1 Aufgaben

1. Durch eine Spule mit n = 8000 Windungen, die einen Querschnitt A = 10 cm² hat, fliesst ein Strom I = 0.3 A.
   1. Wie gross ist das magnetische Moment m dieser Spule?
   2. Welches Drehmoment M wirkt auf diese Spule in einem Magnetfeld H = 2100 A/m, das mit der Spulenachse einen Winkel von 15° einschliesst?
2. Optimiere bei Helmholtzspulen (2 parallel aufgebaute gleiche Spulen mit grösseren Radius R auf gemeinsamer Achse), deren Abstand und Radius so, dass das Magnetfeld möglichst homogen wird im Arbeitsbereich (dieser befindet sich in der Mitte der beiden Spulen auf der Spulenachse bei z = 0).

   

3. Durch den Querschnitt einer Aluminiumplatte mit der Dicke a = 0.1 mm und der Höhe b fliesst ein Strom I = 5 A. Diese Platte befindet sich in einem Magnetfeld mit der Induktion B = 0.5 T, das senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zu b verläuft. Wie gross ist der Potentialunterschied über die Höhe der Platte?

   Die Ladungsträgerdichte sei gleich der Atomdichte.

4. Durch eine Kupferplatte (Dicke a = 0.5 mm, Höhe b = 10 mm) fliesst ein Strom I = 20 A. Befindet sich diese Platte in einem Magnetfeld der Induktion B = 1 T parallel zur Dicke entsteht ein Potentialunterschied von U_H = 3.1 µV über der Breite der Platte.

   Wie gross ist die Konzentration der leitenden Elektronen im Kupfer und ihre mittlere Geschwindigkeit?

5. Eine fiktive Hallsonde - Gerät zum Ausmessen eines Magnetfeldes - soll aus einer Platte (0.2 mm dick) eines Materials mit positiven Ladungsträgern (Ladungsträgerkonzentration n₊ = 3 ⋅ 10²⁸ /m³) und negativen Ladungsträgern hergestellt werden. Für die Beweglichkeiten gelte = 100. Die Ladungen beider Träger seien jeweils Elementarladungen. Mit dieser Sonde soll das Erdmagnetfeld auf 10% genau ausgemessen werden. Es steht dafür eine einstellbare Stromquelle und ein Voltmeter zur Verfügung, das auf 1 nV genau misst. Welchen Strom muss die Stromquelle mindestens liefern? Diskutiere das Ergebnis und mache Vorschläge zu einer verbesserten Ausführung einer Hallsonde.
6. Sie fliegen mit einem Raumschiff mit der Geschwindigkeit _R = 0.2c⋅_x an einer elektrostatisch geladenen Sonne vorbei. Die Sonne trägt die Ladung Q_S = 1 GC. Sie hat den Durchmesser D_S = 1 Gm. Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems sei am Mittelpunkt der Sonne. Sie befinden sich zur Zeit t = 0 bei

   Welche elektromagnetischen Felder messen Sie?

7. Im Laborsystem existieren die beiden homogenen Felder

   Wie schnell und in welcher Richtung müssen Sie sich Sie sich durch das Labor bewegen, damit die z-Komponente des elektrischen Feldes verschwindet?

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8. (Im Seminar 12 Minuten)

   Im Laborsystem existieren die beiden homogenen Felder

   

   Wie schnell müssen Sie sich in die y-Richtung durch das Labor bewegen, damit die x-Komponente der magnetischen Induktion verschwindet? Gäbe es noch andere Möglichkeiten?

2 Lösungen

1. Das magnetische Moment m ist für eine Leiterschleife definiert als = A_A ⋅I, wobei _A der Normalenvektor auf die Fläche A der Schleife ist. Für eine kurze Spule mit N Windungen ergibt sich einfach:

   Für die angegebene Spule ergibt sich daraus

   

   Das magnetische Moment zeigt in Richtung der Spulenachse.

   Das Drehmoment in einem Magnetfeld auf einen Körper mit magnetischen Moment berechnet sich zu

   

   Mit der angegebenen Orientierung zwischen Feld und Spule ergibt sich

   

2. Die magnetische Induktion entlang der Symmetrieachse einer (sehr kurzen) Spule mit N Windungen sei angenähert die einer einzelnen Windung mit N -fachen Strom.

   Die magnetische Induktion einer kreisförmigen Schleife mit Radius R, durch die der Strom I fliesst, im Abstand ζ zum Kreismittelpunkt auf der „Achse“ des Kreises berechnet sich mit Biot-Savart zu

   

   Bei Benutzung von φ und R zur Beschreibung des Kreises ergibt sich für die Position ζ

   

   wodurch

   

   wird.

   Die Integration über φ mit den Grenzen 0 und 2π liefert damit:

   

   also nur eine Komponente in Richtung der z-Achse.

   Um die Homogenität in der Mitte beider Spulen zu prüfen, wählen wir eine Position -a ≤ z ≤ a aus. Die Abstände sind dann ζ₁ = a - z und ζ₂ = a + z.

   Das Magnetfeld ist die Summe der beiden Anteile, also

   Bz = Bz	= R2
   	= R2

   Damit ergibt sich:

   

   Damit das Magnetfeld homogen ist, muss der Klammerausdruck in einem möglichst grossem Bereich z um 0 konstant sein, also von z nicht abhängen. Also muss die Ableitung von B_z nach z an der Stelle 0 in möglichst hoher Ordnung null sein. Um die Berechnung zu erleichtern, wird die Klammer zuerst umgeschrieben:

   K1	= +
   	=

   z soll klein sein, so dass um z = 0 eine Taylorentwicklung sinnvoll sein sollte, die hier nach dem quadratischen Term in z abgebrochen wird, (wobei der Faktor vor der Klammer jetzt wieder weggelassen wird):

   K2	= 1 + ⋅ ⋅z + ⋅z2
   	+ 1 - ⋅z + ⋅z2
   	= 2 + z2

   Dieser Ausdruck wird unabhängig von z, wenn R = 2a gilt, also der Durchmesser der Spulen doppelt so gross ist wie ihr Abstand.

   In diesem Falle ist die Reihenentwicklung für B_z

   

   Das Feld ist also bis und mit der dritten Ableitung flach.

   

   (Berechnung mit N = 100, I = 1 A, a = 0.5 m.)

3. Die Hall-Spannung beträgt U_H = (q = Ladung der Ladungsträger, d = Strecke des Magnetfeldes in der Probe, n = Ladungsträgerdichte). Die Ladungsträgerdichte ist hier die Atomdichte die

   (mit ρ = Dichte = 2700 kg/m³, m _AL = 27 gmol, N_A = 6 ⋅ 10²³ mol^-1) sich zu

   

   ergibt.

   Mit d = a = 0.1 mm, q = e_Elektron = 1.6 ⋅ 10^-19 A s erhält man

   

4. Nach der gleichen Formel wie in Aufgabe 1 ergibt sich (Dicke d = a, Ladung q = e):

   Die mittlere Geschwindigkeit berechnet sich aus dem Strom (mit Höhe h = b) zu

   I	= q ⋅n⋅h⋅d < v >       ⇒
   	< v >= = 3.1 ⋅ 10-4 m/s

5. Die Hallspannungen berechnen sich gemäss 

   bei einer Stromstärke I in einem Material der Dicke d mit Ladungsträgern mit Ladung q der Konzentration n in einem Magnetfeld B senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zum Material. Die Spannung ist senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromrichtung.

   Sowohl positive geladene Ladungsträger wie die negativen werden in die gleiche Richtung in der Sonde ausgelenkt, so dass nur die Differenz beider wirksam ist.

   Die Hallspannung ist also bei Vorhandensein von positiven und negativen Ladungsträgern:

   

   andererseits gilt:

   

   Wenn nun

   

   ist, so kann der Gesamtstrom

   

   berechnet werden, der nötig ist, um die geforderte Hallspannung U_H = 10^-9V beim vorhandenen Magnetfeld B = 5μT zu erreichen:

   

   I	= b⋅e⋅h < v+ > ⋅
   	= be⋅⋅ = 325A

   Dieser grosse Strom ist nötig, da die Ladungsträgerkonzentration gross ist.

   Sinnvoller wäre es, ein Material zu verwenden, dessen Ladungsträgerkonzentration sehr viel kleiner ist, z.B. einen dotierten Halbleiter.

6. Sie fliegen in die x-Richtung. Die Lorentztransformation für die Felder lautet dann

   Ex′	= Ex
   Ey′	= γ
   Ez′	= γ
   Bx′	= Bx
   By′	= γ
   Bz′	= γ

   Das elektrische Feld bei = ist

   

   Es hat also eine y-Komponente. Alle anderen Felder sind null. Im Ruhesystem des Raumschiffes ist dann mit

   Ex′	= 0
   Ey′	= γ	=
   Ez′	= γ
   Bx′	= 0
   By′	= γ
   Bz′	= γ	=	-

   Mit den Zahlenwerten bekommen wir E_y = 0.9022389061 mV/m und

   
   

7. Die Felder sind

   Wenn wir die Lorentztransformationen anschauen,

   Ex′	= γ
   Ey′	= Ey
   Ez′	= γ
   Bx′	= γ
   By′	= By
   Bz′	= γ

   sehen wir, dass eine Geschwindigkeit in die y-Richtung E_z′ zum Verschwinden bringen könnte.

   Aus

   

   bekommen wir

   

   und

   

8. Die Felder sind gleich wie vorher, aber B_x soll im bewegten Bezugssystem null sein. Also muss

   

   sein. Die Geschwindigkeit ist dann in die y-Richtung und hat den Betrag

   

   Diese Aufgabe ist, ausser in Science Fiction-Romanen, nicht lösbar!