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D.8  Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Diese Operatoren können in [AW95] nachgeschaut werden oder mit [WR14] berechnet werden.

D.8.1  Zylinderkoordinaten

Die Definition lautet

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Die Skalenfaktoren lauten

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Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

                  ∂Ψ-(r,ϕ,z)-   1-∂Ψ-(r,ϕ,z)-    ∂Ψ-(r,ϕ,-z)-
∇r,ϕ,zΨ(r,ϕ,z ) =     ∂r    er+ r     ∂ϕ    eϕ+     ∂z     ez
(D.3)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = (          )
  Vr(r,ϕ,z)
|(V ϕ(r,ϕ,z)|)
  Vz(r,ϕ,z) ist

                                  (                        )
                    ∂Vr(r,ϕ,z )  1              ∂V ϕ(r,𝜃,z)    ∂Vz(r,𝜃,z)
∇r,ϕ,z·V (r,ϕ, z) = -----------+ -- Vr(r,ϕ,z) + -----------  + -----------
                        ∂r       r                  ∂ϕ             ∂z
(D.4)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( Vr(r,ϕ,z))
|V  (r,ϕ,z)|
(  ϕ       )
  Vz(r,ϕ,z) ist

                    (        1∂Vz(r,𝜃,z)   ∂Vϕ(r,𝜃,z)-      )
                    |        r   ∂ϕ   −    ∂z          |
∇r,ϕ,z×V (r,ϕ, z) = |(         ∂Vr(∂rz(,𝜃,z)−  ∂Vz(r∂,𝜃r,z)      )|)
                     ∂Vϕ(r,𝜃,z) − 1  ∂Vr(r,𝜃,z)-− V (r,𝜃,z)
                        ∂r      r    ∂ϕ       ϕ
(D.5)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

                                (                           )
                 ∂2 Ψ(r,𝜃,z)  1   1∂2 Ψ(r,𝜃,z)    ∂Ψ (r,𝜃, z)   ∂2Ψ (r,𝜃,z)
Δr,ϕ,zΨ (r,ϕ,z) = -------2---+ --  --------2--- +  ---------- + ------2----
                     ∂r       r   r    ∂ϕ            ∂r            ∂z
(D.6)

D.8.2  Kugelkoordinaten

Die Definition lautet

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Die Skalenfaktoren lauten

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Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

∇r,𝜃,ϕ Ψ(r,𝜃,ϕ) =  ∂Ψ-(r,𝜃,-ϕ)er+ 1-∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)e𝜃+ 1-csc(𝜃)∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)e ϕ
                      ∂r        r     ∂𝜃        r           ∂ϕ
(D.9)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = (          )
| Vr(r,ϕ,z)|
(V ϕ(r,ϕ,z))
  Vz(r,ϕ,z) ist

                      ∂V (r,𝜃,ϕ)  1 (             ∂V (r,𝜃,ϕ ))
  ∇r,𝜃,ϕ·V  (r,𝜃,ϕ ) = --r-------+ --  Vr(r,𝜃,ϕ) + ---𝜃-------
    (      (              ∂r      r                   ∂𝜃    ))
  1                                             ∂V ϕ(r,𝜃,ϕ)
+ -- csc(𝜃)  sin(𝜃)Vr(r,𝜃,ϕ ) + cos(𝜃)V𝜃(r,𝜃,ϕ ) +----------
  r                                                  ∂ϕ
(D.10)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = (          )
  Vr(r,ϕ,z)
|(V ϕ(r,ϕ,z)|)
  Vz(r,ϕ,z) ist

∇r,𝜃,ϕ × V (r,𝜃,ϕ ) =
( 1( ∂Vϕ(r,𝜃,ϕ)-        ( ∂V𝜃(r,𝜃,ϕ)-                 )))
| r    ∂𝜃  ( − csc(𝜃)    ∂ϕ    − cos(𝜃))Vϕ(r,𝜃,ϕ)  |
||  1r csc(𝜃) ∂Vr(r∂,𝜃ϕ,ϕ)− sin(𝜃)Vϕ(r,𝜃,ϕ)  − ∂Vϕ(∂rr,𝜃,φ) ||
(        ∂V𝜃(r,𝜃,φ)   1(∂Vr(r,𝜃,φ)            )       )
            ∂r   −  r    ∂𝜃   −  V𝜃(r,𝜃,φ)
(D.11)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

                     (                           )
                   1   1∂2Ψ (r,𝜃,ϕ)    ∂Ψ (r,𝜃,ϕ )   ∂2 Ψ(r,𝜃,ϕ )
  Δr,𝜃,ϕΨ (r,𝜃,ϕ) = r-  r----∂𝜃2-----+  ---∂r------+ ----∂r2-----
          (                     (                                     ) )
  1-             ∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)-  1-        ∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)-        ∂2Ψ-(r,𝜃,ϕ)-
+ r csc(𝜃)  sin(𝜃)    ∂r     + r   cos(𝜃 )    ∂𝜃     + csc(𝜃)    ∂ϕ2
(D.12)



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