- Ein Staubkorn (Masse 2⋅10-9 g, Ladung 6⋅10-17 C) würde infolge seines Gewichtes und
der Viskosität der Luft in dieser mit einer Geschwindigkeit von 2 cm/s sinken. In einem
quadratischen Abluftkamin (Seitenlänge a = 1 m) sollen solche Staubteilchen elektrisch
aus der Luft entfernt werden. Dazu werden vertikale Platten der Länge L = 1 m im
Abstand von d = 10 cm zueinander im Inneren des Kamins befestigt und zwischen ihnen
jeweils eine Spannung von U = 10 kV angelegt. Wie schnell darf die Abluft in diesem
Kamin steigen, damit 90 % aller Staubteilchen die Platten erreichen können?
Zusatzfrage: Wie hängt das Ergebnis von der Lufttemperatur und dem Luftdruck ab?
- Mit Kondensatoren wird eine unendlich lange Leiter erzeugt, und zwar so, dass die Leiter
mit einer Sprosse beginnt. Für die Sprossen sollen Kondensatoren von CSprosse = 15 µF
verwendet werden. Die Holmen zwischen zwei Sprossen bestehen links und rechts je
aus einem Kondensator CHolm = 22 µF. Wie gross ist die Gesamtkapazität der Leiter,
gemessen links und rechts an der ersten Sprosse?
- Ein Galvaniseur sammelt die Reste zweier zyanidhaltiger wässriger Lösungen seiner
Arbeitssubstanzen in einem gemeinsamem Behälter. Diese Mischung wurde aus Versehen
benutzt zum Galvanisieren in einem Trog, in dem die Elektroden (Fläche je 30 cm2) im
Abstand von 10 cm an eine Spannung von 10 V angeschlossen wurden. Wie gross war
der Anfangsstrom?
Die mittlere Dichte der Lösungen sei 1, 3 g/cm3. Im Abfall befanden sich folgende Ionen:
| Gewichtsanteil
am
Gesamtabfall | Ionenart | Ionen-Molgewicht
in g/mol | Ionengewicht
in der
Lösung | Ionenbeweglichkeit
(10-8 m2/(Vs)) |
Lösung 1: | 20 % | Au+ | 197 | 13,7 % | 3,4 |
| | K+ | 39 | 2,71 % | 7,6 |
| | CN- | 26 | 3,62 % | 9,0 |
Lösung 2: | 80 % | Ag+ | 108 | 12,2 % | 6,2 |
| | K+ | 39 | 5,3 % | 7,6 |
| | Na+ | 23 | 0,7 % | 5,2 |
| | CN- | 26 | 7,26 % | 9,0 |
| | | | | |
Das Wasser sei nicht dissoziiert. (Die Faradaykonstante F = 9.65⋅104 C/mol gibt an, wie
gross die Ladung eines Mols einwertiger Ionen ist.)
Sind die Gewichtsangaben für das Zyanid notwendig oder ergäben sich diese, falls die Lösungen
insgesamt ungeladen wären?
- Die molekulare Polarisierbarkeit von Ethanol ist α = 23⋅10-40 Asm2/V. Berechne daraus die
(relative) Dielektrizitätskonstante von Ethanol. (Molekulargewicht: 46 g/mol, Dichte:
0.79 g/cm3).
- Ein 100 m langer Aluminiumdraht von 1 mm Durchmesser hat einen elektrischen
Widerstand von 3, 5 Ω. Die Beweglichkeit der Leitungselektronen im Aluminium beträgt
μ = 1.26⋅10-3 m2/(Vs). Sie ist durch
definiert, wobei E das elektrische Feld und v0 die Geschwindigkeit der Ladungsträger
ist.
- Wie gross ist die Elektronendichte?
- Wie ist die Elekronendichte pro Atom?
(Dichte von Aluminium = 2.7⋅103 kg/m3, in 27 g Aluminium befinden sich N
A = 6⋅1023
Atome).
- Ein Plattenkondensator aus kreisförmigen Platten mit Radius rc, gefüllt mit einer
0.1 mm dicken Folie mit relativer Dielektrizitätskonstante εr = 3.6, wird über einen Widerstand
mit einer Spannung von U = 100 V geladen.
- Wie gross ist der Durchmesser der Platten?
- Wie gross ist die Ladung im stationären Zustand?
- Wie gross sind zu Zeitpunkten 1 µs, 30 µs, 1 ms, 1 s nach Anlegen der Spannung
die relativen Ladungen des Kondensators im Vergleich zur Endladung?
- Die Spannungszuführung bei dem Kondensator erfolgt im Mittelpunkt der
Plattenflächen. Wie gross ist der radiale Strom auf den Platten am Ort des halben
Plattenradiuses zum Zeitpunkt, zu dem der Kondensator halb geladen ist?
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- (Im Seminar 12 Minuten)
Ein Ringpotentiometer (Widerstand mit Schleiferabgriff) wird zur Winkelmessung benutzt in
einem Winkelbereich von 324°. Dazu wird ein Draht (Durchmesser 0.2 mm) auf einen Ring mit
Durchmesser 5 cm gewickelt, auf dem der Schleifer sich bewegen kann. An den Enden des
Drahtes wird eine Spannung von 9.5 V angelegt.
- Welche (Spannungs-) Auflösung sollte das verwendete Anzeigegerät mindestens
haben?
- Welcher Winkelauflösung entspricht dies?
- Wie könnte die Winkelauflösung verbessert werden?
Beisüpiel eines Drahtpotentiometers (Bild aus wikipedia)
- Die Sinkgeschwindigkeit vL der Staubteilchen in ruhender Luft berechnet sich nach Stokes
über mg = 6πηrvL
Die Kraft im elektrischen Feld ist Q⋅E und demnach erhält man die Driftgeschwindigkeit
zu den Platten zu
Der Driftweg beträgt für 90% aller Teilchen maximal sE = 0.9d und damit die Driftzeit
zu tE = .
Die Luftströmgeschwindigkeit vS muss also so sein, dass die Teilchen in dieser Zeit
maximal die Länge L zurückgelegt haben, also tE = .
Die Feldstärke E ergibt sich einfach zu E = .
Damit erhält man
Das Resultat hängt nicht von der Viskosität der Luft ab, also auch nicht von der Temperatur
und dem Druck.
- Das Problem ist leicht lösbar, wenn man erkennt, dass eine Leiter ohne die erste Sprosse
und die beiden Holmenstücke genau die gleiche Kapazität haben muss wie mit den
beiden, da die Leiter ja unendlich lang ist. Sei CLeiter die Kapazität der Leiter. Dann
ist
CLeiter | = CSprosse + | |
|
| = CSprosse + | |
|
| = CSprosse + | |
|
CHolmCLeiter | = | |
|
0 | = 2CLeiter2 + C
Leiter - CSprosseCHolm | |
|
0 | = 2CLeiter2 - 2C
LeiterCSprosse - CSprosseCHolm | |
|
CLeiter | = | |
|
| = CSprosse | |
|
| | |
Nur das positive Resultat ist physikalisch sinnvoll, also
- Der Stromanteil Ij am Gesamtstrom I durch ein Ion j ergibt sich aus dessen Konzentration cj =
Anzahl/Volumen, dem angelegten elektrischen Feld (U = Spannung an den Elektroden, d =
Elektrodenabstand), der Elektrodenfläche A, der Beweglichkeit μj und der Ionenladung
qj
Die Ladungsdichte cj⋅qj infolge des Ions j ergibt sich aus dem Gewichtsanteil ai der Lösung i an
der Gesamtmenge, dem Gewichtsanteil bij des Ions j in der Lösung i, dem Molekulargewicht des
Ions mj und der Dichte der Lösung ρ zu
wobei nj die Zahl der Elementarladungen e0 des Ions ist und F die Faraday-Konstante.
Zusammen ergibt sich damit für den Anteil des Ions j:
Der Gesamtstrom ergibt sich aus der Summation über alle Ionen:
Für die Anionen (hier CN-) hat n
j ein negatives Vorzeichen, aber die Beweglichkeit ist
in diesem Fall ebenfalls negativ, so dass hier mit den Beträgen gerechnet werden
kann.
Durch Einsetzen und Aufsummieren aller Grössen ergibt sich
- Das Gesetz von Clausius-Mosotti verknüpft die makroskopische (relative) Dielektrizitätskonstante εr
mit der mikroskopischen Polarisierbarkeit α gemäss
wobei N die Dichte der induzierten Dipole ist. Bei Verwendung von makroskopischer Dichte ρ
und Molekulargewicht μ ergibt sich
mit NA = Avogadrozahl ≈ 6⋅1023 /mol.
Umgeformt ergibt sich
- Der Draht hat die Länge ℓ = 100 m und den Querschnitt A = d2 (d = Durchmesser). Wenn
eine Spannung U0 an den Drahtenden angelegt wird, so fliesst ein Strom I0 = . Die
Geschwindigkeit v0 der Leitungselektronen im Draht hängt von der Feldstärke ab und der
Beweglichkeit μ:
Bei Elektronendichte n = im Draht ist der Strom bei der Bewegung der Elektronen durch den
Drahtquerschnitt A
mit e0 = Betrag der Elektronenladung.
Bei der Spannung U0 ist also:
Damit ergibt sich (e0 = 1.6⋅10-19 C)
Bei einer Dichte von ρ = 2700 kg/m3 und einer spezifischen Atomanzahl = /kg ergibt
sich somit Ne = = 3 als Zahl der Elektronen pro Atom.
-
- Die Kapazität C eines Plattenkondensators errechnet sich aus dessen geometrischen
Abmessungen:
Fläche A, Plattenabstand x und der Dielektrizitätskonstanten ε = εr⋅ε0 zu
Bei kreisförmigen Platten ist die Fläche A = πr2 = d2 (d = Durchmesser)
Also:
- Der stationäre Zustand wird nach langer Zeit (gegenüber der Zeitkonstanten τ =
RC) erreicht. Da dann der Restladestrom gegen Null strebt, fällt am Widerstand
keine Spannung mehr ab und somit ist die Spannung am Kondensator
Uc = U gleich der angelegten Spannung U. Damit ergibt sich die Ladung zu
- Die Spannung am Kondensator folgt der Differenz zwischen dem Endwert und einer
fallenden Exponentialkurve, also
Die relative Ladung yi zu einem Zeitpunkt ti ist also:
mit τ = RC = 10-3 s ergeben sich die relativen Ladungen.
- Der Strom in den Kondensator ist die zeitliche Ableitung der Ladung auf dem
Kondensator, also:
Zum Zeitpunkt der halben Ladung ist:
Damit ist:
Somit ist der Strom:
I | = e-
= ⋅eln = | |
|
⋅ | = = = = 0, 05A | | |
Bei homogener Ladungsdichte auf den Platten ist die Ladung innerhalb des Halbradiuses
der Platte der Gesamtladung.
Damit muss der radiale Strom beim Halbradius entsprechend den Flächen = des
ganzen Stromes betragen, also:
- Das Wickeln um einen Ring kann, ohne Gefahr des Abgleitens des Drahtes, nur so geschehen,
dass der Draht immer wieder durch den Ring gefädelt und aussen um den Ring
herumgeführt wird. Wenn nun die so entstandenen Wicklungen des Drahtes möglichst
eng aneinander gepresst werden, gibt es in einem Winkelbereich φ und bei einem
Durchmesser D des Ringes, mit Drahtdurchmesser d insgesamt N = Wicklungen (φ im
Bogenmass).
Bei optimalen Abgriff können nun diese Wicklungen einzeln detektiert werden. Die
Messauflösung sollte also bei einem Speisespannung von U0 sein:
Dies entspricht einer Winkelauflösung von
Eine Verbesserung kann geschehen durch
- Vergrösserung des Ringradiuses
- Verwendung eines dünneren Drahtes
- Ausgiessen der Zwischenräume zwischen den Drahtwindungen durch ein leitendes
Material, das aber eine sehr viel kleinere Leitfähigkeit hat als der verwendete Draht.
Dadurch gibt es auch Zwischenwerte in der abgegriffenen Spannung zwischen denen,
die an den Drahtwicklungen herrschen.