©2005-2018 Ulm University, Othmar Marti, pict
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

D.4  Rechnen mit Vektoren

D.4.1  Vektoridentitäten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Längen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

    (     )
       ax
a = |(  ay |)
       az

Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

D.4.1.1. Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

k = a·b  = axbx + ayby + azbz = ab cos(∠(a,b))
(D.1)

Vektorprodukt

           (  a b  − a b  )
           |   y z    z y |
c = a ×b = (  azbx − axbz )      |a × b | = ab sin (∠(a,b))
              axby − aybx
(D.2)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

pict

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

a·b  = 0
(D.5)

Sie sind kollinear, wenn

a × b =  0
(D.6)

Doppeltes Vektorprodukt

a × (b × c) = (a·c )b − (a ·b )c
(D.7)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

pict

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(a × b)·c  = 0
(D.9)

Lagrangesche Identität

(a × b)·  (c × f ) = (a·c )(b·f  ) − (a ·f )(b·c )
(D.10)

Vierfaches Vektorprodukt

(a × b ) × (c × d ) = ((a × b )·f )c − ((a × b )·c )f
(D.11)

D.4.1.2. Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

         (     )    (     )    (     )
            ax        dax         ˙ax
d-a =  d-|(  a  |) =  |(  ddaty-|)  = |(  ˙a  |)
dt     dt    y         ddatz-         y
            az         dt         ˙az
(D.12)

Ableitung eines Produktes

d-              dφ-     -d
dt (φ(t)a(t)) = dt a + φdt a
(D.13)

Ableitung des Skalarproduktes

d-          da-         db-
dt (a ·b ) = dt ·b + a · dt
(D.14)

Ableitung des Vektorproduktes

-d (a × b) = da- × b + a × db-
dt            dt           dt
(D.15)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a·a = a2 = const. Aus Gleichung (D.14) folgt

       2
0 = da--=  d- (a ·a ) = da-·a+a  · da- = da-·a       ⇒      da-⊥a
     dt    dt          dt          dt    dt                dt
(D.16)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

                   da ||   τ2 d2a ||        τn  dna ||
a(t+  τ) = a(t)+ τ ---|| + ------2|| + ...+ --- --n-||+ ...
                    dt|t   2  dt |t       n!  dt  |t
(D.17)

D.4.1.3. Vektorableitungen bei Skalarfeldern

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

∂-φ(r)       φ(r-+-𝜖c)-−-φ-(r-)
  ∂c   = l𝜖i→m0         𝜖
(D.18)

Ableitung ∂φ(r)
 ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂-φ(r =  |c| ∂φ(r-)
  ∂c         ∂ec
(D.19)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor n)

∂φ-(r-)   ∂φ-(r)
 ∂ec  =   ∂n   cos (∠ec,n )
(D.20)

D.4.1.4. Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung

∂a-(r) = lim a(r-+-𝜖c)-−-a-(r-)
  ∂c     𝜖→0         𝜖
(D.21)

Ableitung ∂a∂(erc) in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂a (r       ∂a(r )
--∂c- =  |c| -∂e---
               c
(D.22)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

pict

Gradient eines Produktes

grad  (φ1 φ2) = φ1grad  φ2 + φ2grad  φ1
(D.24)

Kettenregel beim Gradienten

                dφ1-
grad  φ1 (φ2 ) = dφ  grad φ2
                   2
(D.25)

Gradient eines Skalarproduktes

grad  (a·b ) = (a·grad   )b+ (b·grad  ) a+a ×rot  b+b ×rot  a
(D.26)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

grad  (r·k ) = k
(D.27)

Divergenz eines Produktes

div (φa ) = φdiv a + agrad  φ
(D.28)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

             r-·k-
div (r·k ) =  |r|
(D.29)

Divergenz eines Vektorproduktes

div (a × b) = b·rot  a −  a·rot  b
(D.30)

Rotation eines Produktes

rot  (φa ) = φrot a + grad  φ × a
(D.31)

Divergenz eines Vektorproduktes

rot (a × b) = (b·grad   )a − (a ·grad )b+adiv  b − bdiv a
(D.32)

Rotation eines Potentialfeldes

rot  (grad  φ) = 0     ∀φ
(D.33)

Divergenz einer Rotation

div  (rot a) = 0     ∀a
(D.34)

Rotation einer Rotation

rot (rot a ) = grad  (div a) − div (grad  a)
(D.35)



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2018 Ulm University, Othmar Marti, pict  Lizenzinformationen