Die Ladungen -Q0 seien bei xn,- = x0 2, nϵℤ.
Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0.
Lösen Sie mit den Werten ρ = 103 kg/m3, g = 9, 81 m/s2, d = 5 mm, D = 0, 05 m, ε0 = 8, 85⋅10-12 C2/(m2N) und ℓ = 0, 2 m, q 1 = 1 nC, q2 = 2 nC die Gleichung für α1.
PDF-Version des Aufgabenblattes
Nehmen Sie an, dass eine Ladung vom Betrage q genau 4 Feldlinien erzeugt. Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für
Die Ladungen +Q0 seien bei xn,+ = x0⋅ 3, nϵℤ.
Die Ladungen -Q0 seien bei xn,- = x0 3, nϵℤ.
Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0.
Jedes Flächenelement dxdy an der Position x,y liefert den Beitrag
an der Stelle (0,0,z)
also
Wir integrieren zuerst über x und verwenden
Bronstein Nr. 206
mit a2 = y2 + z2
Ez(0, 0,z) = | ∫ -∞+∞-∞∞dy | ||||||
= | ∫ -∞+∞-∞∞dy | ||||||
= | ∫ -∞+∞dy | = | ∫ -∞+∞dy | ||||
= | -∞∞ | = | π = |
n | Q0 | -Q0 |
-2 | 49 | 81 |
-1 | 9 | 25 |
0 | 1 | 1 |
1 | 25 | 9 |
2 | 81 | 49 |
Die Tabelle zeigt, dass zu jeder positiven Ladung an einem Ort eine negative dem Betrage nach gleich grosse Ladung existiert. Also ist
Andererseits ist
und
Wir lösen nach α1 auf
0 | = ℓ2α 13 + 2Dℓα 12 + D2α 1 - | ||
= α13 + α12 + α1 - | |||
Nach Bronstein setzen wir β = α1 + = α1 + und erhalten
0 | = β3 + β + | ||
= β3 + 3pβ + 2q | |||
3p | = - | ||||||
2q | = - - | = | - - | ||||
Die Cardanische Formel sagt:
β1 | = u + v | β2 | = s1u + s2v | β3 | = s2u + s1v | ||||||
u | = | ||||||||||
v | = | ||||||||||
s1 | = - + i | s2 | = - - i | ||||||||
Nur die erste Lösung ist reell, also ist
α1 = | β1 - | ||
= | |||
- - | |||
Eingesetzt bekommt man
Alle drei Ladungen sind äquivalent. Die Ladungen 1 und
2 erzeugen eine Kraft auf die Ladung drei in Richtung
der +z-Achse.
da der Abstand von 1 und 3 vektoriell geschrieben = a ist. | |
Weg von der Mitte des Dreiecks.
Länge der Winkelhalbierenden: ℓw = ℓ = .
Kräftefrei heisst:
F + F0 | = 0 | ||||||
F0 | = | = | - | ||||
= - | |||||||
q0 | = -q | = | - | ||||
q0 | = 69.28 nC | ||||||
oder mit der Definition des elektrischen Feldes F = qE und q = e
Die Werte eingesetzt erhalten wir
Bei einer konstanten, in Bewegungsrichtung verlaufenden Kraft ist die Arbeit
Die klassische kinetische Energie ist
Die klassische Energieerhaltung ergibt
oder
Relativistisch ist die kinetische Energie
Umgeformt
und
n | Q0 | -Q0 |
-2 | -343 | -729 |
-1 | -27 | -125 |
0 | 1 | -1 |
1 | 125 | 27 |
2 | 729 | 343 |
Die Ladungen Q0 bei 3x 0 ergeben an der Stelle (0; 0; 0) das Feld
n = 0 E+ = = -
n = 1 E+ = = -
n = -1 E+ = =
Für die Ladungen -Q0 ergibt sich
n = 0 E- = = -
n = 1 E- = =
n = -1 E- = = -
Wir fassen die Paare bei ±x0, ± 33x 0, ± 53x 0 usw. zusammen
±x0 : E = -
±3x0 : E = +⋅
±5x0 : E = -⋅
Es gibt einen gemeinsamen Vorfaktor - = -. Die Summe aller variablen Beiträge ist
S | = 1 - + - + - + ∓… | ||
= ∑ n=0∞ = 0.9889445515 | |||
Also ist