H Lange der Spinvektors

H. Länge der Spinvektors

Die Darstellung folgt der in Abschnitt 6.3.2.2. gezeigt werden soll, dass

⟨ ⟩ ^s2 = s(s + 1)ℏ2

(H.1)

ist. Die Rechnung aus dem Abschnitt 6.3.2.2 muss modiﬁziert werden, da die Formeln

∑n 2 n(n + 1)(2n + 1) ∑n n (n + 1) i = ----------------- und i = --------- i=1 6 i=1 2

(H.2)

nur für ganzzahlige n deﬁniert sind. Wie vorher gilt

s∑ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ m2s ^s2 = 3 ^s2z = 3--−s----ℏ2 (2s + 1)

(H.3)

Der Nenner gibt die Anzahl Zustände an. Gesucht wird ∑ _−s^sm_s², für halbzahlige s und Werte in Einerschritten. Wir schreiben m_s wie folgt um:

2i −-1 2s-+-1- ms = 2 mit n = 2 und 1 ≤ i ≤ n

(H.4)

Da wir in der Gleichung m_s² haben ist die Summe für die positiven und negativen Werte je gleich. Daraus ergibt sich

Jetzt fügen wir n = 2s+1-
2 ein und erhalten

Damit wird Gleichung (H.3)

s∑ 2 ⟨ ⟩ −sm s 2 (2s + 1)s(s + 1) 2 2 ^s2 = 3(2s-+-1)ℏ = ---(2s-+-1)----ℏ = s(s + 1)ℏ

(H.7)