Diese Aufgaben sind unter anderem eine Wiederholung der letzten Vorlesungen des 1. Semesters
Zur Zeit t = 0 werden die Massen auf die Positionen x1,0, x2,0 und x3,0 ausgelenkt.
PDF-Version des Aufgabenblattes
Gegeben ist die Schwingungsdifferentialgleichung
|FFeder 0↔1| | = k | ||
|FFeder 1↔2| | = k | ||
|FFeder 2↔3| | = k | ||
|FFeder 3↔4| | = k | ||
ℓ0↔1(t) - ℓ0 | = x1(t) | ||
ℓ1↔2(t) - ℓ0 | = x2(t) - x1(t) | ||
ℓ2↔3(t) - ℓ0 | = x3(t) - x2(t) | ||
ℓ3↔4(t) - ℓ0 | = -x3(t) | ||
m | = -|FFeder 0↔1| + |FFeder 1↔2| | = | - kx1(t) + k((x2(t) - x1(t))) | ||||
= -2kx1(t) + kx2(t) | |||||||
m | = -|FFeder 1↔2| + |FFeder 2↔3| | = | - k(x2(t) - x1(t)) + k((x3(t) - x2(t))) | ||||
= -2kx2(t) + kx1(t) + kx3(t) | |||||||
m | = -|FFeder 2↔3| + |FFeder 3↔4| | = | - k(x3(t) - x2(t)) + k((-x3(t))) | ||||
= -2kx3(t) + kx2(t) | |||||||
m | = (-2kx1(t)) | + | kx2(t) | ||||||||
m | = kx1(t) | + | (-2kx2(t)) | + | kx3(t) | ||||||
m | = | kx2(t) | + | (-2kx3(t)) | |||||||
x1(t) | = x1,0eiωt | ||
x2(t) | = x2,0eiωt | ||
x3(t) | = x3,0eiωt | ||
- mω2x 1,0eiωt | = (-2kx 1,0eiωt) | + | kx 2,0eiωt | ||||||||
- mω2x 2,0eiωt | = kx 1,0eiωt | + | (-2kx 2,0eiωt) | + | kx 3,0eiωt | ||||||
- mω2x 3,0eiωt | = | kx 2,0eiωt | + | (-2kx 3,0eiωt) | |||||||
0 | = (mω2 - 2k)x 1,0 | + | kx2,0 | ||||||||
0 | = kx1,0 | + | (mω2 - 2k)x 2,0 | + | kx3,0 | ||||||
0 | = | kx2,0 | + | (mω2 - 2k)x 3,0 | |||||||
Wenn wir (mω2 - 2k) = B setzen, lautet das Gleichungssystem
0 | = Bx1,0 | + | kx2,0 | ||||||||
0 | = kx1,0 | + | Bx2,0 | + | kx3,0 | ||||||
0 | = | kx2,0 | + | Bx3,0 | |||||||
0 | = Bx1,0 | + | kx2,0 | ||||||||
0 | = kBx1,0 | + | B2x 2,0 | + | kBx3,0 | ||||||
0 | = | - k2x 2,0 | - | kBx3,0 | |||||||
⇒ 0 | = kBx1,0 | + | (B2 - k2)x 2,0 | ||||||||
Nun eliminieren wir x1,0 (*)
0 | = -kBx1,0 | - | k2x 2,0 | ||||
0 | = kBx1,0 | + | (B2 - k2)x 2,0 | ||||
⇒ 0 | = | (B2 - 2k2)x 2,0 | |||||
Da die letzte Gleichung für alle x2,0 gelten muss, gilt
und für -:
x1,0,1 | = -x2,0 | = | -x2,0 | = | x2,0 | ||||||
x2,0,1 | = x2,0 | ||||||||||
x3,0,1 | = -x2,0 | = | -x2,0 | = | x2,0 | ||||||
ω12 | = (2 -) | ||||||||||
x1,0,2 | = -x2,0 | = | -x2,0 | = | -x2,0 | ||||||
x2,0,2 | = x2,0 | ||||||||||
x3,0,2 | = -x2,0 | = | -x2,0 | = | -x2,0 | ||||||
ω22 | = (2 + ) | ||||||||||
0 | = Bx1,0 | ||||||||||
0 | = kx1,0 | + | kx3,0 | ||||||||
0 | = | + | Bx3,0 | ||||||||
x1,0,3 | = x1,0 | x2,0,3 | = 0 | x3,0,3 | = -x1,0 | B | = 0 | ⇒ ω32 | = | ||||||||||
Die Fallunterscheidung wäre nicht nötig gewesen, wenn wir bei (*) x2,0 eliminiert hätten.
0 | = (B2 - k2)Bx 1,0 | + (B2 - k2)kx 2,0 | ||||
0 | = -k2Bx 1,0 | - k(B2 - k2)x 2,0 | ||||
⇒ 0 | = (B3 - 2Bk2)x 1;0 | |||||
Daraus folgt (nummeriert wie bei der vorherigen Lösungsvariante)
B3 | = 0 | ⇒ ω32 | = 2 | ||||
B2 | = k | ⇒ ω22 | = (2 + ) | ||||
B1 | = -k | ⇒ ω12 | = (2 -) | ||||
x1,0,1 | = x1,0 | x1,0,2 | = x1,0 | x1,0,3 | = x1,0 | ||||||
x2,0,1 | = x1,0 = -x1,0 | x2,0,2 | = x1,0 = x1,0 | x2,0,3 | = 0 | ||||||
x3,0,1 | = x2,0,1 = x1,0 | x3,0,2 | = x2,0,2 = x1,0 | x3,0,3 | = -x1,0 | ||||||
ω12 | = (2 -) | ω22 | = (2 + ) | ω32 | = 2 | ||||||
x1,1(t) | = x1,0 cos | x1,2(t) | = x1,0 cos | ||||
x2,1(t) | = -x1,0 cos | x2,2(t) | = x1,0 cos | ||||
x3,1(t) | = x1,0 cos | x3,2(t) | = x1,0 cos | ||||
x1,3(t) | = x1,0 cos | ||||||
x2,3(t) | = 0 | ||||||
x3,3(t) | = -x1,0 cos | ||||||
x1,0,1 | = 1 | x1,0,2 | = 1 | x1,0,3 | = 1 | ||||||
x2,0,1 | = - | x2,0,2 | = | x2,0,3 | = 0 | ||||||
x3,0,1 | = 1 | x3,0,2 | = 1 | x3,0,3 | = -1 | ||||||
ω12 | = (2 -) | ω 22 | = (2 + ) | ω 32 | = 2 | ||||||
1. Eigenschwingung | 2. Eigenschwingung | 3. Eigenschwingung |
berechnet man
Die Steigung bei ω0 ist 0.25 = = Daraus folgt
berechnet man
Die Steigung bei ω0 ist 1.27 = = Daraus folgt
Einerseits ist
Andererseits ist
Wegen der Ladungsneutralität ist
Da in der Aufgabe nach Elektronen auf der Erde gefragt wurde, setzen wir qE < 0.
FG = | - G | = | |||||
FC = | - | ||||||
- G = | - | ||||||
qE2 = | 4πϵ 0GmEmS | ||||||
qE = | - 2 | ||||||
qE | = -2 | ||
= -2 C | |||
= -2 ⋅ 1015 C | |||
= -2.97053 ⋅ 1017 C | |||
Die Fläche pro Elektron ist also
Das bedeutet, dass jedes Atom an der Oberfläche der Erde hundertfach geladen sein müsste!
FC,x | = - | = | |||||
= | = | ||||||
FC,x | = - - | = | - | ||||
= - | = | - | |||||
FC,x | = - + | = | |||||
= | = | - | |||||
Da die positive und die negative Ladung gleich weit von der y-Achse entfernt sind und auf der x-Achse liegen, ist auch Fy überall gleich null.
Die x-Komponente der Coulombkraft ist dann (das erste Minuszeichen stammt davon, dass die y-Achse links der Ladung q ist, das zweite ist weil die linke Ladung kleiner Null ist)
FC,x(y) | = - ⋅ - ⋅ | ||
= - |
0 | = mA2x 0eAt + bAx 0eAt + kx 0eAt | ||
= mA2 + bA + k = 0 |
Die Lösung ist also
mit den Unbekannten x0,+ und x0,-.