jeweils
PDF-Version des Aufgabenblattes
und setzen die gegebene Gleichung ein. Da x, y und z gleichbedeutend sind, setzen wir a2 = y2 + z2 und leiten nur nach x ab.
φ0(x,y,z) | = φ0e-(x2+a2)∕r02 | ||
= -φ0e-(x2+a2)∕r02 | |||
-φ0e-(x2+a2)∕r02 | = -φ0e-(x2+a2)∕r02 + φ0e-(x2+a2)∕r02 | ||
φ0(x,y,z) | = e-(x2+y2+z2)∕r02 | ||
ρel(x,y,z) | = -εε0 | ||
= -εε0e-(x2+y2+z2)∕r02 | |||
ρel(r) | = -εε0e-r2∕r02 | ||
Beispiel berechnet mit φ0 = 1 nJ/C, r0 = 0.25 nm
Alternativ kann die Aufgabe mit sphärischen Koordinaten r,ϕ,θ gelöst werden. Vektoren in sphärischen Koordinaten werden als
geschrieben.
Der Gradient ist dann
Die Divergenz eines Vektorfeldes = vr(r,ϕθ)r + vϕ(r,ϕθ)ϕ + vθ(r,ϕθ)θ ist
Der Laplaceoperator angewandt auf die skalare Funktion φ(r,ϕ,θ) ist dann
Wir setzen nun r2 = x2 + y2 + z2 und erhalten
Eingesetzt in ρel(r,ϕ,θ) = -εε0Δφ(r,ϕ,θ) erhalten wir
und setzen die gegebene Gleichung ein. Da x, y und z gleichbedeutend sind, setzen wir a2 = y2 + z2 und leiten nur nach x ab.
φ0(x,y,z) | = φ0 | ||
= - | |||
- | = - | ||
- + | |||
φ0(x,y,z) | = - | ||
- + | |||
ρel(x,y,z) | = -εε0φ0k | ||
= εε0φ0k | |||
Beispiel berechnet mit φ0 = 1 nJ/C, r0 = 0.25 nm
Alternative Rechnung mit sphärischen Koordinaten. (siehe auch die Aufgabe 1) Das Potential in sphärischen Koordinaten ist
Dann ist ρel(r,ϕ,θ) = -εε0Δφ(r,ϕ,θ) und
ρel(r,ϕ,θ) | = - | ||
= - | |||
= - | |||
= - | |||
Wenn A die Fläche einer Seitenfläche ist, ist
Die Parallelkomponente von mittelt sich aus Symmetriegründen weg.
Zur Berechnung der Seitenfläche eines regelmässigen n-Eckes verwenden wir aus Bronstein
wobei a die Länge der Seite und der Öffnungswinkel des Dreiecks im Zentrum des n-Eckes ist.
Platonischer Körper | Anzahl Seiten | Form der Seite | A |
Tetraeder | 4 | gleichseitiges Dreieck | a2 |
Hexaeder (Würfel) | 6 | Quadrat | a2 |
Oktaeder | 8 | gleichseitiges Dreieck | a2 |
Dodekaeder | 12 | gleichseitiges Fünfeck | |
Ikosaeder | 20 | gleichseitiges Dreieck | a2 |
Die Resultate sind
Platonischer Körper | Fluss Φ(Seitenfläche) | Mittleres elektrisches Feld A |
Tetraeder | = | |
Hexaeder (Würfel) | ||
Oktaeder | ||
Dodekaeder | ||
Ikosaeder | ||
Alle nicht beschrifteten Kondensatoren haben den Wert C. Aus dem Schaltbild ersehen wir, dass wenn wir die Kondensatoren zwischen A und B, bzw. zwischen C und D, durch eine Serienschaltung von jeweils zwei Kondensatoren mit der Grösse 2C ersetzen, dass wir dann in der Mitte des Schaltbildes (vertikal) eine Symmetrieebene haben. Wir müssen also nur die Hälfte berechnen und dann das Resultat in Serie nehmen.
Die Abbildungen zeigen die Symmetrieebene und das dazu äquivalente Schaltbild.
Wir fassen alle Parallelschaltungen zusammen.
Die Schaltung ist nun einfach genug zum Auflösen.
oder
Daraus die Ladungsdichte
und mit dem Kapazitätsbelag Cℓ erhalten wir
Die neue Kapazität ist
Also ist
U = | = | ||
= = 89.67 V |