

(5.38)

Transmission über einen Potentialtopf.

Abbildung 5.10.3.1 zeigt den Transmissionskoeffizienten und den Reflexionskoeffizienten als Funktion der Energiedifferenz von E zu V ₀.

5.10.3.2. Potentialtopf, E < V ₀

Die Energie des Teilchens E kleiner ist als die potentielle Energie der Wände E < V ₀ kann die Schrödingergleichung mit dem allgemeinen Ansatz

ik1x ′ -ik1x ϕ1(x) = A1e + A1e ϕ2(x) = A2eik2x + A′2e-ik2x ik3x ′ -ik3x ϕ3(x) = A3e + A3e

(5.39)

gelöst werden. Hier ist k₁ = k₃. Für x = 0 und x = a sind die Randbedingungen

ϕ (x )| = ϕ (x)| 1 |x=0 2 x=|0 ∂ϕ1(x)|| ∂ϕ2(x)|| ∂x || = ∂x || x=0 x=0

(5.40)

sowie

ϕ2(x )||x=a = ϕ3 (x)|x=|a ∂ϕ2(x)|| ∂ϕ3(x)|| ------|| = ------|| ∂x x=a ∂x x=a

(5.41)

Von links und rechts kommen keine Wellen, also ist A₁ = A′₃ = 0. A₂ oder A′₂ können frei gewählt werden. Wir lassen A₂ als freien Parameter. Dann ist bei x = 0

′ ′ A 1 = A2 + A 2 - k1A ′= k2(A2 - A ′) 1 2

(5.42)

und bei x = a

ik2a ′ -ik2a ik1a A2e + A 2e = A3e k2(A2eik2a - A′2e-ik2a) = k1A3eik1a

(5.43)

Beide Gleichungssysteme können gelöst werden und ergeben eine Beziehung zwischen A′₁, A′₂ als Funktion von A₂ beziehungsweise für A₃ und A′₂ als Funktion von A₂.

A′₁	= A₂	A′₂	= A₂	(5.44a)
A₃	=	A′₂	= e^2ik₂aA₂	(5.44b)

Die beiden Lösungen für A′₂ müssen identisch sein, das heisst die Gleichung

( k + k )2 -2----1 = exp (2ik2a) k2 - k1

(5.45)

muss gelten. Da k₂(E) und k₁(E,V ₀) beides Funktionen von E sind, ist Gleichung (5.45) eine Bestimmungsgleichung für die erlaubten Werte von E. Mit k₂ = √-----
2mE ∕ℏ und k₁ = i ∘ ------------
2m (V - E )
0 ∕ℏ (da E < V ₀ ist) wird Gleichung (5.45)

( √E--+ i√V-----E-)2 ( √ ----- ) -√-------√--0---- = exp i 8mEa ∕ℏ E - i V0 - E

(5.46)

Gleichung (5.46) ist nicht analytisch lösbar. Bei den Lösungen muss sowohl der Realteil gleich sein wie auch der Imaginaärteil. Diese sind

	= cos	(5.47a)
	= sin	(5.47b)

Addiert man die quadrierte Gleichung (5.47a) zur quadrierten Gleichung 5.47b, so erhält man 1 = 1. Es reicht also die numerische Lösung von Gleichung (5.47a) zu bestimmen. Mit E∕V ₀ = x² und κ(V ₀,a) = ( √ ----)
8m ℏ (√ --- )
V0a wird Gleichung (5.47a)

4 2 8x - 8x + 1 = cos(κx )

(5.48)

Die linke Seite der Gleichung ist invariant. x hat den Wertebereich [0, 1]. Die rechte Seite hängt von a √ ---
V0 ab.

Darstellung von 8x⁴ - 8x² + 1 gegen cos(κx) in Abhängigkeit von κ

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die linke und die rechte Seite der Gleichung 5.48. Die Schnittpunkte mit der roten Linie sind die Lösungen x_i. Wenn κ zunimmt, gibt es mehr gebundene Lösungen. Ein zunehmendes κ bedeutet, dass entweder die Potentialtiefe V ₀ zugenommen hat, oder aber die Breite des Topfes a.

Nullstellen von 8x⁴ - 8x² + 1 - cos(κx) = 0 in Abhängigkeit von κ

Abbildung 5.10.3.2 zeigt einen vergrösserten Ausschnitt zur Bestimmung der Nullstellen der Gleichung 5.48.

Relative Energieniveaus des Potentialtopfs als Funktion der Topfbreite a.

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem V ₀ als Funktion der Topfbreite a. Bei kleinem a existieren nur zwei Niveaus, E₀ = 0 und E₁ ≈ V ₀. Wenn a zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Bei a = 4 a.u. sieht man, dass sich zwei Energieniveaus kreuzen. Bei einer vollen Betrachtung würde an dieser Stelle sich eine Bandlücke öffnen.

Energieniveaus des Potentialtopfs als Funktion der Wandhöhe V ₀.

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem a als Funktion der Wandhöhe V ₀. Bei kleinem V ₀ existieren nur zwei Niveaus, E₀ = 0 (hier nicht angezeigt) und E₁ ≈ V ₀. Wenn V ₀ zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Die erste Kreuzung von energieniveaus sieht man bei V ₀ = 16 a.u.

5.10.4 Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: entartete Zustände

2D unendlicher Potentialkasten.

Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalenPotentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Potentialtopfs mit unendlich hohen Wänden (Siehe Abschnitt 5.7). Wenn der Topf die Dimensionen a und b hat (siehe Abbildung 5.10.4) sind die Energieeigenwerte

2 2( 2 n2 ) Enx,ny = ℏ-π-- nx-+ --y nx, ny ∈ ℕ ∪ {0} 2m a2 b2

(5.49)

Die Eigenfunktionen lauten

( ) ( ) ϕ (x, y) = C sin n πx- sin n π y- x a y b

(5.50)

Wenn a∕b oder b∕a ganzzahlig sind, treten unterschiedliche Eigenfunktionen mit dem gleichen Energieeigenwert auf. Man sagt, die Eigenwerte seien entartet. Wenn zum Beispiel a∕b = 1 ist, dann sind die Energien zu den Eigenwerten (n_x,n_y) = (7, 1) und (n_x,n_y) = (5, 5) gleich.

ℏ2π2 E7,1 = E5,5 = 50------ 2ma2

(5.51)

Beim eindimensionalen Potentialtopf mit endlichen Wandhöhen treten für gewisse Kombinationen von Topfbreiten a und Topfhöhen V ₀ Kreuzungen von Niveaus auf. Dies führt wie gezeigt auch zu einer Entartung. Beim zweidimensionalen Potentialtopf mit endlich hohen Wänden tritt der gleiche Effekt auch auf.