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2.9  Elektrische Eigenschaften der Materie



Folien zur Vorlesung vom 07. 05. 2009: PDF
Aufgabenblatt 04 für das Seminar vom 13. 05. 2009 (Ausgabedatum 07. 05. 2009): (HTML oder PDF)


Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung Ze und einer Elektronenwolke der Ladung Ze. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander. Dabei ist hier Z die Anzahl der Protonen im Kern, die Kernladungszahl.

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pict

Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.

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Auf den positiven Kern wirkt die Kraft

F + =  ZeE
(2.1)

Auf die negative Elektronenwolke wirkt

F  =  − ZeE
 −
(2.2)

Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie

F +,Feder = − kx
(2.3)

Auf die negative Ladung wirkt die Federkraft

F − ,Feder = − k(− x )
(2.4)

Das Kräftegleichgewicht für die positive Ladung lautet:

F + + F +,Feder = 0 = ZeE  −  kx ⇒  ZeE  =  kx
(2.5)

Alternativ kann das Kräftegleichgewicht für die negative Ladung angegeben werden:

F− +  F −,Feder = 0 = − ZeE −  k(− x) ⇒  ZeE  =  kx
(2.6)

Das induzierte Dipolmoment ist

pind = Zex
(2.7)

und damit

       (Ze )2
pind =  --k--·E   = αE
(2.8)

Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit [α ] = Fm2 = Cm2/V = Asm2/V).

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Atom oder Molekül α∕(          )
 10 −40Asm2
        V


He 0.2
Li+ 0.03
Ne 0.4
K+ 0.9
Xe 3.5
O−− 3.5
CCl4 10
Cl 4
I 7


Gefüllte Elektronenschale

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________



Atom oder Molekül α∕(   −40Asm2)
 10     V


H 0.7
Li 13
K 38
Cs 46


Nicht gefüllte Elektronenschale

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Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld E ist

       α-  2   p2ind   1-
Epot =  2E   =  2α  = 2 Epind
(2.9)

da

                                                p
ΔEpot = W  (p,p +  Δp ) = QE · Δx  =  E· Δp  =  α· Δp
(2.10)

und damit

       ∫p         2
         p-      p--
Epot =   α dp =  2α
       0
(2.11)

2.9.1  Dielektrika



Versuch zur Vorlesung:
Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3)


Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt

D  =  𝜀0E
(2.12)

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pict

Isolatoren in einem Kondensatoren

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Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist

     U
E  = --
      d
(2.13)

unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.

Andererseits ist

            𝜀 U    𝜀 Q    𝜀 Q     Q
D =  𝜀0E =  -0--=  -0--=  --0A-- = --
             d     Cd     𝜀0d-d   A
(2.14)

abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.

In vielen Fällen sind D und E linear voneinander abhängig.

D  = 𝜀 𝜀0E  = (1 + χe) 𝜀0E
(2.15)

mit 𝜀 1 und χe 0

𝜀 heisst die Permittivität, χe die dielektrische Suszeptibilität.

Im Allgemeinen sind 𝜀 und χe Tensoren.

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Material 𝜀 α∕(1040 Asm2-
 V)



Vakuum 1 0
Luft 1.0006 2.00332
Paraffin 2.1 38.7601
Diamant 5.6 0.912181
Glas 5-9 5.71864 - 7.27827
Silizium 11.9 4.16924
Wasser (291K, 0Hz ) 81 7.65901
Wasser (291K, 1P Hz ) 1.77 1.62297
Rutil () 90 7.9997
Rutil () 170 8.12512



Einige relative Permittivitäten

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Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem 𝜀0 durch 𝜀𝜀0 ersetzt wird.

2.9.1.1. Woher rührt 𝜀 > 1?

Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.

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pict

Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.

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Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.

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pict

Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld.

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Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.8) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.

2.9.1.2. Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika

Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt div D = 0 (siehe Gleichung (2.8)). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch rot E = 0. Wir betrachten eine Oberfläche A, die ein Stück ΔA der Grenzfläche umschliesst. Dann ist

∫
  D  ·da  = − D1⊥ ΔA  + D2 ⊥ΔA  =  0
A

und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung

D1 ⊥ = D2 ⊥
(2.16)

Wir verwenden weiter eine Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten

 ∫               ∮
                                s-      s-
    rot E ·da  =    E ·ds =  E1||2 − E2 ||2 =  0
A(s)              s

und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung

E1|| = E2 ||
(2.17)

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt

  • die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und
  • die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche

sind stetig.

Mit grad φ = E = können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential φ umgeschrieben werden

    φ   =   φ
     1       2
𝜀 ∂-φ1  =   𝜀 ∂φ2-             (2.18)
 1 ∂n        2∂n

2.9.1.3. Das Gesetz von Clausius und Mosotti

In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Permittivität und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit α sowie vom lokalen elektrischen Feld Elokal ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld E sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, Ei.

Elokal = E + Ei
(2.19)

Die Polarisation hängt vom lokalen Feld Elokal wie folgt ab:

P  = npind = n αElokal
(2.20)

wobei n die Dichte der induzierten Dipole ist. Die Polarisation P hat dann die Einheit [P  ] = C/m2.

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pict

Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti

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Zur Berechnung von Ei und damit Elokal betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit 𝜀, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[?, 68],[?], das von einem externen Feld E in der x-Richtung hervorgerufen wird.

Das externe elektrische Feld erzeugt im Inneren des Dielektrikums eine Polarisation, die das externe elektrische Feld schwächt. Deshalb gibt es an der Oberfläche eine Oberflächenladungsdichte, die durch die Polarisation im Inneren des Dielektrikums hervorgerufen wird.

Die Polarisation steht senkrecht auf der Kugeloberfläche (analoge Argumentation wie bei E). Das Die Polarisation des Dielektrikums erzeugt deshalb an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte σ(Θ) = Pn = Px cos 𝜃, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ∕𝜀0 zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5)) ist der Beitrag von σda gegeben durch

         σda      Px cos𝜃
dEi,r = ------2-= -------2da
        4π𝜀0R     4π 𝜀0R
(2.21)

gegeben. Die x-Komponente ist dann

        Px-cos2𝜃-
dEi,x =  4π𝜀0R2  da,
(2.22)

da dEi,r auf die x-Achse projiziert werden muss. Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass da = r2 sin 𝜃d𝜃dφ ist. Die Integration über φ (Faktor 2π) und diejenige über r (Faktor 1, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit cos 2(𝜃) sin(𝜃)d𝜃 = 1
3 cos 3(𝜃)

               π
       -Px--  ∫    2            -1--
Ei,x =  4π𝜀 2π   cos  𝜃sinΘd 𝜃 = 3 𝜀 Px
          0   0                    0
(2.23)

erhalten. Da die x-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein

      1
Ei = ---P
     3𝜀0
(2.24)

Mit

P  = (𝜀 − 1)𝜀0E  = χe 𝜀0E
(2.25)

wird aus der Kombination von Gleichung (2.20) und Gleichung (2.24) die Clausius-Mosotti-Beziehung

  χ       𝜀 − 1    nα
----e--=  ----- = ----
χe + 3    𝜀 + 2   3 𝜀0
(2.26)

die die Polarisierbarkeit α mit der relativen Permittivität 𝜀 verknüpft. n ist die Dichte der induzierten Dipole.

Die Rechnung verläuft folgendermassen

pict

2.9.1.4. Kondensator gefüllt mit Dielektrikum

__________________________________________________________________________

pict

Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum

_____________________________________________________________________

Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor 𝜀 geringer als das Feld E0 ohne Dielektrikum

E =  E0-
      𝜀
(2.27)

Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand d ist

           E0d    U0
U = Ed  =  ----=  ---
            𝜀     𝜀
(2.28)

Die Kapazität ist

     Q-   Q--    Q--
C =  U =  U0 =  𝜀U  =  𝜀C0
           𝜀      0
(2.29)

Also ist beim Plattenkondensator

C =  𝜀𝜀 A-
       0d
(2.30)

Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant

      Q-
D  =  A
(2.31)

Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,

Q = 𝜀Q0
(2.32)

2.9.2  Elektrische Phänomene



Versuch zur Vorlesung:
Steighöhe im Kondensator (Versuchskarte ES-12)


Die Energiedichte im Kondensator ist

      1
wel = --D ·E
      2
(2.33)

__________________________________________________________________________

pict

Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.

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Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.

Wie geht das?

__________________________________________________________________________

pict

Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung

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Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten [?].

  1. Mechanische Arbeit:
    dWmech  =  Fdx

  2. Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch
         U-
E =  a

    Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an

               (                )
            1-    2   1-   2
dWel   =    2 𝜀𝜀0E  − 2 𝜀0E   abdx
           1          U 2
       =   --(𝜀 − 1) 𝜀0---abdx
           2          a2
           1-          2-b
       =   2 (𝜀 − 1) 𝜀0U a dx            (2.34)
  3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um
    dC  =   𝜀𝜀 bdx-−  𝜀 bdx-
          0 a      0 a
                 bdx
    =   (𝜀 − 1)𝜀0----             (2.35)
                  a
    Die Spannung U0 wird aufrecht erhalten und die Ladung dQ transportiert (Epot = qU )
    Also
    dWBatt  =   U dQ                    (2.36)
        =   U ·U dC
                       2bdx
        =   (𝜀 − 1)𝜀0U  ----
                         a
  4. Die Energiebilanz ist
    dWmech  + dWel  = dWBatt
    (2.37)

           1            2b                2 b
F dx + 2-(𝜀 − 1 )𝜀0U adx = (𝜀 − 1) 𝜀0U a-dx
    (2.38)

    und somit

         1          b
F =  -(𝜀 − 1)𝜀0 -U 2
     2          a
    (2.39)

2.9.2.1. Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator bei konstanter Ladung

Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, Q, konstant. Die dielektrische Verschiebung D und nicht das elektrische Feld E bleiben konstant.

  1. Mechanische Arbeit:
    dWmech  =  Fdx

  2. Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Ladung Q wird konstant gehalten, und damit auch
         Q-
D  = A

    Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an

              (                 )
dWel   =    --1-D2  − -1--D2  abdx
            2𝜀𝜀0      2𝜀0
           1 − 𝜀Q2
       =   -------2abdx
           2𝜀𝜀0 A
           1 −-𝜀-Q2-
       =   2𝜀𝜀0 a2b2abdx
                  2
       =   1 −-𝜀Q--dx                   (2.40)
           2𝜀𝜀0 ab
    dWel ist negativ, da 1 𝜀 < 0 ist.
  3. Die Energiebilanz ist
    dWmech  + dWel =  0
    (2.41)

           1 − 𝜀Q2
Fdx +  --------dx = 0
       2𝜀𝜀0 ab
    (2.42)

    und somit

         1 (𝜀 − 1)Q2
F  = ------------
     2   𝜀𝜀0  ab
    (2.43)



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