5.3  Eigenfunktionen und Eigenwerte der Schrödingergleichung

Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die Energieeigenwerte des betrachteten Systems. In den nächsten Abschnitten sollen die Energieeigenwerte der Schrödingergleichung für verschiedenen Potentialfunktionen berechnet werden.

5.3.1  Stationäre Zustände

Messbar sind nur Erwartungswerte eines Operators und eines Zustandes charakterisiert durch die Wellenfunktion ψ. Nach Gleichung (5.26) kann die Wellenfunktion ψ immer mit einem konstanten Phasenfaktor multipliziert werden, ohne dass sich der Erwartungswert ändert, da dieser Phasenfaktor den Beitrag e^iαe^−iα = 1 gibt. Wenn der Zustand eines Systems ψ eine ortsabhängige Linearkombination zweier Eigenfunktionen ψ₁ = a₁(x) exp(−iω₁t) und ψ₂ = a₂(x) exp(−iω₂t) ist, wobei a₁(x),a₂(x) ∈ℂ und ein gemeinsamer Phasenfaktor e^iα, α ∈ℝ, auftreten kann, gilt

(5.1)

Wenn die Wellenfunktionen ψ₁ und ψ₂ zweier Zustände sich zeitlich nicht ändern, dann nennt man sie stationär und die Wahrscheinlichkeitsdichten p₁ = ψ₁∗·ψ ₁ und p₂ = ψ₂∗·ψ ₂ haben zeitlich sich nicht ändernde Werte. Im Dialekt der Quantenphysiker nennt man das scharfe Werte. Die entsprechenden Eigenwerte sind zeitunabhängig.

Obwohl die Funktionen ψ₁ und ψ₂ stationäre Zustände sein sollen, also zeitlich unveränderlich, ist die Summe ψ nicht stationär. Die kurze Rechnung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ∗ψ ist also zeitlich nicht konstant, das heisst nicht stationär. Es gibt keinen zeitlich konstanten Energieeigenwert zu dieser Funktion.

Zustände, die Eigenzustände des Energieoperators = iℏ sind, ändern sich mit der Zeit nicht. Sie werden stationäre Zustände genannt.

5.3.2  Kanonische konjugierte Variablen

Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik eines Systems mit der Lagrangefunktion L beschreibt die mechanischen Bewegungsgleichungen mit verallgemeinerten Ortskoordinaten q_i und verallgemeinerten Impulskoordinaten p_i = ∂L∕∂_i. Die Variablen q_i und p_i werden üblicherweise kanonische konjugierte Variablen genannt.

In Quantenmechanik gibt es ein analoges Konzept zu kanonisch konjugierten Variablen, die kanonisch konjugierten Operatoren. Dies sind

• Ort und Impuls _x
• Winkel und Drehimpuls
• Zeit t und Energie (Die Zeit t ist in der Quantenmechanik eine klassische Variable, kein Operator.)

Die Definitionen der Operatoren sind

wobei , und die Einheitsvektoren sind, die das Koordinatensystem aufspannen.

5.3.3  Vertauschungsrelationen

Analog zur Poissonklammer der klassischen Mechanik gibt es in der Quantenmechanik Kommutatoren.

Die mathematische Operation heisst Kommutator.

So wie die Operatoren in der Quantenmechanik definiert sind, gelten die folgenden Vertauschungsrelationen:

Ort und Impuls

(5.4)

mit

Energie und Zeit

(5.5)

mit

Die Vertauschungsrelationen von konjugierten Operatoren heissen auch Unschärferelationen. Sie sind eine Konsequenz der Wellennatur der Lösungen der Schrödingergleichung und wurden von Werner Heisenberg gefunden. Die Energie-Zeit-Unschärferelation gilt oftmals nicht als echte Unschärferelation, da die Zeit kein Operator ist.