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6.4  Atome im Magnetfeld

6.4.1  Stern-Gerlach-Experiment



Versuch zur Vorlesung:
Stern-Gerlach-Versuch (Versuchskarte AT-64)


Wenn Atome magnetische Momente haben, werden sie in einem Magnetfeldgradienten abgelenkt. In einem homogenen Magnetfeld jedoch gibt es keine Ablenkung. Im Experiment von Stern und Gerlach wurden neutrale Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt.

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Versuchsaufbau Stern-Gerlach-Versuch

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Abbildung 6.4.1 zeigt den symbolischen Aufbau. In einem homogenen Magnetfeld wirkt auf ein magnetisches Moment keine Kraft. Wenn das magnetische Moment μ nicht parallel zur magnetischen Induktion B ist, präzediert das magnetische Moment μ = mA = I·A·n wegen dem Drehmoment M = μ×B. Die magnetische Lageenergie ist

Epot = − μ·B
(6.1)

Die Kraft auf einen Dipol im Gradientenfeld ist

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Bei einem üblichen thermodynamischen System erwartet man, dass die magnetischen Momente μ beliebig zu B orientiert sind.

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Skizze: Erwartete (links) und gemessene Verteilung der Elektronen beim Stern-Gerlach-Versuch.

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Abbildung 6.4.1 zeigt eine Skizze der erwarteten und, rechts, der gemessenen Verteilung. Die Ergebnisse zeigen, dass die z-Komponente des magnetischen Momentes der Silberatome im Magnetfeld quantisiert ist.

6.4.1.1. Drehimpulsoperator

Um zu einem Ausdruck für den Drehimpulsoperator zu kommen, betrachten wir den Strom in einem Atom.

I = ----q--- = −-eω-
    TUmlauf     2π
(6.2)

Der Drehimpuls ist (eine Erhaltungsgrösse auch für Ellipsenbahnen

|ℓ| = m  ωr2 = m  ω2 A-  da  πr2 =  A
       e        e   π
(6.3)

Der Drehimpuls ist also proportional zu der Fläche A des Kreisstromes. Das magnetische Moment ist

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Das Minuszeichen rührt von der negativen Elementarladung her. Setzt man den Betrag des Drehimpulses gleich dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum,

||^||
|ℓ| = ℏ

erhält man das Bohrsche Magneton

μB =  -eℏ-
      2me
(6.6)

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Zusammenhang zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment

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Das magnetische Moment des Elektrons ist (siehe Abbildung 6.4.1.1)

            ℓ
μ ℓ = − g ℓμB ℏ
(6.7)

Die Grösse g ist der gyromagnetische Faktor oder der sogenannte g-Faktor. Beim magnetischen Moment eines Kreisstromes ist g = g = 1. Die Eigenwerte des magnetischen Momentes sind:

          ∘ --------          ∘ --------
                         -eℏ-
μ ℓ = g ℓμB  ℓ (ℓ + 1) = gℓ2me    ℓ(ℓ + 1)
(6.8)

Die Drehimpulsänderung bei der Präzession ist

dℓ-                μB-
dt = μ ℓ × B = − gℓ ℏ  (ℓ × B )
(6.9)

Die Frequenz dieser Präzession ist die Larmor-Frequenz

      |μ-|   μ-·B--   gℓμBBz--
ω ℓ = |ℓ| =   ℏ    =    ℏ    =  γBz
(6.10)

Hier ist γ das gyromagnetische Verhältnis. Gyromagnetisches Verhältnis und gyromagnetischer Faktor hängen über

γ =  |μ| = μB-g
      ℏ     ℏ
(6.11)

zusammen. Die Einheit ist [γ] = Askg1 = s1T1.



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