Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

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Deﬁnition von Vektoren. ist ein Ortsvektor, der Geschwindigkeitsvektor.

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( ) −→r = r = x y

( ) ( ) −→v = v = vx = x˙ vy y˙

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

x˙= dx- dt

geschrieben.

Addition:

( ax ) ( bx ) ( ax + bx ) | | | | | | a + b = ( ay ) + ( by ) = ( ay + by ) bz bz dz + bz

(D.1)


	Versuch zur Vorlesung:
	Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

∘ -2----2----2 |a| = ay + by + az

(D.2)

Skalarprodukt

a ·b = a b + a b + a b = |a||b|· cos (∠a,b ) x x y z z z

(D.3)

der Einheitsvektor _x ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

( ) ( ) ( ) ax bx aybz − azby a × b = |( a |) × |( b |) = |( a b − a b |) y y z x x z bz bz axby − aybx

(D.4)

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

a × b ⊥ a

(D.5)

a × b ⊥ b

(D.6)

|a × b| = |a||b|· sin (∠a,b)

(D.7)

a · (b × c) = b· (c × a) = − b· (a × c)

(D.8)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch ,, aufgespannten Spates.

Gegeben seien zwei Vektoren und . Die Projektion von auf , das heisst, die Komponente von in die Richtung von ist

a = a = a ·e = a· -b-= a· b- b in Richtung b b |b| b

(D.9)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

a = axb∘x +-ayby +-azbz b b2+ b2+ b2 x y z

(D.10)

Beispiel:

Sei = (3,2, − 2) und = (− 2,0,1) . Dann ist

ab = 3·-(−∘-2) +-2·0-+-(−-2)·2-= −-6√ −-4 = − -10√--= − √5-- (− 2)2 + 02 + 22 8 2 2 2

Beispiel:

Sei = (3,2, − 2) und = (0,0,1) . Dann ist

3·0-+-2·0--+-(−-2)·2- −-2- ab = √02--+-02-+-12 = √1--= − 2

Dis ist die z-Komponente von .