5.8  Lösungen der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

Wir betrachten eine von links auf eine Potentialstufe mit endlicher Energiehöhe einfallende Welle. Dies führt zum Ansatz

ψ(x,t) ist harmonisch von der Zeit abhängig. Deshalb ist ϕ(x) eine stationäre Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Die Lösungen sind abhängig von der Energie des Teilchens (der Welle) unterschiedlich:

1. Die Energie der einfallenden Welle E ist grösser als die potentielle Energie (E > V ₀). Dann werden wir im ganzen Gebiet wellenartige Lösungen mit Interferenzen bekommen.
2. Die Energie der einfallenden Welle E ist kleiner als die potentielle Energie (E ≤ V ₀). Hier gibt es das Phänomen der evaneszenten Wellen, also an der Grenzfläche lokalisierte Wellen.

Sei ϕ_j(x) = A_j exp(−ik_jx), j = 1 für x < 0 und j = 2 für x > 0, die Ortsfunktion einer einfallenden Welle mit der Energie E, die sich in der positiven Richtung der x-Achse ausbreitet. Ihr Impuls ist p₁ = ℏk₁ für x < 0 und p₂ = ℏk₂ für x > 0. Die kinetischen Energien sind T₁ = p₁²∕2m = E und T ₂ = p₂²∕2m = E − V ₀. Also haben wir

(5.1)

und

(5.2)

Zusätzlich muss für x < 0 eine rücklaufende Welle mit ϕ′₁(x) = A′₁ exp(ik₁x) betrachtet werden

Die Lösungen der Schrödingergleichung müssen zweimal differenzierbar sein, d.h. ϕ und ∂ϕ∕∂x müssen stetig sein für alle x. Die Stetigkeit besagt, dass ϕ(x) und ∂ϕ(x)∕∂x für x = 0 dieselben Werte haben müssen. Die Eigenfunktion ϕ(x) hat für x < 0 zwei Komponenten: Eine sich ausbreitende Welle mit der Amplitude A₁ und der Wellenfunktion ϕ₁(x) = A₁e^−ik₁x in der positiven Richtung der x-Achse und eine sich ausbreitende Welle (die reflektierte Welle) mit der Amplitude A′₁ und der Wellenfunktion ϕ′₁(x) = A′₁e^ik₁x in der negativen Richtung der x-Achse, beide mit demselben Impuls p₁ = ℏk₁. Für x > 0 es gibt nur eine harmonische Welle mit der Amplitude A₂, der Wellenfunktion ϕ₂(x) = A₂e^−ik₂x und dem Impuls p ₂ = ℏk₂ (transmittierte Welle), die sich in die positive Richtung der x-Achse ausbreitet. Also erhalten wir für den ersten Fall

oder

Wir definieren die folgenden Grössen als Reflexionskoeffizienten

(5.5)

und Transmissionskoeffizienten

(5.6)

Beachten Sie beim Transmissionskoeffizienten die Analogie zu den Fresnelschen Formeln [Mar17, Kap. 6.8]. Diese beiden Koeffizienten beschreiben die Intensität der Reflexion bzw. der Transmission, oder, in anderen Worten, deren Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Vorfaktoren haben die gleiche Funktion wie die Dielektrizitätszahlen in den Fresnelschen Formeln der Optik. Die Erhaltung der Gesamtenergie verlangt, dass

(5.7)

ist.

Wenn im Gebiet x > 0 die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist (Fall b)) wird der Wellenvektor imaginär

(5.8)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen für x > 0 zu finden, exponentiell mit x abnimmt. Weiter haben wir

Wie immer ist A₁ frei wählbar. Wir erhalten

für den Reflexionskoeffizienten

(5.11)

und für den Transmissionskoeffizienten

(5.12)

Alle Energie wird also reflektiert, aber es gibt im verbotenen Bereich dennoch eine mit der Distanz abnehmende Energiedichte.