Wärmestrahlung ist eine Form elektromagnetischer Strahlung. Die Sonne versorgt so die Erde mit der notwendigen Energie. Aus der Optik wissen wir, dass bei einem Strahlungsfluss Φ auf eine Grenzfläche die folgende Energiebilanz gilt:
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| (3.1) |
wobei ΦT den transmittierten Fluss, ΦR den reflektierten Fluss und Φa den absorbierten Fluss beschreibt. Wir bezeichnen mit ϵ den Absorptionsgrad. Nimmt man an, dass die Probe dick ist, dann gibt es keinen transmittierten Fluss. Dann gilt mit aR = 1 - ϵ
 | (3.2) |
Der Absorptionsgrad ϵ hängt von der Frequenz ab. Wenn dem nicht so wäre, gäbe es zum Beispiel keine Kaltlichtspiegel bei Halogenlampen.
Wenn man die Ausstrahlung einer schwarzen Fläche (ϵ = 1) mit Ps beschreibt ist die Ausstrahlung einer beliebigen Fläche durch
 | (3.3) |
gegeben. Dieses Strahlungsgesetz von Kirchhoff bedeutet, dass die Emissionseigenschaften und die Absorptionseigenschaften zusammenhängen. Gut absorbierende Flächen sind auch gut emittierende Flächen. wenn dem nicht so wäre, könnte man ein Perpetuum Mobile der zweiten Art herstellen.
Nehmen wir an, eine Fläche mit ϵ1 under Temperatur T strahle die Leistung P1 auf die zweite Fläche mit der Temperatur T. Gleichzeitig strahle die zweite Fläche mit ϵ2 die Leistung P2 auf die erste Fläche. Beide Flächen sind im thermischen Gleichgewicht. Dann muss
 | (3.4) |
sein. Dies ist dann der Fall, wenn die aus der Temperatur berechnete Leistung P(T), die auch nur von der Temperatur abhängt, sich mit Pi wie
 | (3.5) |
verhält. Nur dann ist die Gleichung (3.4) erfüllt.
Versuch zur Vorlesung: Pyrometermodell (Versuchskarte
AT-12)
Versuch zur Vorlesung: Infrarotkamera: Optische
Temperaturmessung (Versuchskarte AT-44)
Versuch zur Vorlesung: Wärmestrahlung: Abstandsabhängigkeit
bei einer punktförmigen Quelle (Versuchskarte AT-54)
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 573])
Versuch zur Vorlesung: Hohlraumstrahler: Absorption und
Emission an Rohr mit Loch (Versuchskarte AT-39)
Links: Schematische Darstellung eines schwarzen Körpers. Rechts: Blick auf den Ofen einer Glasbläserei. Die kleine Öffnung wirkt fast wie ein schwarzer Körper.
Licht, das durch die kleine Öffnung in den Hohlraum des schwarzen Körpers eintritt, wird bei jeder Reflexion an der Oberfläche mit der Wahrscheinlichkeit ϵ absorbiert und mit der Wahrscheinlichkeit 1 - ϵ < 1 reflektiert. Nach n Reflexionen ist die verbleibende Intensität des Lichtstrahls auf (1 - ϵ)n abgesunken, sie wird also beliebig klein. Das heisst, der Absorptionsgrad der Öffnung in diesem Hohlraum ist ϵ = 1.
Spektrale Grössen werden hier mit dem Subskript ν
bestimmt.
Wir definieren nun eine spektrale Energiedichte ϱ(ν,T)dν. Sie besteht aus dem Produkt aus der Energiedichte ϱ(ν,T) und dem Frequenzband der Breite dν, das das Intervall (ν,ν + dν) beschreibt. Diese Energie ϱ(ν,T)dν bewegt sich mit der Geschwindigkeit c durch den Raum und zu den Wänden des Hohlraums. Eine ideale schwarze Wand absorbiert diese Energie ϱ(ν,T) und emittiert nach Kirchhoff gleichzeitig Ps,ν(ν,T). Im Gleichgewicht müssen sich die Absorption und die Emission die Balance halten. Wir können also die spezifische Ausstrahlung durch die Energiedichte ϱ ausdrücken1.
 | (3.6) |
oder, integriert über alle Frequenzen,
 | (3.7) |
Die gemessene spektrale Energiedichte sieht wie in der Abbildung 3.2.2 aus.
Spektrale Energiedichteverteilung nach Wellenlänge.
Wenn man die Energiedichteverteilung gegen die Frequenz aufträgt, erhält man:
Spektrale Energiedichteverteilung nach Frequenz
Versuch zur Vorlesung: Plancksches Strahlungsgesetz:
Strahlung einer Glühlampe bei verschiedenen Temperaturen (Versuchskarte
AT-21)
Im Vorgriff auf das Kommende definieren wir das Plancksches Wirkungsquantum
 | (3.8) |
Die Grösse können sie sich mit der Eselsbrücke: h ~ 2π·10-34 Js merken.
Oftmals wird in der Physik, weil es bequemer ist, mit dem reduzierten Wirkungsquantum gerechnet
 | (3.9) |
Auch hier gibt es eine Eselsbrücke: ℏ = 10-34 Js.
Das Wirkungsquantum ist ein Konzept aus der statistischen Physik, einem Teilgebiet der Thermodynamik.
(Siehe Demtröder, Laserspektroskopie [Dem93, p. 8]
Wir betrachten eine elektromagnetische Welle in einem quaderförmigen Hohlraum. Der zeit- und ortsabhängige Vektor ihres elektrischen Feldes ist
![∑
E (r, t) = Ei exp [i(ωit + ki ·r )] + c.c.
i](Images/ap-201279x.png) | (3.10) |
In diesem quaderförmigen Hohlraum, dessen Quaderseiten entlang den Koordinatenachsen seien, gibt es stehende Wellen. Die Wellenzahlen kx, ky und kz sind durch die Ausdehnung in die entsprechende Richtung gegeben. Nur dann wenn eine ganzahlige Anzahl halber Wellenlängen Platz hat, haben wir eine mögliche Welle. Alle Wellen können sowohl in die + wie auch in die --Richtung laufen. Wir haben also
 | (3.11) |
mögliche Kombinationen zu einem Tripel (kx,ky,kz). Bei einem Würfel mit der Seitenlänge L sind die möglichen Wellenzahlen
 | (3.12) |
Der Betrag der Wellenzahlen wird
 | (3.13) |
Damit gibt es zwischen der Kantenlänge und der Wellenlänge die Beziehung
 | (3.14) |
Analog dazu bekommt man mit k = ω∕c die Kreisfrequenzen
 | (3.15) |
Da elektromagnetische Wellen transversal sind, gibt es zwei Polarisationen entlang
den Vektoren 
1 und 
2 (mit 
i·
= 0). Diese beiden Polarisationsvektoren stehen
senkrecht zum Wellenvektor (der Ausbreitungsrichtung). Das elektrische Feld der i-ten
Mode ist
 | (3.16) |
Zu jedem einen Wellenvektor beschreibenden Zahlentripel (nx,ny,nz) gibt es zwei Polarisationen.
Jede beliebige Feldkombination im Hohlraum lässt sich als Linearkombination der Moden mit ihren Modenzahlen nx, ny, nz und den beiden Polarisationen darstellen.
Wir wollen die Anzahl Moden bis zu einer bestimmten Energie bestimmen. Das
heisst, dass ω < ωmax oder k < kmax sein soll. Diese Frage ist äquivalent zu: Wieviele
Wellenvektoren passen in eine Kugel mit dem Radius kmax.Aus ω = 
folgt
 | (3.17) |
Dies ist eine Kugel mit dem Radius R = 
. In dieser Kugel bilden die möglichen
Wellenvektoren ein kubisches Gitter mit der Gitterkonstante 
. Die Randeffekte beim
Abzählen können vernachlässigt werden, wenn
 | (3.18) |
ist. Das Volumen einer Kugel ist V = (4π∕3)r3. Da n
x,ny,nz ∈ ℕ∪
ist,
verwenden wir nur 1∕8 des Kugelvolumens. Die Anzahl Moden bis zu kmax oder ωmax
sind
 | (3.19) |
wobei die Faktoren die Polarisationen, den Bruchteil des Kugelsegments, und Radius des Kugelsegments darstellen. Die Modendichte erhält man durch Ableiten
 | (3.20) |
Die Energie des Lichtes kann nur diskrete Werte annehmen, nach Einstein ist E = hν. Die Wände unseres Resonators sollen die Temperatur T haben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschwingungen mit der Energie W(k) = k·hνim Gleichgewicht mit Wänden der Temperatur T ist dann
 | (3.21) |
wobei n die Gesamtdichte aller Eigenschwingungen im Resonator sind. Die Grösse Z in dieser Gleichung ist die Zustandssumme
 | (3.22) |
Mit dieser Definition ist p(k) normiert:
Die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung ist nun
 | (3.23) |
Die unendliche Reihe hat einen analytisch berechenbaren Grenzwert
 | (3.24) |
Die spektrale Strahlungsdichte ρ(ν,T) bekommen wir, indem die mittlere
Energiedichte pro Eigenschwingung mit der Dichte der Eigenschwingungen
n(ν)dν = 
dν multipliziert wird. Wir erhalten das Plancksche Strahlungsgesetz.
 | (3.25) |
Einsteins Quantenhypothese Ausgehend von seinem Verständnis des Fotoeffekts
[Ein05] kam Einstein zur folgenden Hypothese:
Quantenhypothese Einsteins
Atome, die die Energie hν absorbieren, haben eine höhere Energie als Atome im
Grundzustand
Wir verwenden die folgenden Definitionen:
Wir nehmen thermisches Gleichgewicht an und verwenden deshalb die Boltzmann-Verteilung zur Berechnung der Teilchenzahldichte der angeregten Atome
 | (3.26) |
Albert Einstein nahm an, dass wie in Abbildung fig:energie:austausch dargestellt der Energieaustausch zwischen dem Unteren und dem oberen Zustand auf drei Wegen möglich sei. Die Anregung aus dem unteren Zustand in den oberen Zustand (Niveau) geschieht nur, wenn externe Energie absorbiert. Der höherenergetischen Zustand kann auf zwei Wegen verlassen werden: erstens zufällig (statistisch) oder induziert, das heisst im Takt mit externen Feldern.
Schema der möglichen Anregungen und Emissionen in einem Zweiniveau-Atom.
Einstein hatte als Neuerung die induzierten Emission postuliert. Zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Strahlers verwenden wir die Einsteinsche Formulierung mit Quanten. Ursprünglich hatte Planck das Spektrum mit thermodynamischen Methoden berechnet, wobei h das aus der statistischen Physik bekannte Phasenraumvolumen war. ein Phasenraumelement ist eine Fläche, deren eine Seite eine Länge und deren andere Seite eine Geschwindigkeit ist.
Die Anzahlen der Absorptionen und Emissionen werden wie folgt angegeben:
wobei A den Einsteinkoeffizienten den spontanen Emission, B1 der Einsteinkoeffizienten der Absorption und B2 den Einsteinkoeffizienten der induzierten Emission bedeutet.
Von der Einsteinschen Quantenhypothese zum Planckschen Strahlungsgesetz Im Gleichgewicht muss es gleich viele Emissionen wie Absorptionen geben.
 | (3.28) |
Da die induzierte Emission der Umkehrprozess zur Absorption ist, muss
 | (3.29) |
sein. Wir können Gleichung (3.28) wie folgt umformen
![* -E∕(k T)
B ϱ(ν,T)n0 = (A + B ϱ(ν,T)) n = [A + B ϱ(ν,T)]n0e B](Images/ap-2012111x.png) | (3.30) |
Damit erhalten wir die Energiedichte
![[ -E∕(kBT)] -E∕(kBT )
B ϱ(ν,T)n0 1 - e = An0e](Images/ap-2012112x.png)
Infinitesimal geschrieben bekommen wir
 | (3.31) |
Unbekannt ist nun noch A∕B. Den Koeffizienten berechnet man aus der Modendichte des Hohlraumes
 | (3.32) |
Die Modendichte sagt, wie viele Resonanzen es pro Frequenzintervall gibt. Zusammen bekommen wir das Plancksche Strahlungsgesetz (wie Gleichung (3.25) ).
 | (3.33) |
Es ist nun instruktiv, die beiden Grenzfälle für sehr hohe und für sehr niedrige Frequenzen zu betrachten. Für sehr niedrige Frequenzen, im Grenzfall hν « kBT, gilt
Dies ist das Raileigh-Jeans-Gesetz.
 | (3.34) |
Dieses Gesetz war vor Planck bekannt. Es sagt voraus, dass die Energiedichte gegen hohe Frequenzen zunimmt, dass also im Ultravioletten die gesamte unendlich grosse Energie des Universums konzentriert sei. Diese Ultraviolettkathastrophe zeigt, dass das Gesetz nur in Teilbereichen stimmen kann.
Für sehr hohe Frequenzen, also hν » kBT, gilt
Dann kann das Plancksche Strahlungsgesetz durch das Wiensche Strahlungsgesetz angenähert werden
 | (3.35) |
Das Wiensche Strahlungsgesetz (siehe Abbildung fig:3.5) stimmt einigermassen, aber doch nicht so korrekt wie das Plancksche Strahlungsgesetz. Insbesondere ergibt sich aber bei Wien keine Ultraviolettkathastrophe.
Vergleich der Gesetze von Planck, Wien und Rayleigh Jeans bei 6000K
Penzias und Wilson fanden Anfang der sechziger Jahre des zwanzigsten Jahrhunderts, dass das Rauschen höchstempfindlicher Antennen, wenn sie nach oben gerichtet waren, die gleiche spektralverteilung hatte, wie ein schwarzer Strahler bei etwa 2.7 K. Abbildung 3.2.2.1.2 zeigt die kosmische Energiedichteverteilung
Spektrale Energiedichteverteilung der Hintergrundsstrahlung von 2.735K
Oftmals möchte man die Frequenz ν wissen, bei der das Emissionsspektrum des schwarzen Strahlers maximal ist. Zur Berechnung des Maximums substituieren wir in Gleichung (3.25)
und setzten
Weiter vernachlässigen wir die konstanten Vorfaktoren, die für die Lage des Maximums irrelevant sind. Wir erhalten
 | (3.36) |
Durch Ableiten erhalten wir die Lage des Maximums
Vereinfacht ergibt sich
| 0 | =  | ||
| x3ex | = 3x2(ex - 1) | ||
| ex(3 - x) | = 3 | ||
| ex | =  |
Die Lösung dieser transzendenten Gleichung ist
wobei WL Lambert’s W-Funktion ist. Also kann die Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel (Gleichung (3.25) ) durch das Wiensche Verschiebungsgesetz angegeben werden.
 | (3.37) |
Die folgende Abbildung 3.2.2.2 zeigt eine graphische Darstellung des Wienschen Verschiebungsgesetzes.
Wiensches Verschiebungsgesetz
Die Energiedichte beim Emissionsmaximum des Wienschen Verschiebungsgesetzes ist
 | (3.38) |
Abbildung 3.2.2.2 stellt Gleichung (3.38) graphisch dar.
Energiedichte im spektralen Maximum nach dem Wiensches Verschiebungsgesetz
Versuch zur Vorlesung: Strahlungswürfel nach Leslie:
Emissionsfaktor von verschiedenen Strahlern (Versuchskarte AT-20)
Versuch zur Vorlesung: Stefan-Boltzmannsches Gesetz: mit
Leslie-Würfel (Versuchskarte AT-43)
Wir möchten wissen, wie die Abstrahlung eines schwarzen Körpers von dessen Temperatur abhängt. Dazu definieren wir zunächst die spezifische Ausstrahlung nach Gleichung (3.6) senkrecht zur Oberfläche
 | (3.39) |
Daraus bekommen wir die richtungsabhängige Abstrahlung (θ ist der Winkel zur Normalen)
 | (3.40) |
Diese Grösse ist sowohl von der Frequenz wie auch von der Richtung abhängig. Der Mittelwert einer richtungsabhängigen Grösse ist
 | (3.41) |
Über den Halbraum gerechnet erhalten wir
 | (3.42) |
Zusammen mit der Mittelung über die Frequenz erhalten wir
 | (3.43) |
Diese drei Integrale sind voneinander unabhängig. Wir beachten, dass
und
ist und erhalten
 | (3.44) |
Mit Gleichung (3.25) ergibt dieses Integral
 | (3.45) |
Wir definieren die Stefan-Boltzmann-Konstante
 | (3.46) |
und können dann das Stefan-Boltzmann-Gesetz so formulieren
 | (3.47) |
R ist die in den Halbraum abgestrahlte Leistung bei der Temperatur T. Diese Leistung R(T) ist in der Abbildung 3.2.2.3 in doppelt-logarithmischer Darstellung gezeichnet.
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Empfindlichkeitskurven der Augenrezeptoren skaliert auf gleiche integrale Empfindlichkeit (nach [Mes06])
Was wir Farben nennen, hängt von der Interpretation der Reize unserer Sehnerven ab. Abbildung 3.2.3 zeigt die spektrale Empfindlichkeit des Auges.
Sowohl die Sonne wie auch die Erde sind in ziemlich guter Genauigkeit schwarze Strahler. Abbildung 3.2.4 zeigt die beiden Kurven, wobei die Erde die Temperatur 300 K und die Sonne die Temperatur 6000 K hat. Die Unterschiede der beiden Kurven bewirken, dass die Energiezufuhr zur Erde bei einer anderen Wellenlänge oder Frequenz geschieht wie deren Abstrahlung.
