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2.8  Energie des elektrischen Feldes

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [?, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 729])



Neuer Versuch zur Vorlesung:
Energie im Kondensator


Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = Q-
C aufgeladen. Wir transportieren die Ladung ΔQ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist

                             QΔQ---
W (Q, Q +  ΔQ ) = U · ΔQ  =   C
(2.1)

Dabei haben wir die Ladung ΔQ über die Potentialdifferenz U transportiert.

           ∫QQdQ     Q2
W (0,Q ) =   ----- = ---
           0   C     2C
(2.2)

also

           Q2
Epot(C ) = ---
           2C
(2.3)

oder mit C = 𝜀A
0d-

           Q2d--
Epot (d ) = 2𝜀0A
(2.4)

oder mit Q = U·C

           U 2·C
Epot (U ) = -------
              2
(2.5)

Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung Q = EA𝜀0 mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist V = A·d. Zusammen ergibt sich

         2               2
Epot = E--·A-·d-·-𝜀0 = E--·V--·𝜀0 =  E·D--·V--
             2              2            2
(2.6)

oder mit wel = lim V 0E
-pVot der Energiedichte des elektrischen Feldes

          2
wel = 𝜀0E--=  E-·D--
        2       2
(2.7)

Die Kraft ΔFV auf ein Volumenelement ΔV wird durch

                ΔF   (r )
F V (r) =  lim   ----V----=  ρel(r)E (r )
          ΔV →0   ΔV
(2.8)

beschrieben, da

ΔF  V (r) = E (r) ·ΔQ   = E (r )· ρel· ΔV
(2.9)

Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus

σ        =  lim   ΔF--(r)·n--
 Maxwell   ΔA →0    ΔA
(2.10)

Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. n ist der Normalenvektor der Oberfläche.

Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: Epot = Q2-
2C. Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + Δd zu bringen ist.

pict

und damit

           F    𝜀0  2   D ·E
σMaxwell = --=  --E  =  ------
           A    2         2
(2.12)

Beispiel: In einem Laser können Felder von 1012 V/m auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von 4.43·1012 Pa 4.43·107 bar.

Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.



Versuch zur Vorlesung:
Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16)


2.8.1  Diskussion Versuch Flächenladungsdichte

Im Versuch Flächenladungsdichte wird die Flächenladungsdichte gemessen, indem eine kleine Kugel in Kontakt mit verschieden grossen Kugeln auf einem konstanten Potential φ = U gebracht werden.

__________________________________________________________________________

pict

Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.

_____________________________________________________________________

In der Abbildung 2.8.1 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit dem Radius R wird auf die Spannung U aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem Radius r wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential φ0 = U. Wenn wir annehmen, dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die Kapazität der beiden Kugeln

Cgemeinsam ≈ CR  = 4π 𝜀0R
(2.13)

Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch

         (  2   2)
QR  = 4π  R  + r   σgemeinsam = CgemeinsamU  ≈ CRU   = 4π𝜀0RU
(2.14)

gegeben. Durch die Trennung der beiden Kugeln wird die Flächenladungsdichte σgemeinsam auf beiden Kugeln eingefroren. Für die kleine Kugel haben wir dann

        2
qr = 4πr σgemeinsam
(2.15)

Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich

        2                                     rσgemeinsam
qr = 4πr σgemeinsam = CrUr  = 4π 𝜀0rUr ⇒  Ur = -----------
                                                  𝜀0

Aus dem Potential an der grossen Kugel U = R-σgem𝜀e0insam bekommt man

            𝜀0U-
σgemeinsam  =  R
(2.16)

und

        r
Ur =  U --
        R
(2.17)

Aus Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16) erhalten wir

         2𝜀0U    4π𝜀0r2         2
qr = 4πr  ----=  ------U  = 4πr  σgemeinsam
           R       R
(2.18)

Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu 1∕R und damit proportional zu σgemeinsam.



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