3.2  Strahlungsgesetze

3.2.1  Thermische Strahlung

Wärmestrahlung ist eine Form elektromagnetischer Strahlung. Die Sonne versorgt so die Erde mit der notwendigen Energie. Untersucht wurde die Wärmestrahlung um die Jahrhundertwende 1900 vor allem, weil Stahlwerke gerne die Temperatur ihres flüssigen Eisens wissen wollten, zur Prozesssteuerung.

Aus der Optik wissen wir, dass bei einem Strahlungsfluss Φ auf eine Grenzfläche die folgende Energiebilanz gilt:

(3.1)

wobei Φ_T den transmittierten Fluss, Φ_R den reflektierten Fluss und Φ_a den absorbierten Fluss beschreibt. Wir bezeichnen mit 𝜖 den Absorptionsgrad. Nimmt man an, dass die Probe dick ist, gibt es keinen transmittierten Fluss und 𝜖 genügt zur Beschreibung der Wechselwirkung. Da die Gesamtenergie erhalten bleibt, gilt a_R = 1 − 𝜖 und damit

(3.2)

Der Absorptionskoeffizienten 𝜖(ν) hängt von der Frequenz der elektromagnetischen Strahlung ab. Wenn dem nicht so wäre, gäbe es zum Beispiel keine Kaltlichtspiegel bei Halogenlampen.

Wenn man die Ausstrahlung einer perfekten schwarzen Fläche (𝜖 = 1, alles einfallende Licht wird perfekt absorbiert) mit P_s beschreibt, ist die Ausstrahlung einer beliebigen Fläche durch

(3.3)

gegeben. Dieses Strahlungsgesetz von Kirchhoff bedeutet, dass die Emissionseigenschaften und die Absorptionseigenschaften zusammenhängen. Gut absorbierende Flächen sind auch gut emittierende Flächen. Wenn dem nicht so wäre, könnte man ein Perpetuum Mobile der zweiten Art herstellen.

Nehmen wir an, eine Fläche mit 𝜖₁ und der Temperatur T₁ strahle die Leistung P₁ = 𝜖₁P_s(T₁) auf die zweite Fläche mit der Temperatur T₂. Gleichzeitig strahle die zweite Fläche mit 𝜖₂ die Leistung P₂ = 𝜖₂P_s(T₂) auf die erste Fläche. Beide Flächen seien im thermischen Gleichgewicht, das heisst T₁ = T₂ wenn P_s(T) monoton ist.

Die von der Fläche 1 stammende Leistung P₁ wird mit dem Absorptionskoeffizienten 𝜖₂ absorbiert. Also ist P_abs,2 = P₁𝜖₂ und umgekehrt. Im thermischen Gleichgewicht folgt aus T₁ = T₂

(3.4)

Dies ist dann der Fall, wenn die aus der Temperatur berechnete Leistung P(T), die auch nur von der Temperatur abhängt, sich mit P_i wie

(3.5)

verhält. Nur dann ist die Gleichung (3.4) erfüllt.

3.2.2  Schwarzkörperstrahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 573])

Licht, das durch die kleine Öffnung in den Hohlraum des schwarzen Körpers eintritt, wird bei jeder Reflexion an der Oberfläche mit der Wahrscheinlichkeit 𝜖 absorbiert und mit der Wahrscheinlichkeit 1 − 𝜖 < 1 reflektiert. Nach n Reflexionen ist die verbleibende Intensität des Lichtstrahls auf (1 − 𝜖)ⁿ abgesunken, sie wird also beliebig klein. Das heisst, der Absorptionsgrad der Öffnung in diesem Hohlraum ist 𝜖 = 1. Andererseits addieren sich alle emittierten Strahlen auf, so dass die Emission aus der Öffnung identisch ist mit der Emission eines perfekten Schwarzen Strahlers mit 𝜖 = 1.

Spektrale Grössen werden hier mit dem Subskript ν bestimmt.

Wir definieren nun eine spektrale Energiedichte ϱ(ν,T)dν. Sie besteht aus dem Produkt aus der Energiedichte ϱ(ν,T) und dem Frequenzband der Breite dν, das das Intervall (ν,ν + dν) beschreibt. Diese Energie ϱ(ν,T)dν bewegt sich mit der Geschwindigkeit c durch den Raum und zu den Wänden des Hohlraums. Eine ideale schwarze Wand absorbiert diese Energie ϱ(ν,T) und emittiert nach Kirchhoff gleichzeitig P_s,ν(ν,T). Im Gleichgewicht müssen sich die Absorption und die Emission die Balance halten. Wir können also die spezifische Ausstrahlung durch die Energiedichte ϱ ausdrücken¹ .

(3.6)

oder, integriert über alle Frequenzen,

(3.7)

Die gemessene spektrale Energiedichte sieht wie in der Abbildung 3.2.2 aus.

Wenn man die Energiedichteverteilung gegen die Frequenz aufträgt, erhält man:

3.2.2.1. Plancks Strahlungsgesetz

Im Vorgriff auf das Kommende definieren wir das Plancksches Wirkungsquantum

(3.8)

Die Grösse können sie sich mit der Eselsbrücke: h ∼ 2π·10⁻³⁴ Js merken.

Oftmals wird in der Physik, weil es bequemer ist, mit dem reduzierten Wirkungsquantum gerechnet

(3.9)

Auch hier gibt es eine Eselsbrücke: ℏ = 10⁻³⁴ Js.

Das Wirkungsquantum ist ein Konzept aus der statistischen Physik, einem Teilgebiet der Thermodynamik.

(Siehe Demtröder, Laserspektroskopie [Dem93, p. 8])

Wir betrachten eine elektromagnetische Welle in einem quaderförmigen Hohlraum. Die Wände des Hohlraumes sollen perfekt leitend sein, das heisst, dass das elektrische Feld auf den Wänden Knotenlinien hat. Der zeit- und ortsabhängige Vektor ihres elektrischen Feldes ist

(3.10)

Dabei muss _i so gewählt werden, dass die Randbedingungen erfüllt sind.

In diesem quaderförmigen Hohlraum (Skizze in Abbildung 3.2.2.1), dessen Quaderseiten entlang den Koordinatenachsen seien, gibt es wegen den Randbedingungen stehende Wellen. Die Wellenzahlen k_x, k_y und k_z sind durch die Ausdehnung in die entsprechende Richtung gegeben. Nur dann wenn eine ganzahlige Anzahl halber Wellenlängen Platz hat, haben wir eine mögliche Welle. Alle Wellen können sowohl in die + wie auch in die −-Richtung laufen. Wir haben also

(3.11)

mögliche Kombinationen zu einem Tripel (k_x,k_y,k_z). Stehende Wellen erhalten wir nur, wenn die vektoriellen Amplituden der in die + und − Richtung laufenden Wellen gleich sind. Bei einem Würfel mit der Seitenlänge L sind die möglichen Wellenzahlen

(3.12)

Der Betrag der Wellenzahl ist

(3.13)

Damit gibt es zwischen der Kantenlänge und der Wellenlänge die Beziehung

(3.14)

Wir wollen nur Wellen bis zu einer maximalen Frequenz ν = ω∕(2π) betrachten (nach Einstein: mit begrenzter Energie). Gleichung (3.13) kann mit k = ω∕c umgerechnet werden (Beachte: sowohl als auch ω geben die Energie der Welle an, nur in anderen Einheiten!)

(3.15)

Da elektromagnetische Wellen transversal sind, gibt es zwei Polarisationen entlang den Vektoren ₁ und ₂ (mit _i· = 0 und ₁· ₂ = 0). Diese beiden Polarisationsvektoren stehen senkrecht zum Wellenvektor (der Ausbreitungsrichtung). Das elektrische Feld der i-ten Mode ist

(3.16)

Zu jedem einen Wellenvektor beschreibenden Zahlentripel (n_x,n_y,n_z) gibt es zwei Polarisationen. Aus der Linearität der Maxwellgleichungen folgt:

Wir wollen die Anzahl Moden bis zu einer bestimmten oberen Energie bestimmen. Das heisst, dass ω < ω_max oder mit k = ω∕c auch k < k_max sein soll. Die Frage nach der Anzahl Moden ist äquivalent zu:

Wieviele Wellenvektoren mit der Länge passen in eine Kugel mit dem Radius k_max? Aus

(3.17)

folgt

(3.18)

Das heisst, dass = (n_x,n_y,n_z)^T in einer Kugel mit dem Radius n_max = n_R = liegt. In dieser Kugel bilden die möglichen Wellenvektoren ein kubisches Gitter. Der Frequenzabstand ist Δω = . Dann ist die Gitterkonstante (Abstand zwischen zwei Netzebenen, siehe auch die Festkörperphysik) durch Δn = = = 1 gegeben. Die Randeffekte beim Abzählen können vernachlässigt werden, wenn der Abstand der Gitterpunkte viel kleiner als der Radius der Kugel ist, also

(3.19)

ist. Das Volumen einer Kugel ist V = (4π∕3)r³. Da n_x,n_y,n_z ∈ ℕ∪ ist, verwenden wir nur 1∕8 des Kugelvolumens (Siehe auch (3.11)). Die Anzahl Moden bis zu k = , ω oder n ist

(3.20)

wobei die Faktoren die Polarisationen, den Bruchteil des Kugelsegments, und Radius des Kugelsegments darstellen. Die Modendichte erhält man durch Ableiten

(3.21)

Wir erinnern uns, dass wir Moden (stehende Wellen) in einem würfelförmigen Kasten mit perfekt leitenden Wänden (Knoten an den Wänden) betrachten. Das Volumen dieses Kastens ist L³. Analog zur Massendichte ϱ_Masse() = lim _{ΔV →0} = definieren wir die Modendichte n(ν) = dN_{in dV} (ν)∕dV und erhalten

(3.22)

Wir kennen nun die Anzahl Moden pro Frequenzintervall, das heisst auch die Modendichte bei der Frequenz ν. Es bleibt die Frage, wie wahrscheinlich ist es, eine Mode bei der Frequenz hν zu finden wenn die Temperatur T ist. Diese Frage muss mit den Methoden der Thermodynamik beantwortet werden [Mar15].

Nach Albert Einstein kann die Energie des Lichtes nur diskrete Werte annehmen, E = hν, und ganzzahlige Vielfache davon, also E(j) = j·hν mit j ∈ℕ. Die Wände unseres Resonators sollen die Temperatur T haben. Das heisst, dass wenn die Eigenschwingungen im thermischen Gleichgewicht mit den Wänden sind, die Statistik der Eigenschwingungen nach Boltzmann auch durch die Temperatur T gegeben sein muss.

Die Wahrscheinlichkeit p(j) pro Volumen und damit dann auch die wahrscheinlichkeitsdichte der Eigenschwingungen mit der Energie W(j) = j·hν im Gleichgewicht mit Wänden der Temperatur T ist nach Boltzmann und der statistischen Thermodynamik

(3.23)

Die Grösse Z in dieser Gleichung ist die Zustandssumme

(3.24)

Ab hier betrachten wir alle Moden mit allen möglichen Energien. Dabei sind sehr hohe Energien extrem unwahrscheinlich! Mit dieser Definition ist p(j) normiert:

Die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung ergibt sich nun als gewichtete Summe (z.B. wie bei der Berechnung des Trägheitsmomentes bei der Drehung um eine Achse). p(j) ist das Gewicht, gemittelt werden die Energien j·hν.

(3.25)

Zur Berechnung der Summe verwenden wir dass

ist. Nach einer Variablentransformation erhalten wir für unsere Gleichungen (3.25) und (3.24)

Indem wir Gleichung (3.26) durch (3.27) teilen, also Gleichung (3.25) betrachten, erhalten wir

(3.28)

Die spektrale Strahlungsdichte ϱ(ν,T) bekommen wir, indem die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung mit der Dichte der Eigenschwingungen n(ν) = multipliziert wird. Wir erhalten das Plancksche Strahlungsgesetz.

Plancksches Strahlungsgesetz (3.29)

Wenn wir das Plancksche Strahlungsgesetz mit Wellenlängen ausdrücken wollen, dann müssen wir die folgenden Substitutionen machen:

Damit wir das Planksche Strahlungsgesetz mit Wellenlängen als unabhängige Variable:

Plancksches Strahlungsgesetz für Wellenlängen (3.30)

Einsteins Quantenhypothese Ausgehend von seinem Verständnis des Fotoeffekts [Ein05] kam Einstein zur folgenden Hypothese:

Wir verwenden die folgenden Definitionen:

n^∗

Teilchenzahldichte der angeregten Atome

n₀

Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome

Wir nehmen thermisches Gleichgewicht an und verwenden deshalb die Boltzmann-Verteilung zur Berechnung der Teilchenzahldichte der angeregten Atome

(3.31)

Albert Einstein nahm an, dass wie in Abbildung 3.2.2.1.1 dargestellt der Energieaustausch zwischen dem Unteren und dem oberen Zustand auf drei Wegen möglich sei. Die Anregung aus dem unteren Zustand in den oberen Zustand (Niveau) geschieht nur, wenn externe Energie absorbiert wird. Der höherenergetischen Zustand kann auf zwei Wegen verlassen werden: erstens zufällig (statistisch) oder induziert, das heisst im Takt mit externen Feldern.

Einstein hatte als Neuerung die induzierte Emission postuliert. Zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Strahlers verwenden wir die Einsteinsche Formulierung mit Quanten. Ursprünglich hatte Planck das Spektrum mit thermodynamischen Methoden berechnet, wobei h das aus der statistischen Physik bekannte Phasenraumvolumen war. Ein Phasenraumelement ist eine Fläche, deren eine Seite eine Länge und deren andere Seite eine Geschwindigkeit ist.

Die Anzahlen der Absorptionen und Emissionen werden wie folgt angegeben:

wobei A den Einsteinkoeffizienten den spontanen Emission, B₁ den Einsteinkoeffizienten der Absorption und B₂ den Einsteinkoeffizienten der induzierten Emission bedeutet.

Diese Beziehungen können so verstanden werden:

• Wenn die Teilchenzahldichte n₀ = 0 oder n^∗ = 0 ist, wenn es also keine Teilchen im Ausgangszustand gibt, sind die Einstein-Koeffizienten null.
• Bei der Absorption benötigt man nicht nur Teilchen (n₀), sondern auch elektromagnetische Wellen. Deren „Häufigkeit“ wird durch die spektrale Strahlungsdichte angegeben.
• Ebenso kann eine induzierte oder stimulierte Emission nur stattfinden, wenn die spektrale Strahlungsdichte ungleich null ist. Die Häufigkeit der Emission ist proportional zur spektralen Strahlungsdichte.
• Schliesslich hängt die Häufigkeit der spontanen Emission nur von der Anzahl der möglichen Teilchen ab, nicht aber von irgend einer spektrahlen Strahlungsdichte.

Von der Einsteinschen Quantenhypothese zum Planckschen Strahlungsgesetz Im Gleichgewicht muss es gleich viele Emissionen wie Absorptionen geben.

(3.33)

Da die induzierte Emission der Umkehrprozess zur Absorption ist, muss

(3.34)

sein. Wir können Gleichung (3.33) wie folgt umformen:

(3.35)

Damit erhalten wir die Energiedichte

Infinitesimal geschrieben bekommen wir

(3.36)

Unbekannt ist nun noch A∕B. Durch Vergleich mit der Gleichung (3.29) bekommen wir diesen Koeffizienten (aus der spektralen Energiedichte) des Hohlraumes

(3.37)

Die spektrale Energiedichte ist verknüpft mit der Modendichte und sagt, wie viele Resonanzen es pro Frequenzintervall gibt. Zusammen bekommen wir analog zu Gleichung (3.29) das Plancksche Strahlungsgesetz:

(3.38)

Es ist nun instruktiv, die beiden Grenzfälle für sehr hohe und für sehr niedrige Frequenzen zu betrachten. Für sehr niedrige Frequenzen, im Grenzfall hν « k_BT, gilt

Dies führt auf das Rayleigh-Jeans-Gesetz.

Rayleigh-Jeans-Gesetz (3.39)

Dieses Gesetz war vor Planck bekannt. Es sagt voraus, dass die Energiedichte gegen hohe Frequenzen zunimmt, dass also im Ultravioletten die gesamte unendlich grosse Energie des Universums konzentriert sei. Diese Ultraviolettkathastrophe zeigt, dass das Gesetz nur in Teilbereichen stimmen kann.

Für sehr hohe Frequenzen, also hν » k_BT, gilt

Dann kann das Plancksche Strahlungsgesetz durch das Wiensche Strahlungsgesetz angenähert werden

Wiensches Strahlungsgesetz (3.40)

Das Wiensche Strahlungsgesetz (siehe Abbildung 3.2.2.1.2) stimmt einigermassen, aber doch nicht so korrekt wie das Plancksche Strahlungsgesetz. Insbesondere ergibt sich aber bei Wien keine Ultraviolettkatastrophe.

Penzias und Wilson fanden Anfang der sechziger Jahre des zwanzigsten Jahrhunderts, dass das Rauschen höchstempfindlicher Antennen, wenn sie nach oben gerichtet waren, die gleiche Spektralverteilung hatte, wie ein schwarzer Strahler bei etwa 2.7 K. Abbildung 3.2.2.1.2 zeigt die kosmische Energiedichteverteilung

3.2.2.2. Wiensches Verschiebungsgesetz

Oftmals möchte man die Frequenz ν wissen, bei der das Emissionsspektrum des schwarzen Strahlers maximal ist. Zur Berechnung des Maximums substituieren wir in Gleichung (3.29)

und setzen

Weiter vernachlässigen wir die konstanten Vorfaktoren, die für die Lage des Maximums irrelevant sind. Wir erhalten

(3.41)

Durch Ableiten erhalten wir die Lage des Maximums

Vereinfacht ergibt sich

Die Lösung dieser transzendenten Gleichung ist

wobei W_L Lamberts W-Funktion ist. Also kann die Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel (3.29) durch das Wiensche Verschiebungsgesetz angegeben werden.

Wiensches Verschiebungsgesetz (3.42)

Die folgende Abbildung 3.2.2.2 zeigt eine graphische Darstellung des Wienschen Verschiebungsgesetzes.

Die Energiedichte beim Emissionsmaximum des Wienschen Verschiebungsgesetzes ist

(3.43)

Abbildung 3.2.2.2 stellt Gleichung (3.43) graphisch dar.

3.2.2.3. Wiensches Verschiebungsgesetz: Wellenlängen

Möchte man die Wellenlänge λ_m des Maximums des Planckschen Spektrums eines schwarzen Strahlers wissen, substituieren wir in Gleichung (3.30)

und setzen

Weiter vernachlässigen wir die konstanten Vorfaktoren, die für die Lage des Maximums irrelevant sind. Wir erhalten

(3.44)

Durch Ableiten erhalten wir die Lage des Maximums

Vereinfacht ergibt sich

Die Lösung dieser transzendenten Gleichung ist

wobei W_L Lamberts W-Funktion ist. Also kann die Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel (3.30) durch das Wiensche Verschiebungsgesetz angegeben werden.

Wiensches Verschiebungsgesetz für Wellenlängen (3.45)

3.2.2.4. Stefan-Boltzmann-Gesetz

Wir möchten wissen, wie die Abstrahlung eines schwarzen Körpers von dessen Temperatur abhängt. Dazu definieren wir zunächst die spezifische Ausstrahlung nach Gleichung (3.6) senkrecht zur Oberfläche

(3.46)

Daraus bekommen wir die richtungsabhängige Abstrahlung (𝜃 ist der Winkel zur Normalen)

(3.47)

Diese Grösse ist sowohl von der Frequenz wie auch von der Richtung abhängig. Der Mittelwert einer allgemeinen richtungsabhängigen Grösse f(𝜃,ϕ) ist

(3.48)

Über den Halbraum gerechnet erhalten wir (unter der Voraussetzung, dass f(𝜃,ϕ) = f(π − 𝜃,ϕ) ist)

(3.49)

Zusammen mit der Mittelung über die Frequenz erhalten wir

(3.50)

Diese drei Integrale sind voneinander unabhängig. Wir beachten, dass

und

ist und erhalten

(3.51)

Mit Gleichung (3.29) ergibt dieses Integral

(3.52)

Wir definieren die Stefan-Boltzmann-Konstante

(3.53)

und können dann das Stefan-Boltzmann-Gesetz so formulieren:

Stefan-Boltzmann-Gesetz (3.54)

R ist die in den Halbraum abgestrahlte Leistung bei der Temperatur T. Diese Leistung R(T) ist in der Abbildung 3.2.2.4 in doppelt-logarithmischer Darstellung gezeichnet.

3.2.3  Farben

Was wir Farben nennen, hängt von der Interpretation der Reize unserer Sehnerven ab. Abbildung 3.2.3 zeigt die spektrale Empfindlichkeit des Auges.

3.2.4  Strahlung der Sonne

Sowohl die Sonne wie auch die Erde können in guter Näherung durch schwarze Strahler approximiert werden. Abbildung 3.2.4 zeigt die beiden Kurven, wobei die Erde die Temperatur 300 K und die Sonne die Temperatur 6000 K hat. Die Unterschiede der beiden Kurven bewirken, dass die Energiezufuhr zur Erde bei einer anderen Wellenlänge oder Frequenz geschieht wie deren Abstrahlung.