Die Ladungsträgerdichte sei gleich der Atomdichte.
Wie gross ist die Konzentration der leitenden Elektronen im Kupfer und ihre mittlere Geschwindigkeit?
Welche elektromagnetischen Felder messen Sie?
Wie schnell und in welcher Richtung müssen Sie sich Sie sich durch das Labor bewegen, damit die z-Komponente des elektrischen Feldes verschwindet?
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Im Laborsystem existieren die beiden homogenen Felder
Wie schnell müssen Sie sich in die y-Richtung durch das Labor bewegen, damit die x-Komponente der magnetischen Induktion verschwindet? Gäbe es noch andere Möglichkeiten?
Für die angegebene Spule ergibt sich daraus
Das magnetische Moment zeigt in Richtung der Spulenachse.
Das Drehmoment in einem Magnetfeld auf einen Körper mit magnetischen Moment berechnet sich zu
Mit der angegebenen Orientierung zwischen Feld und Spule ergibt sich
Die magnetische Induktion einer kreisförmigen Schleife mit Radius R, durch die der Strom I fliesst, im Abstand ζ zum Kreismittelpunkt auf der „Achse“ des Kreises berechnet sich mit Biot-Savart zu
Bei Benutzung von φ und R zur Beschreibung des Kreises ergibt sich für die Position ζ
wodurch
wird.
Die Integration über φ mit den Grenzen 0 und 2π liefert damit:
also nur eine Komponente in Richtung der z-Achse.
Um die Homogenität in der Mitte beider Spulen zu prüfen, wählen wir eine Position -a ≤ z ≤ a aus. Die Abstände sind dann ζ1 = a - z und ζ2 = a + z.
Das Magnetfeld ist die Summe der beiden Anteile, also
Bz = Bz | = R2 | ||
= R2 |
Damit ergibt sich:
Damit das Magnetfeld homogen ist, muss der Klammerausdruck in einem möglichst grossem Bereich z um 0 konstant sein, also von z nicht abhängen. Also muss die Ableitung von Bz nach z an der Stelle 0 in möglichst hoher Ordnung null sein. Um die Berechnung zu erleichtern, wird die Klammer zuerst umgeschrieben:
K1 | = + | ||
= |
z soll klein sein, so dass um z = 0 eine Taylorentwicklung sinnvoll sein sollte, die hier nach dem quadratischen Term in z abgebrochen wird, (wobei der Faktor vor der Klammer jetzt wieder weggelassen wird):
K2 | = 1 + ⋅ ⋅z + ⋅z2 | ||
+ 1 - ⋅z + ⋅z2 | |||
= 2 + z2 |
Dieser Ausdruck wird unabhängig von z, wenn R = 2a gilt, also der Durchmesser der Spulen doppelt so gross ist wie ihr Abstand.
In diesem Falle ist die Reihenentwicklung für Bz
Das Feld ist also bis und mit der dritten Ableitung flach.
(Berechnung mit N = 100, I = 1 A, a = 0.5 m.)
(mit ρ = Dichte = 2700 kg/m3, m AL = 27 gmol, NA = 6 ⋅ 1023 mol-1) sich zu
ergibt.
Mit d = a = 0.1 mm, q = eElektron = 1.6 ⋅ 10-19 A s erhält man
Die mittlere Geschwindigkeit berechnet sich aus dem Strom (mit Höhe h = b) zu
I | = q ⋅n⋅h⋅d < v > ⇒ | ||
< v >= = 3.1 ⋅ 10-4 m/s |
bei einer Stromstärke I in einem Material der Dicke d mit Ladungsträgern mit Ladung q der Konzentration n in einem Magnetfeld B senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zum Material. Die Spannung ist senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromrichtung.
Sowohl positive geladene Ladungsträger wie die negativen werden in die gleiche Richtung in der Sonde ausgelenkt, so dass nur die Differenz beider wirksam ist.
Die Hallspannung ist also bei Vorhandensein von positiven und negativen Ladungsträgern:
andererseits gilt:
Wenn nun
ist, so kann der Gesamtstrom
berechnet werden, der nötig ist, um die geforderte Hallspannung UH = 10-9V beim vorhandenen Magnetfeld B = 5μT zu erreichen:
I | = b⋅e⋅h < v+ > ⋅ | ||
= be⋅⋅ = 325A |
Dieser grosse Strom ist nötig, da die Ladungsträgerkonzentration gross ist.
Sinnvoller wäre es, ein Material zu verwenden, dessen Ladungsträgerkonzentration sehr viel kleiner ist, z.B. einen dotierten Halbleiter.
Ex′ | = Ex | ||
Ey′ | = γ | ||
Ez′ | = γ | ||
Bx′ | = Bx | ||
By′ | = γ | ||
Bz′ | = γ | ||
Das elektrische Feld bei = ist
Es hat also eine y-Komponente. Alle anderen Felder sind null. Im Ruhesystem des Raumschiffes ist dann mit
Ex′ | = 0 | ||||||
Ey′ | = γ | = | |||||
Ez′ | = γ | ||||||
Bx′ | = 0 | ||||||
By′ | = γ | ||||||
Bz′ | = γ | = | - | ||||
Mit den Zahlenwerten bekommen wir Ey = 0.9022389061 mV/m und
Wenn wir die Lorentztransformationen anschauen,
Ex′ | = γ | ||
Ey′ | = Ey | ||
Ez′ | = γ | ||
Bx′ | = γ | ||
By′ | = By | ||
Bz′ | = γ |
sehen wir, dass eine Geschwindigkeit in die y-Richtung Ez′ zum Verschwinden bringen könnte.
Aus
bekommen wir
und
Die Felder sind gleich wie vorher, aber Bx soll im bewegten Bezugssystem null sein. Also muss
sein. Die Geschwindigkeit ist dann in die y-Richtung und hat den Betrag
Diese Aufgabe ist, ausser in Science Fiction-Romanen, nicht lösbar!