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3.1  Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 64])

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Berechnung des Stromes in einem Medium

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Wir betrachten Ladungsträger mit der einheitlichen Ladung q. Die Ladungsträgerdichte nj habe die Geschwindigkeit vj.

Der Strom δIj durch das Flächenelement da ist

      δQj
δIj = -dt-
(3.1)

Die Ladungsmenge ist

δQj =  qnj | vj | ·dt · cosα· | da |
(3.2)

und damit

δIj = qnj | vj | cos α | da |= qnjvj ·da
(3.3)

Der gesamte Strom der Ladungsträger q ist dann

              (         )
             1  ∑
dI (da ) = nq -(    njvj ) ·da
             n   j
(3.4)

wobei n = Σnj ist.

Die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger ist

       1∑
⟨v⟩ =  n    nj·vj
         j
(3.5)

Wir definieren das Vektorfeld der Stromdichte

i = nq ⟨v⟩
(3.6)

i ist abhängig vom Ort, da auch n und ⟨v⟩ ortsabhängig sind.

Der Strom bezüglich da ist dann

dI (da) = i·da
(3.7)

und, integriert,

        ∫
I (A) =   i·da
        A
(3.8)

Diese Gleichung besagt, dass der Strom gleich dem Fluss des Stromdichtefeldes durch eine Fläche A ist.

Wird der Strom durch mehrere Arten von Ladungsträgern gebildet, schreibt man

    ∑
i =    nkqk ⟨vk⟩
     k
(3.9)

Beispiel:

Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit 10 mm Durchmesser und I = 100 A

Annahme: 1 Elektron pro Cu - Atom

Anzahl Cu - Atome pro Volumen

        -ρNA--   8930-kg/m3-·6.02-·1023--/mol-
na  =   M     =         0.0635 kg/mol        (3.10)
           Mol  28   3
    =   8.47·10   /m  =  ne

Und mit qk = e

        --I--
⟨v⟩  =  neeA  =                                (3.11)
                          100 A
        ----------------π------2------------------
        8.47·1028/m3  · 4 (0.01)  m2 ·1.6 ·10 −19 C
     ≈  1 μm/s

Mit v(t) = v0 cos(2πνt) und x(t) = v(t)dt hat man

        v
x(t) = --0-sin(2πνt) + const
       2πν

Die maximale Strecke erhält man wenn der Sinus von 1 nach +1 geht.

Folgerung: bei ν = 50 Hz Wechselstrom zittern die Elektronen einige --1 μm/s
2π·50 Hz·2 6.4 nm weit.

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Berechnung des Flusses eines Stromdichtefeldes durch ein geschlossenes Gebiet

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Wir betrachten eine geschlossene Fläche A, die wir in zwei Teilflächen Aund A′′ aufteilen, so dass auf der Fläche Adie Feldlinie aus der Fläche austreten und auf der Fläche A′′ sie eindringen.

Die Ladungserhaltung fordert:

               -d
Iaus − Iein = − dtQinnen
(3.12)

Wir schreiben die Gleichung mit der Stromdichte um

∬            ∬                   ∭
    i·da ′ −     i(− da′′) = − -d      ρ  dV
                              dt        el
 A′          A′′                 V(A)
(3.13)

oder

∬                ∭
    i·da  = − -d       ρ dV
              dt        el
 A                V
(3.14)

Dies ist die Integralform der Kontinuitätsgleichung.

Mit dem Gaussschen Satz bekommen wir

∬           ∭                  ∭
                                     d-
    i·da  =       div idV =  −       dtρeldV
A             V                 V
(3.15)

Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung lautet demnach:

                d
div i(x, t) = −-- ρel(x, t)
               dt
(3.16)

Bei stationären Strömen hängen i und ρel nicht von der Zeit ab, so dass

div i = 0
(3.17)

ist.

∬
    i·da  =  0
 A
(3.18)

Beispiel:

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Stromfluss in einem Kondensator

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Wir betrachten eine quasistationäre Änderung am Kondensator

∬           ∬            ∬
    i·da  =     i·da  +      i·da  = 0

A1           a1          a2
(3.19)

Mit    I1 = ∬a1i·da   und   I2 = ∬a2ida  folgt

I1 = I2
(3.20)

d.h. es scheint, als ob der Strom durch den Kondensator hindurch fliessen würde.

Wenn wir die Kontinuitätsgleichung auf A2 anwenden, bekommen wir

∬
    ida = − I1(t) = − dQ-(t)
                        dt
a3
(3.21)

oder

        dQ (t)
I (t) =  ------
          dt
(3.22)

Die Einheit der Stromstärke ist Ampère [I ] = A

1 A =  1C-
        s
(3.23)



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