2.9  Elektrische Eigenschaften der Materie

Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung Ze und einer Elektronenwolke der Ladung −Ze. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander. Dabei ist hier Z die Anzahl der Protonen im Kern, die Kernladungszahl.

Auf den positiven Kern wirkt die Kraft

(2.1)

Auf die negative Elektronenwolke wirkt

(2.2)

Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie

(2.3)

Auf die negative Ladung wirkt die Federkraft

(2.4)

Das Kräftegleichgewicht für die positive Ladung lautet:

(2.5)

Alternativ kann das Kräftegleichgewicht für die negative Ladung angegeben werden:

(2.6)

Das induzierte Dipolmoment ist

(2.7)

und damit

(2.8)

Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit = Fm2 = Cm2/V = Asm2/V).

___________________________________________________________________________

Atom oder Molekül	α∕
He	0.2
Li+	0.03
Ne	0.4
K+	0.9
Xe	3.5
O−−	3.5
CCl4	10
Cl−	4
I−	7

Gefüllte Elektronenschale

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Atom oder Molekül	α∕
H	0.7
Li	13
K	38
Cs	46

Nicht gefüllte Elektronenschale

_____________________________________________________________________

Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld ist

(2.9)

da

(2.10)

und damit

(2.11)

2.9.1  Dielektrika

Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt

(2.12)

Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist

(2.13)

unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.

Andererseits ist

(2.14)

abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.

In vielen Fällen sind und linear voneinander abhängig.

(2.15)

mit 𝜀 ≥ 1 und χ_e ≥ 0

𝜀 heisst die Permittivität, χ_e die dielektrische Suszeptibilität.

Im Allgemeinen sind 𝜀 und χ_e Tensoren.

___________________________________________________________________________

Material	𝜀	α∕(10−40 )
Vakuum	1	0
Luft	1.0006	2.00332
Paraffin	2.1	38.7601
Diamant	5.6	0.912181
Glas	5-9	5.71864 - 7.27827
Silizium	11.9	4.16924
Wasser	81	7.65901
Wasser	1.77	1.62297
Rutil (⊥)	90	7.9997
Rutil (∥)	170	8.12512

Einige relative Permittivitäten

_____________________________________________________________________

Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem 𝜀₀ durch 𝜀𝜀₀ ersetzt wird.

2.9.1.1. Woher rührt 𝜀 > 1?

Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.

Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.

Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.8) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.

2.9.1.2. Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika

Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt div  = 0 (siehe Gleichung (2.8)). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch rot  = 0. Wir betrachten eine Oberfläche A, die ein Stück ΔA der Grenzfläche umschliesst. Dann ist

und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung

(2.16)

Wir verwenden weiter eine Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten

und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung

(2.17)

Mit grad φ = − = können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential φ umgeschrieben werden

2.9.1.3. Das Gesetz von Clausius und Mosotti

In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Permittivität und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit α sowie vom lokalen elektrischen Feld _lokal ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, _i.

(2.19)

Die Polarisation hängt vom lokalen Feld _lokal wie folgt ab:

(2.20)

wobei n die Dichte der induzierten Dipole ist. Die Polarisation hat dann die Einheit = C/m2.

Zur Berechnung von _i und damit _lokal betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit 𝜀, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],[LL85], das von einem externen Feld in der x-Richtung hervorgerufen wird.

Das externe elektrische Feld erzeugt im Inneren des Dielektrikums eine Polarisation, die das externe elektrische Feld schwächt. Deshalb gibt es an der Oberfläche eine Oberflächenladungsdichte, die durch die Polarisation im Inneren des Dielektrikums hervorgerufen wird.

Die Polarisation steht senkrecht auf der Kugeloberfläche (analoge Argumentation wie bei ). Das Die Polarisation des Dielektrikums erzeugt deshalb an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte σ(Θ) = P_n = P_x cos 𝜃, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ∕𝜀₀ zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5)) ist der Beitrag von σda gegeben durch

(2.21)

gegeben. Die x-Komponente ist dann

(2.22)

da dE_i,r auf die x-Achse projiziert werden muss. Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass da = r² sin 𝜃d𝜃dφ ist. Die Integration über φ (Faktor 2π) und diejenige über r (Faktor 1, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit ∫ cos ²(𝜃) sin(𝜃)d𝜃 = − cos ³(𝜃)

(2.23)

erhalten. Da die x-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein

(2.24)

Mit

(2.25)

wird aus der Kombination von Gleichung (2.20) und Gleichung (2.24) die Clausius-Mosotti-Beziehung

(2.26)

die die Polarisierbarkeit α mit der relativen Permittivität 𝜀 verknüpft. n ist die Dichte der induzierten Dipole.

Die Rechnung verläuft folgendermassen

2.9.1.4. Kondensator gefüllt mit Dielektrikum

Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor 𝜀 geringer als das Feld E₀ ohne Dielektrikum

(2.27)

Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand d ist

(2.28)

Die Kapazität ist

(2.29)

Also ist beim Plattenkondensator

(2.30)

Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant

(2.31)

Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,

(2.32)

2.9.2  Elektrische Phänomene

Die Energiedichte im Kondensator ist

(2.33)

Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.

Wie geht das?

Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten [Kän78].

1. Mechanische Arbeit:

2. Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch

   Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an

   
3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um
   
   Die Spannung U₀ wird aufrecht erhalten und die Ladung dQ transportiert
   Also
   
4. Die Energiebilanz ist

   (2.37)

   (2.38)

   und somit

   (2.39)

2.9.2.1. Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator bei konstanter Ladung

Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, Q, konstant. Die dielektrische Verschiebung und nicht das elektrische Feld bleiben konstant.

1. Mechanische Arbeit:

2. Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Ladung Q wird konstant gehalten, und damit auch

   Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an

   
   dW_el ist negativ, da 1 − 𝜀 < 0 ist.
3. Die Energiebilanz ist

   (2.41)

   (2.42)

   und somit

   (2.43)