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3.4  RC-Stromkreise



Folien zur Vorlesung vom 18. 05. 2009: PDF


(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 88]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 761]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 790])



Versuch zur Vorlesung:
Entladen eines Kondensators (Versuchskarte EM-145)


Ohne ein Verständnis von Stromkreisen sind moderne elektronische Schaltungen nicht verständlich. Wir betrachten deshalb Schaltungen aus Kondensatoren und Widerständen. Zur Erinnerung: die relevanten Gleichungen sind

Wir betrachten die folgende Schaltung

__________________________________________________________________________

pict

Aufladen und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand.

_____________________________________________________________________

Für die Zeit t < 0 soll der Schalter S in der gezeigten Stellung sein. Die Spannung am Kondensator ist UC = 0. Damit ist auch Q = 0 und I(t) = 0. Für t 0 wird der Kondensator C mit der Spannungsquelle U verbunden. Da Spannungen im quasistationären Falle sich wie potentielle Energien verhalten, kann man für

UR (t) = U −  UC(t) = I(t)·R
(3.1)

schreiben. Ebenso gilt

                t∫
        Q (t)   0 I(τ)dτ
UC(t) = -C---=  ---C-----
(3.2)

Zusammen erhalten wir die Differentialgleichung

           Q(t)
Q˙(t)·R  +  -C---= U
(3.3)

oder

 ˙     -Q(t)-   U-
Q (t) + C ·R  =  R
(3.4)

mit der Anfangsbedingung UC(0) = 0 = Q(0).

Zur Lösung dieser Differentialgleichung machen wir den Ansatz

Partikuläre Lösung
Q = C·U
Allgemeine Lösung
Q(t) = C·U·et∕(RC)

Die Lösung der Differentialgleichung ist

             (     −t∕(RC))
Q(t) = U ·C   1 − e
(3.5)

für UC(t) ist also

         Q(t)     (     − t∕(RC))
UC (t) =  -C---= U  1 − e
(3.6)

und

UR(t) = I(t)·R  = Q˙(t)·R  = U e−t∕(RC )
(3.7)

__________________________________________________________________________

pict

Ladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind U = 10 V und R·C = 0.001 s.

_____________________________________________________________________

Die Differentialgleichung für das Entladen lautet

           Q (t)
Q˙(t)·R  + -C---=  0
(3.8)

wobei die Anfangsbedingung nun UC(0) = U oder Q(0) = C·U ist. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

Partikuläre Lösung
Q = 0
Allgemeine Lösung
Q(t) = C·U·et∕(RC)

Damit erhalten wir

         Q-(t)-       −t∕(RC )
UC (t) =  C   =  U·e
(3.9)

und

U  (t) = I(t)·R  = Q˙(t)·R  = − U ·e −t∕(RC)
 R
(3.10)

__________________________________________________________________________

pict

Entladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind U = 10 V und R·C = 0.001 s.

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Die Grösse τ = R·C ist die Zeitkonstante der Schaltung. In der Zeit τ steigt UC beim Einschalten von 0 auf 63%. Ebenso fällt beim Ausschalten die Spannung in der Zeit τ von 100% auf 37% ab.

Eine alternative Ableitung dieser Gleichung verwendet eine Leistungsbetrachtung. Die Leistung der Joulschen Wärme im Widerstand und die zeitliche Änderung der Energie im Kondensator müssen gleich der von der Batterie gelieferten Leistung sein.

                  d ( Q2 )
U·I ·  = R ·I2 + --   ---
                 dt   2C
(3.11)

oder

             (    )2
   dQ-         dQ-      1-     dQ-
U·  dt =  R·    dt   +  C ·Q ·  dt
(3.12)

und damit

        dQ     1
U =  R· --- + --·Q
         dt   C
(3.13)



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