Aufgabenblatt zum Seminar 13 PHYS70357 Elektrizitatslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Aufgabenblatt zum Seminar 13
PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus
(Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)

15. 07. 2009

1 Aufgaben

Zwei gleiche Ladungen Q = 10^-3 C verschiedenen Vorzeichens im mittleren Abstand von 2d = 1 cm schwingen harmonisch und gegenphasig mit einer Frequenz von 10 MHz und einer Amplitude von Δ = 5 µm. Wie gross ist das elektrische und magnetische Feld im grösseren Abstand (z.B. 1 m) in der Ebene durch den gemeinsamen Schwerpunkt der Ladungen mit der Ebenennormalen parallel zur Schwingungsrichtung der Ladungen?

In Medien wird die Richtung und der Betrag des Energieflusses einer elektromagnetischen Welle durch den Poynting-Vektor beschrieben.

S (r,t) = E (r,t) × H (r, t)

Die Einheit von S ist J m^-2 s^-1. Die Intensität an einer durch die Normale definierten Ebene ist

1 a Ia(r) = ⟨|S(r )|⟩t,⊥ = -S0(r )⋅--- 2 |a|

Berechnen Sie mit den Fresnelschen Formeln für nichtmagnetische Substanzen für die s-Polarisation

E_r	= E_e
	= -E_e
E_t	= E_e
	= E_e
sin	= sin γ

und die p-Polarisation

E_r	= E_e
E_t	= E_e

die reflektierte Intensität für s- und p-Polarisation bei gegebener fester einfallender Intensität I₀ und variablem Einfallswinkel 0 ≤ α ≤ π
2

. Dabei soll ε₂ > ε₁ sein.

Berechnen Sie für die folgenden Materialien den Reflexionskoeffizienten I_R∕I₀ bei senkrechtem Einfall auf die Grenzfläche Luft/Material und auf die Grenzfläche Material/Luft.

Material ε μ
GaAs 10.89 1
InSb 15.7 1
Diamant 5.7 1
Ein Polarisator (Durchlassrichtung ) schwächt eine auf ihn fallende Welle (mit einer Intensität I₀ und einer Polarisationsrichtung ) ab gemäss $( d ⋅p )2 I = I0K ----- dp$

mit K ≤ 1 = allgemeiner Schwächungskoeffizient.
Um die Polarisationsrichtung einer Welle um zu drehen, werden nun N solcher Polarisatoren hintereinandergestellt, jeder um gegenüber den vorderen verdreht bzw. gegenüber der Einfallsrichtung . Wie gross ist die ankommende Intensität? Bei welchem N ist diese Intensität maximal (für K = 0, 9; 0, 95; 0, 99; 0, 999)?
Ein Sender werde mit einer Intensität von 50 pW m^-2 empfangen. Wie gross sind die Effektivwerte der elektrischen und magnetischen Feldstärke?
Eine elektromagnetische Welle mit einer Wellenlänge λ = 512 µm trifft senkrecht auf eine planparallele Platte aus Diamant mit der Dicke D. Berechnen Sie für Dicken 0 ≤ D ≤ 1 mm die Intensität des transmittierten und reflektierten Lichtes.
Die Leuchtkraft der Sonne beträgt 3.82 ⋅ 10²⁰ MW. Nehmen Sie an, Sie können die Sonnenstrahlung durch harmonische Schwingungen beschreiben.
1. Wie gross ist dann der Poyntingvektor in Erdentfernung (mittlerer Bahnradius der Erde 150 ⋅ 10⁶ km)?
2. Wie gross ist der mittlere Betrag des elektrischen und magnetischen Feldes hier?
3. Wie gross ist die Sonneneinstrahlung (pro m² und s) in Ulm (48.4° nördliche Breite, 10° östliche Länge) am Frühjahrsanfang Frühjahrsanfang um 12:20 Uhr MEZ?
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(Im Seminar 12 Minuten)
Welchen Winkel muss die Sonne mit dem Horizont bilden, damit das von der Oberfläche eines (ruhigen) Sees reflektierte Licht vollständig polarisiert ist? Die relative Dielektrizitätszahl des Wassers ist ε = = n².
s-Polarisation

E_r = -E_e

p-Polarisation

E_r = E_e
$√ -- √ -- ε1sin(α) = ε2sin(γ)$

2 Lösungen

Laut Skript (Gleichung 6.49) ist das elektrische Feld im Abstand r von einer mit ω harmonisch schwingender Ladung Q (Amplitude z₀) zur Zeit t und dem Winkel Θ zwischen Richtung der Schwingung und Ausbreitungsrichtung, also dem Ortsvektor , $Qz0ω2 1 [ ( r )] E (r,Θ, t) = ------2--sin ω t - -- sinΘ 4 πε0c r c$

Der Winkel Θ ergibt sich (mit d = Abstand des Strahlers von der Mittelebene) zu
$Θ = π-+ arcsin d- 2 r$

Eine schwingende Ladung Q würde im Abstand a von der Verbindungsgeraden der Ladungen (d.h. r² = a² + d²) ein Feld mit der Amplitude
$( ) Q-⋅zoω2-----1---- π- d- -1 E0 = 4π ε c2 √ -2----2 sin 2 + arctan a ≈ 0.4 V m 0 a + d$

verursachen (Zahlenwert gilt für a = 1m). Da die zweite Ladung entgegengesetzt zur ersten schwingt, also um π phasenversetzt, heben sich in grosser Entfernung die Felder, herrührend von den Schwingungen beider Ladungen, auf. Im Nahbereich allerdings bleibt ein Anteil bestehen, da die Ausbreitungsrichtungen der beiden Wellen verschieden ist.
Der Restanteil wäre
$d- - 1 Erest = 2E0 a = 0.008 V m$

Ob allerdings die Voraussetzungen beim Berechnen von Gleichung (6,49) hier im Nahbereich noch erfüllt sind, muss extra geprüft werden.

Wir benötigen

(∘ --- ) ε1 sin(γ(α )) = ε sin(α) 2

und

∘ -------------------- ( ∘ ε-- )2 cos (γ(α)) = 1 - --1sin(α) ε2

Für den Intensität können wir die skalare Variante des Pointing-Vektors verwenden

1- 1- --1-- 2 I = 2S = 2EH = 2μ0c E

Weiter ist

E_r,s	= E_e
	= E_e

Für die Intensität erhält man

I_r,s	= E_r²
	= ²
	= E_e²²
	= I_e²²

Bei der p-Polarisation erhält man

sin (α )cos(α ) - sin γ cos γ Er,p = Ee-------------------------- sin γ cos γ + sin (α)cos (α)

∘ ------------------- ( ∘ ε- ) (∘ -ε )2 sin(α )cos(α ) - ε12 sin(α) 1 - 1ε2-sin (α ) Er,p = Ee (-----------)-∘-----(-----------)------------------ ∘ ε1 ∘ ε1 2 ε2 sin(α) 1 - ε2 sin(α) + sin (α) cos(α)

I_r,p	= E_r,p²
	= ²
	= E_e²²
	= I_e²²

Die Lösungen sind:

Bei einem Polarisator, dessen Durchlassrichtung gegenüber dem einfallenden polarisierten Licht um Δφ gedreht ist, berechnet sich die durchkommende Intensität in Richtung des Polarisators zu

I = I0 ⋅K ⋅ (cos(Δ φ))2

(mit K = Abschwächungskoeffizient, unabhängig von der Polarisationsrichtung).

Sind N solcher Polarisatoren hintereinander gestellt mit jeweils gleichem Δφ so ergibt sich die Intensität des polarisierten Lichtes nach dem letzten zu

N 2N I = I0K ⋅ (cosΔ φ)

Hier ist Δφ = π
4N- für N Polarisatoren zur Drehung der Richtung des polarisierten Lichtes um π
4 . Wenn im Polarisator keine Dämpfung auftritt, also K = 1 gilt, kann die ganze Intenstität des einfallenden Lichtes in die gewünschte Richtung gebracht werden, wenn die Zahl der Polarisatoren gegen ∞ geht. Bei Dämpfung im Polarisator (K < 1) gibt es eine optimale Anzahl N zum Erreichen der grössten Intensität.

Diese ergibt sich aus I = I₀K^N ⋅ ( )
cos -π-
4N ^2N

Zum Bestimmen des Maximums dieser Funktion ist es einfacher, diese vorher zu logarithmieren (Maximum wird dabei erhalten):

( ( ) ) ln(I) = ln(I ) + N ⋅ ln (K ) + 2N ⋅ ln cos -π-- 0 4N

Die Ableitung nach N des Logarithmus der Funktion ist:


	= ln + 2 ln + 2N⋅
	= ln + 2 ln +

Die Lösung wird am einfachsten graphisch gesucht.

Bei der Darstellung sieht man nichts. Es ist besser die N-Achse zu logarithmieren.

K	N

0.9	3
0.95	5
0.99	7
0.999	24

Aus

S (r,t) = E (r,t) × H (r, t)

Gegeben ist hier S_eff = 1
2 S_max. Dann ist S_max = E_maxH_max und S_eff = ( )
√1E
2 max ( )
√1H
2 max . Also ist mit E_eff = √12- E_max und H_eff = 1√2- H_max.

folgt im Vakuum (oder in der Luft) mit μ₀ ⋅H = B = E
c- oder H = E
μ0⋅c und E = μ₀ ⋅c⋅H

S_eff	= E_eff ⋅H_eff	=
S_eff	= E_eff ⋅H_eff	=	μ₀ ⋅c⋅H²
E_eff	=
H_eff	=

E_eff	=	=	137.29 µV m^-1
H_eff	=	=	364.18 nA m^-1

Das Licht läuft wie folgt durch denn Diamanten

Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht)

Wir verwenden die Gleichung

E_r,1	= E_e	Reflexion an der ersten Grenze
E_t,1	= E_e	Transmission an der ersten Grenze
E_r,2	= E_t,1	Reflexion an der zweiten Grenze
E_t,2	= E_t,1	Transmission an der zweiten Grenze

und

= r

Reflexion an der ersten Grenze

= t

Transmission an der ersten Grenze

= r′

- r

Reflexion an der zweiten Grenze

= t′

Transmission an der zweiten Grenze

t⋅t′

= 1 - r²

Die Diamantplatte mit dem Brechungsindex √ ε--
D hat planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten ε = 1. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen. Die reflektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P′. Wenn der Diamant die Dicke D hat und der Winkel der Strahlen zur Normalen im Inneren des Etalons β = 0 ist, dann ist der Gangunterschied zweier benachbarter Strahlen

√ --- Λ = 2 εDD

Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle Ẽ₀(t) = E₀e^iωt angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k₀Λ = 2π
λ Λ sind

˜E1r(t) = E0 reiωt ′ ′ i(ωt-δ) ˜E2r(t) = E0 t rte ˜E3r(t) = E0 t′r′3tei(ωt-2δ) ˜ ′ ′5 i(ωt-3δ) E4r(t) = E0 t r te .. . ˜ENr (t) = E0 t′r′(2N -3)ei(ωt-(N -1)δ) . ..

Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ Er = E1r + E2r + E3r + E4r + ...

Eingesetzt ergibt sich

˜ iωt ′ ′ i(ωt-δ) ′ ′3 i(ωt-2δ) ′ ′5 i(ωt-3δ) Er = E0 re + E0 t rte + E0 tr te + E0 tr te + ...

Zusammengefasst ergibt sich

iωt{ ′ ′ -iδ [ ′2 -iδ ′4 -i2δ ′6 - i3δ ]} ˜Er = E0e r + tr te 1 + r te + r e + +r e + ... iωt{ ′ ′ -iδ [ ( ′2 - iδ)1 ( ′2 -iδ)2 ( ′2 -iδ)3 ]} = E0e r + t rte 1 + r te + r te + r te + ...

Für

< 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten

[ ′ ′ - iδ ] E˜ = E eiωt r + --tr-te----- r 0 1 - r′2e-iδ

Mit den Stokeschen Relationen r′ = -r und t′t = 1 - r² bekommt man

[ r(1 - r2)e-iδ ] [r (1 - e- iδ)] ˜Er = E0eiωt r - ------2--iδ-- = E0eiωt ------2--iδ 1 - r e 1 - r e

Die reflektierte optische Intensität ist

2r2(1 - cosδ) Ir == Ie-----4------2------ (1 + r ) - 2r cos δ

Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität

-----(1---r2)2------ It = Ie(1 + r4) - 2r2cos δ

da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt.

Wenn wir den Wert ε_D = 5.7 einsetzen erhält man mit δ = 2π
λ Λ = 2π
λ 2 √ ---
εD D = 4π D-
λ

√ -- √ --- r = √-1 --√-5.7-= - 1.387467277--= - 0.4095883926 1 + 5.7 3.387467277

( √ --- ) 2r2(1 - cos 4π εDDλ ) 0.3355253028 (1 - cos(18652.08810 π D )) Ir == Ie------4------2----(--√----D)-= -------------------------------------------------- (1 + r ) - 2r cos 4π εD λ 1.028144307 - 0.3355253028 cos (18652.08810 πD )

(1 - r2)2 0.6926190042 It = Ie-----4------2----(--√----D)-= -------------------------------------------------- (1 + r ) - 2r cos 4π εD λ- 1.028144307 - 0.3355253028 cos (18652.08810 πD )

1. Der Poyntingvektor der Sonnenstrahlung in Erdentfernung R zur Sonne ist - mit P_S = 3.82 ⋅ 10²⁰ MW Strahlungsleistung der Sonne - $-PS--- -2 SR = 4πR2 = 1.35 kW m$
2. Daraus ergeben sich die mittleren (effektiven) Feldstärken zu $∘ -------- E = μ ⋅c ⋅S = 714 V m -1 0$
  
  bzw.
  $∘ ---- H = S- = -S--= 1.9 A m -1 E μ0c$
3. Am Frühjahrsanfang (und Herbstanfang) ist die Schrägstellung der Erdachse nicht zu berücksichtigen. Zum lokalen Mittag, der bei Frühjahrsanfang in Ulm 12 : 20 Uhr MEZ ist (MEZ 15° östliche Länge, 5° Differenz 20 min), ist dann, unter Beachtung der geographischen Breite φ = 48.4°, die einfallende Sonneneinstrahlung $-2 SUlm = SR ⋅ cos φ = 896 W m$
Das Sonnenlicht ist auf der Erde in guter Näherung eine ebene Welle. Wenn das reflektierte Licht vollständig polarisiert sein soll, erfolgt die Einstrahlung unter dem Brewsterwinkel, bei dem das reflektierte und gebrochene Licht einen Winkel von einschliessen. Für Wasser und Luft ist der Brechungsindex n = 4∕3 und damit der Brewsterwinkel φ_B = arctan n = 53, 1^∘. Damit ist der Winkel gegenüber dem Horizont $φp = π-- φB = 36,9∘ 2$


Material	ε	μ


GaAs	10.89	1

InSb	15.7	1

Diamant	5.7	1

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