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5.12  Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: entartete Zustände

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2D unendlicher Potentialkasten.

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Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalen Potentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Potentialtopfs mit unendlich hohen Wänden (siehe Abschnitt 5.7). Wenn der Topf die Dimensionen a und b hat (siehe Abbildung 5.12) sind die Energieeigenwerte

           2 2(  2     2)
E      = ℏ--π-  nx-+  ny-       n ,n  ∈ ℕ ∪ {0}
  nx,ny    2m    a2    b2         x  y
(5.1)

Die Eigenfunktionen lauten

              (      )    (      )
ϕ(x,y) = C sin  nxπ x- sin  nyπy-
                    a           b
(5.2)

Wenn a∕b oder b∕a ganzzahlig sind, treten unterschiedliche Eigenfunktionen mit dem gleichen Energieeigenwert auf. Man sagt, die Eigenwerte seien entartet. Wenn zum Beispiel a∕b = 1 ist, dann sind die Energien zu den Eigenwerten (nx,ny) = (7, 1) und (nx,ny) = (5, 5) gleich.

                 ℏ2π2
E7,1 = E5,5 = 50-----2
                2ma
(5.3)

Beim eindimensionalen Potentialtopf mit endlichen Wandhöhen treten für gewisse Kombinationen von Topfbreiten a und Topfhöhen V 0 Kreuzungen von Niveaus auf. Dies führt wie gezeigt auch zu einer Entartung. Beim zweidimensionalen Potentialtopf mit endlich hohen Wänden tritt der gleiche Effekt auch auf.



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