Elektronen

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4.2 Elektronen

Seit J.J. Thomson [Tho97] das Elektron entdeckt hatte, ist es eines der am genauesten untersuchten Elementarteilchen. Die Kennwerte des Elektrons werden mit den folgenden Methoden bestimmt:

Ladung pro Masse e∕m:: durch Massenspektrometer (Methode aus der Elektrizitätslehre)
Elektronenladung e:: durch den Millikan-Versuch oder durch Elektrolyse
Elektronenradius r:: durch Streuversuche

4.2.1 Ladung des Elektrons

Die Ladung eines Elektrons kann auf elektrochemischem Wege bestimmt werden:

Elektrolyse: Man bestimmt die umgesetzte Molzahl und daraus mit der Gaskonstante R die Materiemenge. Durch Bestimmung der Gesamtladung über eine Integration des Stromes erhält man die Faraday-Zahl F = e·N_A
Massenspektrometer: In gekreuzten - und -Feldern bestimmt man e∕m_e.

4.2.1.1. Millikan-Versuch

Der Millikan-Versuch [Mil11, Mil13, Hol00] ermöglicht eine direkte Bestimmung von e. Millikans Schlüsselidee war, über die viskose Reibung von kleinen Öltröpfchen die Kraft eines elektrischen Feldes auf Ladungen zu bestimmen.

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pict

Bestimmung der Elektronenladung nach Millikan[Mil11, Mil13]

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Der Versuch wird in einer Anordnung wie in Abbildung 4.2.1.1 durchgeführt.

Ein Öltröpfchen mit dem Durchmesser 2r und der Masse m_T = 4π
-3 ϱ_Tr³ wird zwischen die Platten eines Kondensators (Abstand d) gebracht. Auf dem Öltröpfchen beﬁndet sich die Ladung q. Unter dem Einﬂuss der Gravitation F_G, des Auftriebs F_A in Luft (Dichte ϱ_L) und des elektrischen Feldes F_E bewegt sich das Öltröpfchen mit der konstanten Geschwindigkeit v, gegeben durch die Stokesche Reibungskraft F_S .

Dabei treten die folgenden Kräfte auf:

F G + F E + F A + F S = 0

(4.1)

Stokes Gesetz für eine laminare Strömung sagt:

F S = − 6πηvr

(4.2)

Die elektrostatische Kraft ist:

F = qE = − qgrad U = qU-e E d E

(4.3)

wobei _E = ∕ |E | der Einheitsvektor in die Richtung des elektrischen Feldes ist. Dann muss auch die Gravitation berücksichtigt werden:

F G = mT g = 4πϱT r3g 3

(4.4)

Schliesslich haben die Tröpfchen in Luft einen Auftrieb:

4π- 3 F A = − 3 ϱLr g

(4.5)

Kombiniert man die obigen Gleichungen, erhält man für den Zusammenhang von Ladung und Geschwindigkeit

4π- 3 4-π 3 3 ϱTr g − 3 ϱLr g − qgrad U = − 6πηvr

(4.6)

Betragsmässig ergibt sich

4π-(ϱ − ϱ )r3g − q U-= − 6 πηvr 3 T L d

(4.7)

und

U- 4π- 3 q d = 6πηvr + 3 (ϱT − ϱL)r g

(4.8)

Damit kann die Ladung über das elektrische Feld (oder die Spannung), die Dichten, die Viskosität, die Fallstrecke und den Tröpfchendurchmesser bestimmt werden

( ) q = 2πr 3ηv + 2(ϱ − ϱ )r2g d- 3 T L U

(4.9)

Im Einzelnen läuft der Versuch wie folgt ab:

Freier Fall mit U = 0

4π- 3 0 = 6π ηvr + 3 (ϱT − ϱL )r g

0 = 3ηv + 2(ϱ − ϱ )r2g 3 T L

∘ ------------- η·vF all r = 3 ------------- 2 (ϱT − ϱL)g

(4.10)

was ok ist, da v_Fall < 0 ist!

Schwebezustand (v = 0)

U- 4π- 3 q d = 3 (ϱT − ϱL) r g

( )3∕2 q = 4π-(ϱ − ϱ ) r3g d = 4π-(ϱ − ϱ ) ---9ηvF-all--- g-d 3 T L U 3 T L 2 (ϱT − ϱL)g U

┌ ------------ √2-·9 πd ││ η3v3 q = --------- ∘ -----F-all-- U (ϱT − ϱL) g

(4.11)

Gemessene Geschwindigkeit v

also (4.9)

6πrd ( 2 ) q = ----- ηv + -(ϱT − ϱL)r2g U 9

(4.12)

Der Schwebezustand ist fast nicht experimentell erreichbar, deshalb misst man im Wesentlichen v(U), wobei U = ±U₀ zwei Werte annimmt.

Setzt man (4.10) in Gleichung (4.12) ein, erhalten wir

Hier ist

∘ ------------- --η·vF-all--- A = 18πd η 2(ϱ − ϱ )g und B = vF all T L

(4.14)

Millikan[Mil13] erhielt als Wert für die Elektronenladung e = 1.592·10⁻¹⁹C.


	Versuch zur Vorlesung:
	Millikan-Versuch: Ladung von Öltröpfchen (Versuchskarte AT-13)

4.2.2 Grösse des Elektrons

Das Elektron mit seiner kleinen Masse ist eines der Objekte, bei dem quantenmechanische Eigenschaften besonders ausgeprägt sind. Je grösser die Masse eines Objektes, desto eher verhält es sich klassisch. Wenn man annimmt, dass die Selbstenergie des elektrischen Feldes der relativistischen Ruheenergie des Elektrons entspricht, kann ein klassischer Elektronenradius r_e,class = 2.8·10⁻¹⁵ m bestimmt werden. Belloni [Bel81] zeigt, dass eine andere Überlegung von Fermi auf einen etwa zwölf mal grösseren Elektronenradius führt. Neuere Experimente durch zum Beispiel Dehmelt [Deh88] haben jedoch gezeigt, dass der quantenmechanisch korrektere Radius des Elektrons r_e,QM < 10⁻²² m sein muss. Genaueres ist nicht bekannt, es gibt keine abschliessende Aussage über den Elektronenradius. Es kann gut sein, dass ein Elektron eine sehr gute Approximation eines mathematischen Punktteilchen ist, fast eine Divergenz im Raum.

Um den klassischen Elektronenradius zu berechnen, beginnen wir mit der Ladungsdichte ϱ_el einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius r

4π 3 Q (r) = -3-ϱelr

Wenn bei der gleichen Ladungsdichte eine Kugelschale mit der Dicke dr dazugefügt wird, trägt diese eine Ladung

2 dQ (r) = 4πϱelr dr

Die Ladung Q wirkt auf eine Probeladung dQ im Abstand r vom Zentrum von Q mit der Kraft

--1--QdQ-- F (r) = 4π𝜖 r2 0

Hält man nun Q und dQ fest und führt dQ vom Unendlichen auf die Distanz r, so muss die folgende Energie zugeführt werden:

∫r ∫r QdQ-- 1- --1--QdQ-- dEpot(r) = − F (˜r)d˜r = − 4π 𝜖0 ˜r2d˜r = 4 π𝜖0 r ∞ ∞

Die gesamte Energie in der homogen geladenen Kugel ist

∫r ∫r ∫r 4π 3 2 -1--- Q-(˜r)dQ-(˜r) --1-- -3-ϱel˜r-4π-ϱel˜r- 4πr5ϱ2el Epot,tot = dEpot = 4π𝜖0 ˜r = 4π 𝜖0 ˜r d ˜r = 15 𝜖0 0 0 0

(4.15)

Die Ladungsdichte kann mit dem noch unbekannten Elektronenradius r_e wie folgt berechnet werden:

4-π 3 e = 3 ϱelre

Wir setzen die Ladungsdichte ϱ_el in (4.15) ein und erhalten so für eine homogen geladene Kugel

2 E (e,r ) = --3e---- selbst,homogen e 20π 𝜖0re

(4.16)

Diese Energie setzen wir der relativistischen Ruheenergie der Masse m_e gleich.

2 Erel = mec

(4.17)

Setzen wir Gleichung (4.16) und Gleichung (4.17) gleich und lösen nach dem Elektronenradius r_e auf, erhalten wir

2 re,class,homogen = 3--1---e---= 1.7·10 −15 m 54π 𝜖0mec2

(4.18)

Andererseits kann man den klassischen Elektronenradius auch berechnen, wenn man annimmt, dass die gesamte Ladung an der Oberﬂäche konzentriert sei. Dazu betrachtet man das elektrische Feld einer Ladung e

--1--e- E(r) = − 4π 𝜖 r2 0

Die Energiedichte dieser Ladung ausserhalb ist

𝜖 ( 1 e )2 e2 w(r) = -0 − ------2 = ---2---4- 2 4π 𝜖0r 32π 𝜖0r

Der Energieinhalt des elektrischen Feldes ausserhalb in Kugelkoordinaten ist

∫∞∫π 2∫π 2 EF eld = w (r)·r sin(Θ )·dr ·d Θ·d ϕ re0 0 ∞∫ = 4π w (r)·r2·dr re ∞∫ ----e2--- = 4π 32 π2𝜖0r2·dr re e2 ∫∞ 1 = ----- -2·dr 8π 𝜖0re r e2 1 ||∞ e2 = − -------|| = ------- 8π𝜖0 r re 8π 𝜖0re

Durch Gleichsetzen mit Gleichung (4.17) erhalten wir

1 e2 −15 re,class,Schale = 2-4π𝜖-m--c2 = 1.4·10 m 0 e

(4.19)

Wir haben also zwei leicht unterschiedliche Resultate für die homogene Ladung und die Oberﬂächenladung. Sie unterscheiden sich durch die Vorfaktoren 3∕5 und 1∕2. Deshalb, und weil es im cgs-System so schön aussieht deﬁniert man

Der klassische Elektronenradius ist

e2 re,class = --------- = 2.8·10 − 15 m 4π𝜖0mec2

(4.20)

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