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6.5  Elektronenspin



Versuch zur Vorlesung:
Elektronenspinresonanz: Modellversuch (Versuchskarte AT-31)




Versuch zur Vorlesung:
Elektronenspinresonanz: ESR an DPPH (Versuchskarte AT-29)


6.5.1  Magnetische Spin-Bahn-Kopplung

Elektronen können für viele Untersuchungen als punktförmige Teilchen angesehen werden. Wenn der klassische Elektronenradius berechnet wird, wird eine ausgedehnte Ladungswolke angenommen. Wenn diese Wolke einen Eigendrehimpuls hat, dann gibt es einen Kreisstrom und damit ein magnetisches Moment. Der Eigendrehimpuls des Elektrons heisst Spin, der mit dem Vektor s bezeichnet wird. Aus den klassischen Überlegungen kann aus dem Drehimpuls das magnetische Moment berechnet werden. Dieses so berechnete Moment ist jedoch nicht gleich dem gemessenen magnetischen Moment – ein Zeichen, dass hier die klassische Mechanik die Physik nicht mehr richtig beschreibt.

Analog zum Bahndrehimpuls ℓ haben wir

       ∘ ---------
|s| = ℏ  s (s + 1 )
(6.1)

__________________________________________________________________________

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Elektronenspin s, Betrag |s| und z-Komponente sz.

_____________________________________________________________________

Der Zusammenhang zwischen dem Bahndrehimpuls ℓ und dem dazugehörigen magnetischen Moment μ, beziehungsweise dem Spin s und dessen magnetischem Moment μs (siehe auch Abbildung 6.5.1) ist

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wobei

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ist. Der Wert von g ist wie erwartet. Der Wert von gs ist überraschend:

Das magnetische Moment des Elektronenspins kann mit dem Bohrschen Magneton ausgedrückt werden

μs,z = ±1.00116 μBohr
(6.4)

Das Verhältnis zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment heisst gyromagnetisches Verhältnis γ = |μ|
 |ℓ|. Das gyromagnetische Verhältnis für den Bahndrehimpuls und den Spin ist

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Der Spin kann zum Beispiel mit dem Stern-Gerlach-Versuch nachgewiesen, siehe Abbildung 6.4.1.

6.5.2  Feinstruktur und Ein-Elektronen-Atome



Versuch zur Vorlesung:
Natrium: Feinstruktur der D-Linie (Versuchskarte AT-48)


Wenn man die Natrium-D-Linie untersucht, findet man, dass diese in ein Dublett aufgespalten ist. Diese Aufspaltung nennt man auch Feinstruktur. Sie entsteht, weil der Spin und der Bahndrehimpuls wechselwirken.

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Spin-Bahn-Kopplung

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Abbildung 6.5.2 zeigt eine Skizze der Spin-Bahn-Kopplung. Der Drehimpuls l und der Spin s bilden zusammen den Gesamtdrehimpuls j.

      ∘ ---------
|j| =   j (j + 1)ℏ
(6.7)

mit |j| = |ℓ ± s |.

Wir betrachten ein p-Elektron mit der Bahndrehimpulsquantenzahl = 1 und der Spinquantenzahl s = 1
2.

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Wenn der Bahndrehimpuls verschwindet (= 0) wird die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses gleich der Quantenzahl des Spins j = s.

Die magnetische Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses, die die Richtungsquantisierung darstellt, ist

jz = mj ℏ           mj  = − j ...− j für j ∈ ℤ
(6.10)

Wie beim Bahndrehimpuls und dem Spin gehört zu jedem Gesamtdrehimpuls j ein magnetisches Moment μj. Für optische Übergänge gilt die Auswahlregel: Δj = 0,±1, wobei der Übergang j = 0 j = 0 verboten ist.

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Spin-Bahnkopplung nach Bohr

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Zur Berechnung der Spin-Bahn-Aufspaltung im Magnetfeld betrachtet man das Atom im Ruhesystem des Elektrons. Nach Biot-Savart ist das Magnetfeld der Kernladung +Ze

B ℓ = + Ze-μ0 [v ×  (− r)] = − Ze-μ0v × r
        4πr3                 4πr3
(6.11)

wobei ℓ = r× mev ⇒−ℓ = mev×r verwendet wurde. Also ist das Magnetfeld

      Zeμ0  ℓ
B ℓ = ----3---
      4πr  me
(6.12)

Der Spin des Elektrons präzediert um B.

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pict pict

Spinpräzession. Links Skizze, rechts Vektoraddition

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Nach Gleichung (6.2a) ist das magnetische Moment eines Spins μs = gs-e--
2mes. Setzt man dies in die Gleichung für die Lageenergie eines magnetischen Moments in einer magnetischen Induktion Eℓ,s = μs·B ein, erhält man

         (          )
E ℓ,s = −  − gs--e-s  ·B   = gs--e- (s·B  )
              2me             2me
(6.13)

Wenn man gs = 2 setzt, erhält man mit Gleichung (6.12)

         e             Ze2 μo
E ℓ,s = 2----(s·B  ) = -----2-3 (s· ℓ)     Achtung:  Falsch!
        2me           4 πm er
(6.14)

Eine genaue relativistische Betrachtung sowie experimentelle Daten zeigen, dass die Gleichung (6.14) um einen Faktor 12 zu falsch ist. Llewellyn Thomas entdeckte während seiner Doktorarbeit, dass bei der Rücktransformation aus dem mitrotierenden Koordinatensystem ins Laborsystem die relativistische Zeitdilatation berücksichtigt werden muss [Tho26]. Seine Argumentation (im cgs-System!) war wie folgt:

Das Elektron präzediert um das externe Magnetfeld mit --e
mecH (SI: ωs = gseμ0-
2meH). Das Elektron bewegt sich mit der Geschwindigkeit v durch die elektrische Verschiebung D = 𝜀0E des Kerns, was nach Maxwell zu einem Magnetfeld

      1-
H  =  cE  × v  (SI: H =  D ×  v)

führt. Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit ist dann

       e             e               g eμ
ω =  ----2E ×  v = ----H   (SI: ωs = -s---0D ×  v)
     mec           mec                2me

Diese Gleichung ist falsch. Das Elektron erfährt eine Beschleunigung a. Man muss eine Lorentz-Transformation mit der Geschwindigkeit v + adt verwenden, sowie beachten, dass der Spin zur Zeit t + dt gedreht ist. Also hat man nach Thomas eine Geschwindigkeit adt und eine Rotation (12c2)v×adt zu beachten. Die Präzession wird dann in erster Näherung durch

ωT homas =  --e--E ×v − -1-v×a   (SI: ωThomas = gseμ0D ×v  − v ×-a)
           mec2        2c2                     2me           2c2

Nun ist die Beschleunigung durch

       -e-
a =  − me E

gegeben. Also ist die Präzessionswinkelgeschwindigkeit

                                  (        )
             --e--         -1-        -e-
  ωT homas =  mec2 E × v −  2c2v ×   − me E
     e              e              e              e
 = ----2E  × v + -----2v ×  E =  -----2E ×  v = -----H
   mec           2mec           (2mec   )       2mec
SI: ωThomas = gseμ0D  ×v − -v-×  − -e-E   =  gseμ0𝜀0E ×v − ---e--E ×v
               2me         2c2     me          2me         2mec2
     e  (          1)         e (gs − 1 )μ0          e(gs − 1)μ0
 = ----  gsμ0𝜀0 − -2  E ×v  = ------------𝜀0E ×v  =  -----------H
   2me            c               2me                   2me
(6.15)

Die Winkelgeschwindigkeit der Thomaspräzession ist halb so gross wie die naiv berechnete. Deshalb wird auch die Energie des magnetischen Momentes halb so gross sein. Aus der Argumentation von Thomas folgt, dass Gleichung (6.14) mit dem Faktor 12, dem aus der relativistischen Betrachtung folgenden Thomasfaktor korrigiert werden muss. Wir haben also für die Energie

       Ze2 μ
Eℓ,s =  -----e-(s ·ℓ)
       8πm2er3
(6.16)

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Beziehung zwischen j, ℓ und s nach dem Cosinus-Satz. (ℓ,s ) bezeichnet den Winkel zwischen ℓ und s.

_____________________________________________________________________

Aus dem Cosinus-Satz für beliebige Dreiecke (siehe Abbildung 6.5.2)

c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ
(6.17)

erhalten wir mit der Winkelidentität

γ = π −  𝜀      =⇒       cos γ = − cos 𝜀
(6.18)

und

∠(a,b) = 𝜀
(6.19)

schliesslich

|j|2 = |ℓ|2 + |s |2 + 2|ℓ||s|cos(∠ (ℓ,s))
(6.20)

Gleichung (6.16) mit dem Zwischenwinkel zwischen ℓ und s kann also auch

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geschrieben werden. Andererseits ist mit Gleichung (6.20)

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Setzt man in Gleichung (6.22) = 1, s = 1
2 und j = 3
2 oder j = 12, erhält man die in der Abbildung 6.5.2 gezeigten Aufspaltung durch die Spin-Bahn-Kopplung.

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p-Aufspaltung nach Gleichung (6.22).

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Der Radius r in der Konstanten a in Gleichung (6.21) ist rn, der Radius der n-ten Bohrschen Bahn. Für diese Bahn gilt

     4π 𝜀0ℏ2n2
rn = ----2----
      Ze  me
(6.23)

und damit

     Z4
a ∝  ---
     n6

Da es in der Quantenphysik keine festen Bahnen gibt, muss r3 durch den mit der Wellenfunktion gewichteten Wert

⟨ 1-⟩     ∫    |ψ|2
  r3  =         r3 dV
        Volumen
(6.24)

ersetzt werden. Man erhält so

    --------Z4--------
a ∝   3 (    1)
    n ℓ  ℓ + 2 (ℓ + 1)
(6.25)

6.5.2.1. Elektronenspin-Resonanz

__________________________________________________________________________

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Elektronenspinresonanz

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Die präzedierenden Elektronenspins (Skizze in Abbildung 6.5.2.1) wechselwirken besonders stark mit Licht, wenn dieses in Resonanz mit der Präzessionsfrequenz ist. Die Länge eines Spins ist

      ∘ -----
        1   3    √3--
|s| =   --· --= ---- ≈ 0,81
        2   2     2
(6.26)

Dieser steht dann im Winkel α zum Magnetfeld.

        1  2      1
cos α = --√---=  √---=  54.73 ∘
        2   3      3
(6.27)

Das magnetische Moment eines Spins in Einheiten des Bohrschen Magnetons μB ist

      ∘---------

μs =   s (s + 1)μB·gs
(6.28)

wobei seine z-Komponente entlang des Magnetfeldes durch

        1-
μs,z = ± 2 gsμB
(6.29)

gegeben ist. Die beiden möglichen Niveaus haben den Energieunterschied

ΔE  =  gsμBB0
(6.30)

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Situation von oben gesehen

_____________________________________________________________________

Übergänge treten auf, wenn die Energie des Lichtes dem Energieunterschied der beiden Spinzustände entspricht.

ΔE  =  hν = gsμBB0
(6.31)

oder

             10         −1
ν = 2.806·10   ·B0  HzT
(6.32)

Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit (Skizze in Abbildung 6.5.2.1) ist

ω  = |μ-||B0-| =  |M--|-= γB
  ℓ     |L |      |L|       0
(6.33)

mit einem von den atomaren Zuständen abhängigen Proportionalitätsfaktor γ.

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Elektronen-Spin-Resonanz: Aufbau

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Abbildung 6.5.2.1 zeigt den Aufbau einer ESR-Apparatur. Die Resonanz der Mikrowellen mit den Spins im Magnetfeld bewirkt einen Abfall des Signals an der Detektionsdiode.

6.5.3  Zeeman-Effekt



Versuch zur Vorlesung:
Normaler Zeeman-Effekt: Berechnung von e∕m (Versuchskarte AT-14)


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Zeeman-Effekt klassisch

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Die Wechselwirkug der Spins und der Bahndrehimpulse mit der magnetischen Induktion bewirkt eine Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld.

Eine lineare elektromagnetische Schwingung schräg zum B-Feld kann in drei Komponenten aufgeteilt werden. Diese drei Polarisationskomponenten ergeben wieder die ursprüngliche elektromagnetische Schwingung. Die Polarisationskomponenten sind in Abbildung 6.5.3 gezeigt:

  1. eine lineare Schwingung parallel zu B0,
  2. eine linkszirkulare Schwingung
  3. und rechtszirkulare Schwingung.

Die magnetische Induktion B beeinflusst die lineare Schwingung nicht. Die zirkularen Schwingungen (linkszirkular) und (rechtszirkular) beschleunigen oder bremsen die Umlauffrequenz der Elektronen auf ihren Bahnen. Die Frequenzänderung wird die Larmor-Frequenz genannt. Sie ist

            1       e         μ
Δ ω =  ωL = --·g ℓ· ---B0  = gℓ-B-B0
            2      me          ℏ
(6.34)

Entsprechend den Überlegungen zu (6.2b) ist beim Bahndrehimpuls ist g = g = 1.

Die Bewegungsgleichung eines Elektrons im Magnetfeld lautet

     2                       2     (       )
me -d-r =  FC +  F L = − -Ze---r +   − e d-r ×  B
   dt2                   4π𝜀0r3         dt
(6.35)

Beachten Sie, dass die Ladung des Elektrons negativ ist und dass die externe magnetische Induktion als B0 = const angenommen wird.

Allgemein lautet die Identität zwischen Coulombkraft und Zentripetalkraft

    2      Ze2
me ω0r =  4π𝜀-r3r
             0
(6.36)

Zusammen und auf einer Seite (die z-Komponente der Lorentzkraft ist null) erhalten wir

                 2
(a)  me x¨+ me ω 02x + ey˙B0   =   0
(b)  me y¨+ me ω 0y − e x˙B0  =   0
(c)  me z¨+ me ω20z           =   0
(6.37)

Für die z-Komponente folgt aus Gleichung (6.37) (c), dass z = z0 exp (iω t)
   0 nicht von der magnetischen Induktion B0 abhängt. Wir setzen u = x + iy und v = x iy, oder x = u+v
-2-- und y = u−v
-2i- und erhalten aus Gleichung (6.37) (a) und (b), den Gleichungen für die x- und die y-Komponenten

(a)  me-(¨u + ¨v) + meω20 (u + v) + e-(˙u − ˙v)B0   =  0  |·2i
(b)  m2e-(¨u − ¨v) + 2meω2 (u − v) − 2ei(u˙+ v˙)B    =  0  |·2i
      2i           2i  0          2         0
(6.38)

Weiter formt man um:

(a)  mei (u¨+ v¨) + mei ω2 (u + v) + e (˙u − ˙v)B0  =  0  |· (− i)
                      20
(b)  me (¨u − ¨v) + me ω0 (u − v ) − ie(u˙+ v˙) B0 =  0
(6.39)

(a)  me (¨u + ¨v) + me ω20 (u + v) − ie(u˙− v˙) B0 =   0
(6.40)

(a) + (b) 2me ¨u + 2me ω20u − 2ie ˙u·B0    =  0
(a) − (b) 2m  ¨v + 2m  ω2v + 2ie ˙v·B     =  0
             e       e 0             0
(6.41)

Zur Lösung setzen wir an

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Eingesetzt in die Gleichungen (6.41) erhalten wir

pict

Wir bekommen also die folgenden Gleichungen für die Unbekannten im Exponenten:

pict

Wenn B0 «meeω0 ist, dann sind die Lösungen

Die Lösungen dieser Gleichungssysteme sind

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Wenn wir bei ω0 nur das positive Vorzeichen nehmen, erhalten wir

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Die Kreisfrequenz spaltet sich dann wie folgt auf:

ω →  ω0 ± Δ ω
(6.47)

mit

      eB0-
Δω  = 2m
         e
(6.48)

Dies entspricht einer Frequenz

      Δ-ω-   -1-eB0-           10     −1                    − 1 −1
Δ ν =  2π =  4π m   =  1.399625   HzT   ·B0  ^= 0.4668645 cm   T   ·B0
                  e
(6.49)

Der klassische Zeemaneffekt bewirkt eine konstante Frequenzverschiebung.
Es gibt ein Zeeman-Triplett mit

ΔE  =  gjμBB0
(6.50)

__________________________________________________________________________

pict

Magnetisches Moment des Gesamtspins

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Da der g-Faktor des Spins und des Bahndrehimpulses unterschiedlich sind, ist das magnetische Moment des Gesamtdrehimpulses nicht antiparallel zum Gesamtdrehimpuls, sondern präzediert um die Richtung des Gesamtdrehimpulses. Der Gesamtdrehimpuls j ist parallel zur externen magnetischen Induktion B. Da die Präzessionsfrequenz enorm hoch ist, kann durch eine Messung nur die Projektion von μj auf die Richtung von j bestimmt werden, (   )
 μ
   jj. Mit α = (ℓ,j) und β = (s,j) können wir schreiben

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Aus Abbildung 6.5.3 kann man mit dem Cosinussatz a2 = b2 +c2 2bc cos((b,c)) und (b2 +c2 a2)(2bc)1 = cos((b,c)) ablesen

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Weiter bekommen wir

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Mit der Definition

||(   ) ||     ∘ --------
||μj   || = gj  j(j + 1 )μB
     j
(6.55)

bekommen wir für den

g-Faktor des Gesamtdrehimpulses

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Das messbare magnetische Moment des Gesamtdrehimpulses ist dann

(   )     g μ
 μj  =  − -j-B-j
            ℏ
(6.57)

Mit Gleichung (6.56) bekommen wir die folgende Tabelle

___________________________________________________________________________













0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
s
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
j
1
2
1
2
3
2
3
2
5
2
5
2
7
2
7
2
9
2
9
2
11
 2












gj
2
2
3
4
3
4
5
6
5
6
7
8
7
8
9
10-
9
10
11
12
11












gj als Funktion von , s und j

_______________________________________________________________

Zur quantenmechanischen Behandlung des Zeeman-Effekts benötigen wir den Hamiltonoperator im Magnetfeld. Wir vermuten, dass

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sei. Eine Rechnung mit kanonischen Impulsen ergibt mit den Ersetzungen p−→(^p − q A ) q= −e
−→(^p + e A ) und B = ∇×A

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Im Anhang F.1 finden Sie eine Rechnung zur Plausibilität dieses Hamilton-Operators. Setzen wir den Impulsoperator ^p = igrad  = i∇ ein, erhalten wir

         ℏ2               ℏe            ℏe           e2    2
^HB  = − ----grad  grad − ----Agrad   − ----grad A+  ---- A +V  (r )
        2me              2me           2me          2me
(6.63)

Denken Sie daran dass in dieser abgekürzten Schreibweise grad A kurz für grad (Aψ) ist. Ist die magnetische Induktion in die z-Richtung ausgerichtet, also B = (0,0,Bz ), ist ein mögliches Vektorpotential

        (      )
           − y
A =  Bz-|(   x  |)
      2
            0
(6.64)

Damit lautet Gleichung (6.63)

[       (                 )            (            )
    ℏ2    ∂2     ∂2    ∂2          eℏ     ∂      ∂
 − ----   --2-+ ---2 + --2- +  Bz ----- x ---− y ---
   2me    ∂x    ∂y     ∂z        (2(mei ) )∂y⌋     ∂x
              2  2 (       )         x
           + e-B-z  x2 + y2 +  V |(|(  y |) |) |⌉ψ =  E ψ
              8me
                                     z
(6.65)

Wenn das Vektorpotential (Einheit Tm) vom Betrage nach viel kleiner ist als der Impuls, also e|A | « |p|, kann der Term mit (e A ) 2 oder der Term mit (x2 + y2) vernachlässigt werden. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Diamagnetismus vernachlässigt wird. Der Zeemaneffekt kann dann durch ein Potential ausgedrückt werden.

Nach Gleichung (6.5) und Gleichung (6.10c) ist

  (           )
ℏ-   ∂--   -∂-     ^    ℏ-∂-
i  x ∂y − y∂x   =  ℓz = i∂ ϕ

Wenn nun das Potential V (r) kugelsymmetrisch ist, lautet Gleichung (6.65)

[       (       (     )                            (        ))
   -ℏ2-   -1 ∂--  2-∂-     ---1----∂2-   ---1----∂-      -∂-
 − 2m     r2 ∂r  r ∂r   +  r2sin2 𝜃∂ ϕ2 + r2 sin 𝜃∂ 𝜃  sin 𝜃∂ 𝜃
      e                                    ]
                          eBz- ℏ-∂-
                        + 2me  i∂ϕ  + V (r) ψ =  E ψ
(6.66)

Gleichung (6.66) kann wie das Wasserstoffatom im magnetfeldfreien Raum durch den Ansatz (6.13) gelöst werden. Dies führt zu Gleichung (6.109)

                 imϕ  m
Ψn,ℓ,m (r,𝜃,ϕ) = e   P ℓ (cos𝜗 )Rn,ℓ(r)

Die Energieeigenwerte sind aber

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Hier ist En0 die Energie des n-ten Niveaus im magnetfeldfreien Raum. Beachten sie, dass zu diesem Zeitpunkt nur mit Bahndrehimpulsen gerechnet wurde. Gleichung (6.71) gibt die vollständige Gleichung an

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Zeeman-Aufspaltung für Übergänge n + 1 n, n + 2 n, n + 2 n + 1, n + 3 n, n + 3 n + 1 und n + 3 n + 2.

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Die Auswahlregeln gelten auch bei den Zeeman-aufgespaltenen Linien. Die Dipol-Auswahlregeln erlauben nur

Δm  =  0,±1
(6.68)

Experimentell findet man, dass von allen Elementen nur Ca und Yb den normalen Zeeman-Effekt zeigen. Alle anderen Atome zeigen den anomalen Zeeman-Effekt. Bei diesem muss der Spin des Elektrons mit berücksichtigt werden. Die dazugehörige Schrödingerleichung, die Pauli-Gleichung, lautet

         [                                  ]
^         --1-          2           -e-             ∂--
HB,a ψ =  2me  (^p + eA ) + V  (r) + me ^s·B   ψ =  iℏ ∂tψ
(6.69)

Wird die Spin-Bahn-Kopplung auch noch berücksichtigt, bekommt man

 ^
 HB[,a,sbψ                                           ]
     1           2           e          μ0Ze2               ∂
=  2m-- (^p + eA ) + V (r ) + m--^s·B  +  8πm2-r3^ℓ·^s  ψ = iℏ∂t-ψ
      e                       e             e
(6.70)

Aus dieser Gleichung folgt, ohne Rechnung, dass die Energieeigenwerte

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sind. Dabei ist

gj = 1 + j(j-+-1) +-s(s +-1)-−-ℓ(ℓ +-1)
                   2j(j + 1)

der in (6.56) definierte Landé-Faktor.

6.5.4  Paschen-Back-Effekt

Bei der Spektroskopie von Atomen in hohen Magnetfeldern spricht man vom Paschen-Back-Effekt. Dieser tritt auf, wenn die Feinstrukturaufspaltung durch die Kopplung von magnetischen Spinmomenten mit Bahndrehimpulsmomenten nicht mehr wesentlich grösser ist als die Kopplung der Spins oder der Bahndrehmomente an das externe Magnetfeld. Durch das hohe Magnetfeld wird die Spin-Bahn-Kopplung aufgelöst, das heisst ℓ und s koppeln nicht mehr. Der Gesamtdrehimpuls j existiert nicht mehr. Das Spektrum vereinfacht sich. Was bleibt ist die Magnetfeldaufspaltung. Die magnetische Zusatzenergie ist nun

Vms,mℓ = (m ℓ + 2ms ) μBB0
(6.72)

Beachten Sie, dass der Faktor 2 vor der Spinkomponente der g-Faktor ist. Die Energieaufspaltung ist

ΔE   = (Δm   + 2Δm   )μ  B
            ℓ       s   B  0
(6.73)

Abbildung 6.5.4 gibt eine Skizze der Elektronenniveaus der Natrium-D-Linien.

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Paschen-Back-Effekt bei starken Magnetfeldern.

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