wobei d31 = 10-8 C/N = 10-8 m/V der sogenannte Piezomodul ist. Die entstehende Ladung wird auf den Platten, die auf der Keramik beidseitig aufgebracht wurden, gespeichert. Die Kapazität sei CP = 10 nF. Sie sei mit einem Widerstand R = 1 kΩ verbunden.
Eine Stahlkugel mit einem Durchmesser von 10 mm und einer Masse m = 4.0 g falle aus der Höhe h0 = 50 cm auf den Piezo und deformiere ihn mit der aus der Impulsänderung resultierenden Kraft. Die Zeitabhängige Kraft sei parabelförmig. Der Kontakt dauert insgesamt τ = 1 ms. Berechnen Sie U(t) am Widerstand während des Stosses.
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Zeigen Sie mit der Bedingung, dass ein Leiterbahnknoten sich nicht auflädt, die Gültigkeit des ersten Kirchhoffschen Gesetzes. (Die Summe der zufliessenden Ströme an einem Knoten ist gleich der Summe der wegfliessenden Ströme.)
Die Kraft auf einen zweiten mit dem Strom I2 durchflossenen Leiter der Länge l ist (siehe Manuskript)
Beim differentiellen Auseinanderziehen der Leiter muss nun die differentielle Arbeit dW = Fdr geleistet werden, also ergibt sich für die Gesamtarbeit
parallel zum Feld: vp = v⋅ cos α
senkrecht zum Feld: vs = v⋅ sin α
Das Magnetfeld wirkt über die Lorenzkraft = q× B auf die Flugbahn des Elektrons.
Der parallele Anteil wird durch das Feld nicht verändert, es liegt also eine unbeschleunigte gleichförmige Bewegung parallel zum Feld vor.
Der senkrechte Anteil erfährt über die Kraft Fs = qB⋅v sin φ = qB⋅vs eine stetige Richtungsänderung, die zu einer Kreisbahn senkrecht zum Magnetfeld führt.
Die Zentrifugalkraft m⋅ = m⋅ω⋅vs ist nun gleich der Lorenzkraft: mωvs = qB⋅vs woraus die Kreisfrequenz ω = B und die Periodendauer eines Umlaufs
sich ergibt.
Die Elektronen bewegen sich parallel zum Magnetfeld mit einer konstanten Geschwindigkeit und führen senkrecht dazu eine kreisförmige Bewegung aus, also insgesamt eine schraubenförmige.
Nach der Zeit T treffen sie sich wieder alle in einem Punkt, der
entfernt ist.
Ein Magnetfeld fokussiert also divergent sich bewegende Ladungen, sofern sie alle die gleiche Geschwindigkeit haben und das gleiche Verhältnis .
| Aus den Schnittpunkten lesen wir
die folgenden Werte ab
|
| Aus den Schnittpunkten lesen wir
die folgenden Werte ab
|
Das Resultat ist unten eingezeichnet. Zum Vergleich ist auch U(t) angegeben, wobei die Periodendauer 20 ms ist.
Also ist
Die Leistung am Lastwiderstand ist
Wir suchen den Extremwert
Bemerkung:
Leistung am Innenwiderstand
Gesamtleistung:
Der Wirkungsgrad als Verhältnis von Nutzleistung PL zur eingesetzen Leistung Ptot ist
Der Kraftstoss sei parabelförmig, also
wobei
Aus der Energieerhaltung bekommt man
Damit
Beispiel: Setzen wir d31 = 10-8 C/N, C P = 10 nF, R = 1 kΩ und m = 4.0 g bekommen wir die unten stehenden Kurven.
Nach Biot-Savart erzeugt ein Stromelement Id in einem Punkt, der vom Stromelement um den Ortsvektor entfernt liegt, den Magnetfeldbetrag
Hier ist dℓ = dz, = dzr sin(φ) = dza und r = . Also haben wir
Das Magnetfeld ist in die Papierebene hineingerichtet. Für ℓ →∞ erhält man | |
Wir setzen
Dann ist
| |
und
d× | = ×Rdφ | = | Rdφ | ||||
= dφ |
Da r = ist folgt
Wir integrieren von φ = 0 bis φ = 2π. Bei diesen Integrationsgrenzen verschwinden die Integrale über cos und sin. Also ist = (0, 0,Hz) und
oder
Für z →∞ hat diese Funktion die Form
Mit Hz(0) = I∕(2R) erhalten wir
und
Das Gesetz ist damit gezeigt.
Wir definieren: UR1(t) = R1I0(t), UR2(t) = R2I2(t), UC1 = , UC2 = , I2(t) = , I1(t) = und I0(t) = I1(t) + I2(t) oder I0(t) = + . Weiter ist UC2(t) + UR2(t) = UC1(t) und U0 = UR1(t) + UC1(t) sowie Q1(0) = 0 und Q2(0) = 0.
UC1(t) | = UR2(t) + UC2(t) | = | R2I2(t) + | = | R2 + = | ||||||
U0 | = UR1(t) + UC1(t) | = | R1I0(t) + | = | R1 + | ||||||
und setzen in die zweite Gleichung ein.
U0 | = R1 + R2 + Q2(t) | ||
U0 | = C1R1R2 + + Q2(t) | ||
und setzen ein.
Wir setzen a = und b = .
Dann ist die Lösung der homogenen Gleichung
Die inhomogene Gleichung hat dann die Lösung
mit den drei Bedingungen:
Q2(0) | = 0 | ||
Q1(0) | = 0 | ||
lim t→∞ | = U0C2 | ||
Dies führt auf die drei Gleichungen
0 | = A1 + A2 + A3 | ||
0 | = C1 | ||
C2A0 | = A3 | ||
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist
A3 | = C2U0 | ||
A2 | = - | ||
A1 | = |
UC2(t) = | U0 | ||
Wir wissen, dass für den Ladevorgang gilt
Der Entladevorgang wird durch
beschrieben.
Weiter gilt
und
Damit
UA | = - U 0 | ||
UA | = X - U0 | ||
= UAX2 + U 0X - U0X2 - U 0 + U0X | |||
UA(1 - X2) | = U 0(-X2 + 2X - 1) = -U 0(X - 1)2 | ||
UA | = -U0 | ||
UB | = -U0X + U0 | ||
= U0 | |||
= U0 = U0 | |||
mit
Parameter: R = 1 kΩ, U0 = 0.9 V, C = 2.2 µF und τ = 10 ms