Aufgabenblatt zum Seminar 04
PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus
(Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)

13. 05. 2009

1 Aufgaben

  1. Das elektrostatische Potential hat die Form einer Gaussschen Glockenkurve
    φ(x,y,z ) = φ0e -(x2+y2+z2)∕r20

    1. Berechnen Sie die Ladungsverteilung ρel(x,y,z).
    2. Skizzieren Sie entlang der positiven x-Achse die Ladungsverteilung ρel(x,y,z).
  2. Das elektrostatische Potential hat die Form einer modifizierten Lorentzkurve mit k > 0
    ------φ0-------- φ(x,y,z ) = (x2+y2+z2)k∕2- 1 + rk0

    1. Berechnen Sie die Ladungsverteilung ρel(x,y,z).
    2. Skizzieren Sie entlang der positiven x-Achse die Ladungsverteilung ρel(x,y,z).
  3. Eine Ladung q > 0 befindet sich am Symmetriezentrum eines regelmässigen platonischen Körpers (Kantenlänge a). Berechnen Sie für einen

    jeweils

    1. den Fluss des elektrischen Feldes durch eine Seitenfläche und
    2. das mittlere elektrische Feld (gemittelt über die Seitenfläche).
  4. 12 identische Kondesatoren mit C = 123 nF sind entlang der Kanten eines Oktaeders angeordnet.
    1. Berechnen Sie die Kapazität entlang einer Raumdiagonale.
    2. Berechnen Sie die Kapazität zwischen zwei benachbarten Ecken.
    3. Berechnen Sie die Kapazität zwischen zwei übernächsten Ecken.
  5. Ein Plattenkondensator (Plattengrösse A = 20 cm2, Plattenabstand d = 500 µm) ist mit Glimmer (relative Dielektriozitätszahl ε = 7) gefüllt. Der Kondensator wird auf eine Spannung von 324.57 V (Erraten Sie, wie die Spannung erzeugt wurde?) aufgeladen.
    1. Wie gross ist das elektrische Feld E im Kondensator?
    2. Wie gross ist die dielektrische Verschiebung D im Kondensator?
    3. Wie gross ist die Ladung qP auf den Kondensatorplatten?
    4. Wie gross ist induzierte Ladungsdichte an der Grenze des Dielektrikums?
    5. Wie gross ist die Energiedichte we im Kondensator?
    6. Wieviel Energie ist im Kondensator gespeichert?
  6. Ein Koaxialkabel besteht aus einer zentralen Ader (Innenleiter mit Radius a) und einer von der Ader durch ein Dielektrikum (relative Dielektrizitätszahl ε = 2.7) getrennten koaxialen zylindrischen Hülle mit dem Radius b.
    1. Berechnen Sie allgemein (ohne Einsetzen) die Kapazität pro Länge (Kapazitätsbelag) eines solchen Kabels. (Berechnen Sie dazu am Besten die Potentialdifferenz zwischen Aussenleiter und Innenleiter bei gegebener Ladung pro Länge)
    2. Wie gross ist der Kapazitätsbelag, wenn a∕b = 3∕20 ist?
  7. Ein Kondensator C1 = 24 µF wird auf U1 = 120 V geladen, ein Kondensator C2 = 14 µF wird auf U2 = -43 V geladen, und schliesslich wird der Kondensator C3 = 987 nF auf U3 = 1234 V geladen. Die drei Kondensatoren werden mit der oben angegebenen Polarität in geladenem Zustande parallel geschaltet. Wie gross ist die resultierende Spannung an der Parallelschaltung? (Funken und andere Nebensächlichkeiten beim Zusammenschalten werden vernachlässigt, bzw. ignoriert!)

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  8. (Im Seminar 12 Minuten)
    1. Berechnen Sie die Kraft F zwischen zwei Kondensatorplatten der Fläche A = 300 cm2 im Abstand d = 3 mm, wenn eine Spannung von U = 100 V zwischen den Platten herrscht.
    2. Wie gross muss die mechanische Zugspannung σ sein, damit die Platten in Ruhe sind?

2 Lösungen

  1. Wir verwenden zur Lösung die Poisson-Gleichung
    ρel(x,y,z) Δ φ(x,y,z) = - ---------- εε0

    und setzen die gegebene Gleichung ein. Da x, y und z gleichbedeutend sind, setzen wir a2 = y2 + z2 und leiten nur nach x ab.

    ∂ --- ∂xφ0(x,y,z) = φ0 ∂ --- ∂xe-(x2+a2)∕r02
    = -2x- r20φ0e-(x2+a2)∕r02
    --∂- ∂x2x- r20φ0e-(x2+a2)∕r02 = --2 r20φ0e-(x2+a2)∕r02 + 2 4x-- r40φ0e-(x2+a2)∕r02
    ∂2 ---2 ∂xφ0(x,y,z) = 2φ0 --4- r0( ) 2x2 - r20e-(x2+y2+z2)∕r02
    ρel(x,y,z) = -εε0( ) ∂2-- -∂2- -∂2- ∂x2φ0 (x, y,z) + ∂y2 φ0(x,y,z) + ∂z2 φ0(x,y,z )
    = -εε02-φ0 r40( ( ) ) 2 x2 + y2 + z2 - 3r2 0e-(x2+y2+z2)∕r02
    ρel(r) = -εε02 φ0 --4- r0( 2 2) 2r - 3r 0e-r2∕r02

    PIC PIC

    Beispiel berechnet mit φ0 = 1 nJ/C, r0 = 0.25 nm

    Alternativ kann die Aufgabe mit sphärischen Koordinaten r,ϕ,θ gelöst werden. Vektoren in sphärischen Koordinaten werden als

    ( ) r v = rer + ϕe ϕ + θ eθ = ( ϕ ) θ

    geschrieben.

    Der Gradient ist dann

    ( ∂-φ(r,ϕ,θ) ) | ∂r | ( ) ( ∂ ) ( ) || ∂∂ϕφ(r,ϕ,θ) || -∂- -∂ϕφ(r,ϕ,θ) ∂∂θφ-(r,ϕ,θ) grad φ(r,ϕ,θ) = |( r |) = ∂r φ(r,ϕ,θ) er + r e ϕ + rsin (ϕ) eθ ∂∂θφ(r,ϕ,θ) rsin(ϕ)

    Die Divergenz eines Vektorfeldes v = vr(r,ϕθ)er + vϕ(r,ϕθ)eϕ + vθ(r,ϕθ)eθ ist

    -∂ (r2sin (ϕ)v (r,ϕθ)(r,ϕ,θ))+ -∂ (rsin (ϕ)v (r,ϕθ)(r,ϕ,θ))+ ∂-(rv (r,ϕθ) (r,ϕ,θ)) div v = ∂r-----------r----------------∂ϕ----------ϕ-----------------∂θ----θ------------- r2sin (ϕ)

    Der Laplaceoperator angewandt auf die skalare Funktion φ(r,ϕ,θ) ist dann

    ( ( ) ( ∂ ) ) ∂-(r2sin(ϕ) ∂-φ(r,ϕ,θ))+ ∂- sin(ϕ) ∂-φ (r,ϕ,θ ) + -∂ -∂θφ(r,ϕ,θ) --∂r----------∂r------------∂ϕ--------∂ϕ------------∂θ----sin(ϕ)----- Δ φ(r,ϕ,θ) = r2(sin (ϕ))

    Wir setzen nun r2 = x2 + y2 + z2 und erhalten

    -r2∕r2 φ(r,ϕ,θ) = φ0e 0

    Eingesetzt in ρel(r,ϕ,θ) = -εε0Δφ(r,ϕ,θ) erhalten wir

    - rr22 - rr22 r2 ρ (e,ϕ,θ) = - 2εε φ - 3-r2sin-(ϕ)e-0r20-+-2r4sin(ϕ)-e--0-= - 2εε φ 2r2---3r02e-r20 el 0 0 r2r40 0 0 r40

  2. Wir verwenden zur Lösung die Poisson-Gleichung
    ρel(x,y,z) Δ φ(x,y,z) = - εε 0

    und setzen die gegebene Gleichung ein. Da x, y und z gleichbedeutend sind, setzen wir a2 = y2 + z2 und leiten nur nach x ab.

    ∂ --- ∂xφ0(x,y,z) = φ0 ∂ --- ∂x 1 -----(x2+a2)k∕2 1 + ---rk---- 0
    = - (k∕2)-1 φ0-(x2-+-a2)-------kx- ( (x2+a2)k∕2)2 k 1 + r0k r0
    --∂- ∂x k∕2-1 φ0-(x2 +-a2)-----kx- ( (x2+a2)k∕2)2 k 1 + ---rk0---- r0 = ( ) 2 2 (k∕2)-1 2 2 2 2φ0--(x--+-a-)--------k--x- ( (x2+a2)k∕2)3 2k 1 + ---r0k---- r0 - (k∕2)- 2 φ0-(x2 +-a2)------k2x2- ( (x2+a2)k∕2)2 k 1 + ---r0k---- r0
    - 2 2(k∕2)-1 φ0-(x--+-a-)-------k- ( (x2+a2)k∕2)2 k 1 + r0k r0 + 2 2 (k∕2)-2 2 2φ0-(x--+-a-)------kx-- ( (x2+a2)k∕2)2 k 1 + r0k r0
    ∂2 --2- ∂xφ0(x,y,z) = ( 2 2 2 (k∕2)-1)2 2 2 2φ0 (x + y + z ) k x -----(------2-2--2-k∕2)3--------- 1 + (x+yr+0zk-)--- r02k -φ0 (x2 + y2 + z2)(k∕2)- 2k2x2 ---(------2-2--2-k∕2)2------ 1 + (x+yr+0zk-)--- r0k
    -φ0-(x2 +-y2 +-z2)(k∕2)-1-k ( (x2+y2+z2)k∕2)2 1 + -----r0k----- r0k + 2φ0-(x2-+-y2 +-z2)(k∕2)--2kx2- ( (x2+y2+z2)k∕2)2 1 + ----r0k----- r0k
    ρel(x,y,z) = -εε0φ0k⌊ ( ) 2φ (x2 + y2 + z2)(k∕2)-1 2 k2x2 |---0---------------------------- ⌈ ( (x2+y2+z2)k∕2)3 2k 1 + r0k r0
    2 2 2(k∕2)-2 2 2 . - φ0((x-+--y-+-z-)---)---k-x- (x2+y2+z2)k∕2-2 k 1 + r0k r0
    ⌋ φ0 (x2 + y2 + z2)(k∕2)- 1k 2 φ0(x2 + y2 + z2)(k∕2)-2kx2 | - -(------2--2--2k∕2)2---- + ---(------2--2--2k∕2)2------⌉ 1 + (x-+yr+zk-)--- r0k 1 + (x-+yr+kz)--- r0k 0 0
    = εε0φ0k( ) -rk-2r02k (1-+-k)-+-r0kr2k-2(1---k)- (r k + rk)3 0

    PIC PIC

    Beispiel berechnet mit φ0 = 1 nJ/C, r0 = 0.25 nm

    Alternative Rechnung mit sphärischen Koordinaten. (siehe auch die Aufgabe 1) Das Potential in sphärischen Koordinaten ist

    φ φ(r,ϕ,θ) = ----02--2- 1+ r ∕r0

    Dann ist ρel(r,ϕ,θ) = -εε0Δφ(r,ϕ,θ) und

    ρel(r,ϕ,θ) = ----εε0--- r2sin(ϕ)( ) | -sin-(ϕ)φ0-rkk- -sin-(ϕ-)φ0r2kk2 sin(ϕ)-φ0rkk2-| ( - k ( rk)2 + 2 2k( rk)3 - k( rk)2 ) r0 1+ r0k r0 1+ r0k r0 1+ r0k
    = -εε0φ0- r2( ) | ----rkk------- ----r2kk2----- -----rkk2-----| ( - ( rk)2 + 2 ( rk)3 - ( rk)2 ) r0k 1+ r0k- r02k 1+ r0k- r0k 1+ r0k-
    = -----εε0φ0k----- 2 k( rk )2 r r0 1 + r0k( ) ( k ----r2kk----- k ) - r + 2 k( rk-) - r k r0 1 + r0k
    = - εε φ kr krk ---0-0--0--2- r2(r0k + rk)( rkk ) - (k + 1)+ 2 -k----k- r0 + r
  3. Das Gausssche Gesetz gilt auch, wenn die Oberfläche ein regelmässiger platonischer Körper ist. Da alle Seitenflächen äquivalent sind, ist der Fluss durch eine Seitenfläche bei n Flächen
    Φ (4π) q Φ (Seiten fläche) = ------ = ---- n ε0n

    Wenn A die Fläche einer Seitenfläche ist, ist

    Φ (Seitenfläche) q ⟨E ⊥⟩A = --------------- = ----- A nε0A

    Die Parallelkomponente von E mittelt sich aus Symmetriegründen weg.

    Zur Berechnung der Seitenfläche eines regelmässigen n-Eckes verwenden wir aus Bronstein

    1 ( π) A = --na2 cot -- 4 n

    wobei a die Länge der Seite und 2nπ der Öffnungswinkel des Dreiecks im Zentrum des n-Eckes ist.

    Platonischer Körper Anzahl Seiten Form der Seite A
    Tetraeder 4 gleichseitiges Dreieck √3- 4a2
    Hexaeder (Würfel) 6 Quadrat a2
    Oktaeder 8 gleichseitiges Dreieck √- -34-a2
    Dodekaeder 12 gleichseitiges Fünfeck √ - √-1+--5√- 10-2 5 5a2 4
    Ikosaeder 20 gleichseitiges Dreieck √- -34-a2

    Die Resultate sind

    Platonischer Körper Fluss Φ(Seitenfläche) Mittleres elektrisches Feld ⟨E ⊥⟩A
    Tetraeder q-- 4ε0 --q√---- 4ε0-34 a2 = √--q-- 3ε0a2
    Hexaeder (Würfel) q 6ε0- q 6ε0a2-
    Oktaeder q8ε0- 2√3qε-a2 0
    Dodekaeder q 12ε0- √10--2√5-q 15(1+√5)-ε0a2-
    Ikosaeder -q-- 20ε0 -√-q--- 5 3ε0a2
  4. Eigentlich braucht man 12 Kondensatoren (man sollte zählen können).
    1. Hier sind jeweils 4 und 4 Kondensatoren parallel, und die Parallelschaltungen sind in Serie. Die restlichen vier Kondensatoren haben an beiden Enden das gleiche Potential (Symmetrie). Also ist
      CRD = ----1--- = 2C = 246 nF 14C-+ 14C-

    2. Wir betrachten zuerst den Oktaeder und das äquivalente Schaltbild dazu

      PIC PIC

      Alle nicht beschrifteten Kondensatoren haben den Wert C. Aus dem Schaltbild ersehen wir, dass wenn wir die Kondensatoren zwischen A und B, bzw. zwischen C und D, durch eine Serienschaltung von jeweils zwei Kondensatoren mit der Grösse 2C ersetzen, dass wir dann in der Mitte des Schaltbildes (vertikal) eine Symmetrieebene haben. Wir müssen also nur die Hälfte berechnen und dann das Resultat in Serie nehmen.

      Die Abbildungen zeigen die Symmetrieebene und das dazu äquivalente Schaltbild.

      PIC PIC

      Wir fassen alle Parallelschaltungen zusammen.

      PIC

      Die Schaltung ist nun einfach genug zum Auflösen.

      1 1 1 2 10 -----= --------1---+ --------1---= ------4--= ----- CNN 4C + -1+-1- 4C + -1+-1- 4C + 5C 24C 4C C 4C C

      oder

      C = 12-C = 295.2 nF 5

    3. Dies ist Aufgabe a)
  5. Die Spannung wurde mit einer Gleichrichterdiode aus Silizium aus der Netzspannung erzeugt.

    1. Mit E = U∕d ist
      E = 649.140 kV/m

    2. Mit D = εε0E
      2 D = 40.214223 µC/m

    3. Mit D = Q∕A ist
      q = DA = 80.42844600 nC p

    4. Die induzierte Ladung ist (ε - 1)∕εqp oder
      qind = 68.93866800 nC

      Daraus die Ladungsdichte

      qind- σind = A = 34.469334 µC/m

    5. Mit wel = 1 2DE bekommt man
      3 wel = 13.05233036 J/m

    6. Die Energie ist
      E = welAd = 13.05233036 µJ

  6. Aus der Vorlesung wissen wir
    ( ) U(r) = - --λ---ln r- 2π εε0 r0

    1. Die Spannung zwischen Innen und Aussen ist
      ( ) ( ) ( ) λ a λ b λ b U (a) - U(b) = - ------ln -- + ------ln -- = ------ ln -- 2π εε0 r0 2π εε0 r0 2 πεε0 a

    2. Aus
      C = Q- U

      und mit dem Kapazitätsbelag Cℓ erhalten wir

      λ λ 2πεε0 Cℓ = U- = -λ-----(b)-= --(b)-= 79.1392 pF/m 2πεε0 ln a ln a

  7. Wir berechnen zuerst die Ladungsmengen auf den Kondensatoren aus Q = CU.
    Q1 = C1U1 Q2 = C2U2 Q3 = C3U3 Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1U1 + C2U2 + C3U3

    Die neue Kapazität ist

    C = C1 + C2 + C3

    Also ist

    U = Q- C = C1U1-+--C2U2-+-C3U3-- C1 + C2 + C3
    = 24-µF-⋅120-V-+--14 µF-⋅(--43-V-) +-987-nF-⋅1234-V- 24 µF + 14 µF + 987 nF = 89.67 V
  8. Aus der Vorlesung:
    2 w = 1DE = εε0E2 = εε0 U-- el 2 2 2 d2

    1. Die Kraft ist dann
      εε0A U2 1⋅8.85 pF/m ⋅0.03 m2 ⋅(100 V )2 F = welA = ----- -2-= ---------------------2----------= 0.1475 mN 2 d 2 ⋅(0.003 m )

    2. Hier ist
      2 2 σA = F e A ⇒ σ = w = εε0U-- 1⋅8.85-pF/m--⋅(100-V-)-= 4.917 mPa el el 2 d2 2⋅(0.003 m )2