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E.2  Hamilton-Funktion

Zur Definition der Hamilton-Funktion führen wir den verallgemeinerten Impuls, den kanonischen Impuls oder den zu qi konjugierter Impuls ein. Auch dieser Abschnitt ist von Taylor [Tay14] inspiriert.

     ∂L-
pi := ∂q˙i
(E.1)

Beachten Sie, dass pi ist ein Impuls, ˙qi aber eine Geschwindigkeit ist. Die Verallgemeinerten Impulse pi sind z.B. für die Relativitätstheorie besser geeignet.

Die Hamiltonfunktion ist nun so definiert:

     ∑n
H :=    piq˙i − L
     i=1
(E.2)

Im allgemeinen Falle ist die kinetische Energie der Lagrange-Funktion von den Ortskoordinaten abhängig.

L(q,q˙) = T (q, ˙q)− V(q) = 1-A (q)q˙2− V (q) = ⇒ p = ∂L = A (q)˙q
                         2                       ∂ ˙q
(E.3)

Damit ist der verallgemeinerte Impuls

p˙q = A (q )q˙q˙=  2T(q,q˙)
(E.4)

Die Gesamtenergie ist weiter

H =  p˙q− L  = 2T (q, ˙q)− (T(q,q˙) − V (q)) = T(q,q˙)+ V (q)
(E.5)

Daraus ergeben sich die Bewegungsgleichungen (hier Differenzialgleichungen erster Ordnung)

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In mehrere Dimensionen erhalten wir

pict

Das folgende Vorgehen bei der Konstruktion der Hamilton-Funktion funktioniert immer):

  1. L ansetzen.
  2. Dann H = i=1np i˙qi L verwenden.

Abkürzungen dieses Verfahrens funktionieren manchmal.



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