(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 729])
Neuer Versuch zur Vorlesung: | |
Energie im Kondensator | |
Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = aufgeladen. Wir transportieren die Ladung ΔQ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist
| (2.1) |
Dabei haben wir die Ladung ΔQ über die Potentialdifferenz U transportiert.
| (2.2) |
also
| (2.3) |
oder mit C =
| (2.4) |
oder mit Q = U·C
| (2.5) |
Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung Q = EA𝜀0 mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist V = A·d. Zusammen ergibt sich
| (2.6) |
oder mit wel = lim V →0 der Energiedichte des elektrischen Feldes
| (2.7) |
Die Kraft ΔV auf ein Volumenelement ΔV wird durch
| (2.8) |
beschrieben, da
| (2.9) |
Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus
| (2.10) |
Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. ist der Normalenvektor der Oberfläche.
Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: Epot = . Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + Δd zu bringen ist.
und damit
| (2.12) |
Beispiel: In einem Laser können Felder von 1012 V/m auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von 4.43·1012 Pa ≃ 4.43·107 bar.
Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck. |
Versuch zur Vorlesung: | |
Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16) | |
Im Versuch Flächenladungsdichte wird die Flächenladungsdichte gemessen, indem eine kleine Kugel in Kontakt mit verschieden grossen Kugeln auf einem konstanten Potential φ = U gebracht werden.
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Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.
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In der Abbildung 2.8.1 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit dem Radius R wird auf die Spannung U aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem Radius r wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential φ0 = U. Wenn wir annehmen, dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die Kapazität der beiden Kugeln
| (2.13) |
Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch
| (2.14) |
gegeben. Durch die Trennung der beiden Kugeln wird die Flächenladungsdichte σgemeinsam auf beiden Kugeln eingefroren. Für die kleine Kugel haben wir dann
| (2.15) |
Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich
Aus dem Potential an der grossen Kugel U = bekommt man
| (2.16) |
und
| (2.17) |
Aus Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16) erhalten wir
| (2.18) |
Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu 1∕R und damit proportional zu σgemeinsam.