Aufgabenblatt zum Seminar 02 PHYS70357 Elektrizitatslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Aufgabenblatt zum Seminar 02
PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus
(Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)

29. 04. 2009

1 Aufgaben

Berechnen Sie mit dem Coulombgesetz das elektrische Feld einer unendlichen geladenen Ebene z = 0 mit der Flächenladungsdichte σ.
Die Ladungen +Q₀ seien bei x_n,+ = x₀⋅ ², nϵℤ .
Die Ladungen -Q₀ seien bei x_n,- = x₀ ², nϵℤ.
Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0.
Eine leitfähige Kugel aus einem Material der Dichte ρ und dem Durchmesser d wird an einem isolierenden massefreien Faden der Länge ℓ an einer horizontalen Ebene aufgehängt. Diese Kugel wird mit der Ladung q₁ versehen. Eine zweite identische Kugel wird mit der Ladung q₂ belegt. Diese Kugel wird im Abstand ℓ unter der Ebene und um D seitlich zum Aufhängepunkt der ersten Kugel positioniert. Diese Kugel ist fixiert. In welchem Winkel α₁ steht die erste Kugel von der Senkrechten ab, wenn Sie annehmen, |α₁|≪ 1 ist?
Lösen Sie mit den Werten ρ = 10³ kg/m³, g = 9, 81 m/s², d = 5 mm, D = 0, 05 m, ε₀ = 8, 85⋅10^-12 C²/(m²N) und ℓ = 0, 2 m, q₁ = 1 nC, q₂ = 2 nC die Gleichung für α₁.
An den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit 7 mm Kantenlänge befinden sich drei negative Ladungen von |q| = 0.12 µC.
1. Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken.
2. Wie gross muss eine in der Mitte des Dreiecks angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den Ecken kräftefrei sind?
Auf einen elektrischen Dipol wirkt in einem elektrischen Feld || = 1.3⋅10⁴ V/m ein Drehmoment von || = 9 zNm (Tip: machen sie sich über Einheitenvorsätze kundig!). Der Dipol steht in einem Winkel von α = 0.6 zum elektrischen Feld. Welchen Abstand haben die Ladungen des Dipols voneinander, wenn es sich um einfache Elementarladungen handelt?
Berechnen Sie unter Zuhilfenahme aller Kenntnisse aus den früheren Vorlesungen die Endgeschwindigkeit eines ruhenden Elektrons, das durch ein elektrisches Feld der Grösse
1. 20 kV/m über eine Distanz von 1 cm (Radioröhre, z.B EL84 )
2. 100 MV/m über eine Distanz von 1 µm (Lawinendurchbruch in einer Avalanche-Photodiode)
3. 60 kV/m über eine Distanz von 5 dm (Fernseh-Bildröhre)
4. 10 kV/m über eine Distanz von 10 km (Beschleuniger, dies sind effektive Werte, die Beschleunigungsfelder sind nicht immer an)
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(Im Seminar 12 Minuten)
Nehmen Sie an, dass eine Ladung vom Betrage q genau 4 Feldlinien erzeugt. Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für
1. Eine einzelne Ladung +q
2. Zwei Ladungen +2q und -q im Abstand 4Einheiten
3. Vier Ladungen vom Betrage q, die an den Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge 4Einheiten angeordnet sind und deren Ladungsvorzeichen entlang des Quadratumfanges alterniert.
4. Acht Ladungen vom Betrage q mit alternierenden Vorzeichen gleichabständig auf einem Kreis mit dem Radius 3Einheiten;
(Nachtrag)
Die Ladungen +Q₀ seien bei x_n,+ = x₀⋅ ³, nϵℤ.
Die Ladungen -Q₀ seien bei x_n,- = x₀ ³, nϵℤ.
Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0.

2 Lösungen

Aus Symmetriegründen darf das elektrische Feld nur Komponenten in der z-Richtung haben. Ebenso reicht es aus Symmetriegründen, das elektrische Feld entlang der z-Achse zu berechnen.

Jedes Flächenelement dxdy an der Position x,y liefert den Beitrag

dEz (0,0,z) = --1------σdxdy------z 4π ε0(x2 + y2 + z2)32

an der Stelle (0,0,z)

also

+∫ ∞∫+∞ Ez (0,0, z) = -σz-- -----dxdy----3- 4πε0 (x2 + y2 + z2)2 - ∞ -∞

Wir integrieren zuerst über x und verwenden

Bronstein Nr. 206

2 2 ∫ dx x X = x + a ⇒ √---3 = -2√---- X a X

mit a² = y² + z²

E_z(0, 0,z) =	∫ _-∞^+∞_-∞^∞dy
=	∫ _-∞^+∞_-∞^∞dy
=	∫ _-∞^+∞dy	=	∫ _-∞^+∞dy
=	_-∞^∞	=	π =

Das elektrische Feld hat an der Stelle (0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-Komponente.

n Q₀ -Q₀

-2 49 81
-1 9 25
0 1 1
1 25 9
2 81 49

Die Tabelle zeigt, dass zu jeder positiven Ladung an einem Ort eine negative dem Betrage nach gleich grosse Ladung existiert. Also ist
$Ex (0 ) = 0$

Wegen der Annahme α₁ ≪ 1 gilt

--1-------q1q2------ FC = 4πε0 (D + ℓ sin α1)2

Andererseits ist

FC- F = tan α1 ≈ α1 G

und

FG α1 = π-d3ρgα1 = -1------q1q2---- 6 4πε0 (D + ℓα1)2

Wir lösen nach α₁ auf

0	= ℓ²α₁³ + 2Dℓα₁² + D²α₁ -
	= α₁³ + α₁² + α₁ -

Nach Bronstein setzen wir β = α₁ + 2Dℓ
3ℓ2 = α₁ + 2D-
3ℓ und erhalten

0	= β³ + β +
	= β³ + 3pβ + 2q

mit

3p	= -
2q	= - -	=	- -

Die Cardanische Formel sagt:

β₁	= u + v	β₂	= s₁u + s₂v	β₃	= s₂u + s₁v
u	=
v	=
s₁	= - + i	s₂	= - - i

┌│ -----------------------∘---------------------------------- 3│ D3 3 q q ( D3 3 qq )2 D6 u = ∘ ------ ---------1-2 + ------ -------- -12- - ------ 27 ℓ3 4π2d3ρg ε0ℓ2 27ℓ3 4π2d3 ρg ε0ℓ2 729 ℓ6

┌ -----------------------∘---------------------------------- ││ 3 ( 3 )2 6 v = 3∘ -D---- ---3----q1q2- -D---- ----3---q1q2 - -D---- 27 ℓ3 4π2d3ρg ε0ℓ2 27ℓ3 4π2d3 ρgε0ℓ2 729ℓ6

Nur die erste Lösung ist reell, also ist

α₁ =	β₁ -
=
	- -

Eingesetzt bekommt man

α1 = 0.01033199382

Alle drei Ladungen sind äquivalent. Die Ladungen 1 und 2 erzeugen eine Kraft auf die Ladung drei in Richtung der +z-Achse.

2 √ --2 F = 2⋅--1--q-⋅sin π-= ---3q-- z,3 4πε0 a2 3 4 πε0a2

da der Abstand von 1 und 3 vektoriell geschrieben = a (cos(π∕3);sin(π∕3)) ist.

Mit den gegebenen Werten:

F = 4.57692 N

Weg von der Mitte des Dreiecks.

Die Mitte des gleichseitigen Dreiecks teilt die Winkelhalbierende im Verhältnis 1:2.

Länge der Winkelhalbierenden: ℓ_w = ℓ = a√3- .

Kräftefrei heisst:

F + F₀	= 0
F₀	=	=	-
	= -
q₀	= -q	=	-
q₀	= 69.28 nC

Die Ladungen q und -q sind im Abstand a voneinander. Im homogenen Feld wirkt auf die Ladung q die Kraft F und auf -q die Kraft -F. Wir haben ein Kräftepaar, dessen Verbindungslinie im Winkel α zur Kraft steht. $T = aF sinα$
oder mit der Definition des elektrischen Feldes F = qE und q = e
$T T a = -------= -------- F sin α eE sinα$
Die Werte eingesetzt erhalten wir
$-------------9-zNm-------------- a = 1.3⋅0.1602 aC ⋅100 kN/C sin(0.6) = 0.7653 µm$
Die Coulombkraft ist gegeben durch $FC = E⋅q$
Bei einer konstanten, in Bewegungsrichtung verlaufenden Kraft ist die Arbeit
$W = F ⋅s = E ⋅q⋅s$
Die klassische kinetische Energie ist
$1- 2 Ekin = 2mv$
Die klassische Energieerhaltung ergibt
$1mv2 = E ⋅q⋅s 2$
oder
$∘ -------- v = 2E ⋅ q-s m$
Relativistisch ist die kinetische Energie
$( ) 2 2 2 -----1------ Ekin,rel = m (v)c - m0c = m0c ∘ -----2--2 - 1 = E ⋅q⋅s 1 - v ∕c$
Umgeformt
$m0c2 ∘------2--2-= E⋅q⋅s + m0c2 1 - v ∕c$

$1 E ⋅q⋅s ∘------2--2-= ----2-+ 1 1 - v ∕c m0c$

$∘ --------- m0c2 1 - v2∕c2 = ------------2 E ⋅q⋅s + m0c$

$2 2 m20c4 1 - v ∕c = -------------22- (E ⋅q⋅s + m0c )$

$2 2 m20c4 v ∕c = 1 - -------------22- (E ⋅q⋅s + m0c )$

$[ ] 2 2 m20c4 v = c 1 - -------------2-2 (E ⋅q⋅s + m0c )$

$∘ ------------2-4----- v = c 1 - -----m-0c------- (E ⋅q⋅s + m0c2 )2$
und
$∘ ----------------------- E2 ⋅q2⋅s2 + 2E ⋅q⋅s⋅m0c2 v = c------E-⋅q⋅s +-m--c2------ 0$
1. klassisch: v = 8.3815⋅10⁶m∕s
  relativistisch: v = 8.3791⋅10⁶m∕s
2. klassisch: v = 5.9266⋅10⁶m∕s
  relativistisch: v = 5.9257⋅10⁶m∕s
3. klassisch: v = 1.0265⋅10⁸m∕s
  relativistisch: v = 9.8386⋅10⁷m∕s
4. klassisch: v = 5.9266⋅10⁹m∕s
  relativistisch: v = 3.0000⋅10⁸m∕s
1. Eine Ladung +q
2. Zwei Ladungen +2q und -q
3. Vier Ladungen +q und -q
4. Acht Ladungen +q und -q