©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

3.7  Die magnetische Kraft

(Siehe Tipler, Physik [?, pp. 812]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 91])

Um die Magnetische Kraft zu berechnen gehen wir in zwei Schritten vor:

  1. Wir zeigen, dass elektrostatische Gesetze auch in bewegten Bezugssystemen gelten.
  2. Wir berechnen mit den Gesetzen der Relativitätstheorie die magnetische Kraft.

3.7.1  Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 91])

__________________________________________________________________________

pict

Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung.

_____________________________________________________________________

Mit zwei Gedankenexperimenten soll geklärt werden, ob die Ladung von der Geschwindigkeit abhängt. Zuerst schliessen wir eine grosse Menge H2-Gas in den metallischen Tank ein, entladen ihn, und lassen das Gas ausströmen. Die Ladung des leeren Tanks ist unmessbar klein. Daraus schliesst man:

qElektron = − qProton
(3.1)

mit einer Genauigkeit von |qElektron|∕N = 1020q Elektron.

Dies folgt aus dem Gaussschen Gesetz Gleichung (2.3)

∬                               1
     E ·da  = 0 ± a|qElektron| = --[N Q (H2 ) + q]
 A                              𝜀0
(3.2)

wobei q eine eventuell vor dem Ausströmen vorhandene Ladung, Q(H2) die Ladung eines Wasserstoffmoleküls und N die Anzahl der eingeschlossenen Wasserstoffmoleküle ist. a ist die Ungenauigkeit der Ladungsmessung. Aus der Tatsache, dass der Metallbehälter nach dem Ausströmen im Rahmen der Messgenauigkeit ungeladen ist, folgt, dass das H2-Molekül ungeladen ist.

Der Versuch wird mit He-Gas wiederholt. Das Resultat ist das gleiche. Nun bewegen sich aber die zwei Protonen im He-Atom mit sehr grosser Geschwindigkeit. Das bedeutet, dass die Ladung des Protons unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Die Ladung muss insbesondere in jedem Inertialsystem gleich sein. Wir betrachten zwei Inertialsysteme S und S5

∬             ∬
     E ·da  =     E ′·da ′
               ′
A(t)          A(t)
(3.3)

Diese Gleichung drückt die relativistische Ladungsinvarianz aus. Die Ladungsinvarianz ist nicht gleich der Ladungserhaltung. So ist zum Beispiel die Energie erhalten, zwischen zwei Inertialsystemen aber nicht invariant (m0c2 m(v)c2).

3.7.2  Relativistische Berechnung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 94])

__________________________________________________________________________

pict   pict

Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und rechts:im Bezugssystem S, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S im Bezugssystem Sist. Die Ladung ist jedoch invariant.

_____________________________________________________________________

Den Strom I modellieren wir mit zwei Ketten aus Ladungsträgern, je eine positiv und negativ geladen. Ihre Linienladungsdichten λ sollen so sein, dass die beiden Ketten neutral sind. Im Ruhesystem S+ der positiven Ladungen ist

λ  = -Q-
 0   L0
(3.4)

Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz

    Q
λ = --
    L
(3.5)

Wegen der Längenkontraktion gilt

             ∘ -------
     L0            v2
L =  ---=  L0  1 − --02
     γ0             c
(3.6)

Zusammengenommen erhalten wir

λ0 =  λ--
      γ0
(3.7)

Die gleiche Beziehung kann für die negativen Ladungen abgeleitet werden. Das heisst, wenn in S die Linienladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich sind, dann auch in den jeweiligen Ruhesystemen. In den Ruhesystemen ist die Linienladungsdichte geringer als in bewegten Bezugssystemen. Da die beiden bewegten Ladungsketten die gleiche Linienladungsdichte im System S haben, ist E = 0.

Im Ruhesystem S, in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch neutral. Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in Sdie positiven Ladungen weniger dicht als die negativen6 . Die beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ geladen. Deshalb wird q angezogen, wenn q > 0 ist. Das E-Feld in die z-Richtung erzeugt in Sdie Kraft

 ′        ′
Fz = q·E
(3.8)

Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch invariant!

Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist

        ---λ----
E (r) = 2π 𝜀0·r
(3.9)

Um das elektrische Feld Eberechnen wir die Geschwindigkeiten v+und vin S.

v ′+  =   -v-−-v0--
         1 − v·cv20-
  ′       v + v0
v −  =   ----v·v0-             (3.10)
         1 +  c2
Mit den üblichen Abkürzungen
β  ≡   v-                     (3.11)
       c
           1
γ  ≡   -√1-−-β2-
bekommen wir
β′  =   -β-−-β0-              (3.12)
 +      1 − β0β
         β + β0
β′−  =   --------
        1 + β0β
Mit γ+′≡ γ(v+) und γ′≡ γ(v) und mit λ0 = λ+∕γ+ erhalten wir aus λ0 = -λ
γ0 = λ′i
γ′i (i ∈{+,−}
            λ
λ ′+  =   γ′+---               (3.13)
           γ0
  ′       ′-λ-
λ −  =   γ−γ
            0
Die Netto-Linienladung in Sist dann
  ′    ′    ′    λ-(  ′    ′)
λ  = λ + − λ− =  γ0 γ + − γ−
(3.14)

Weiter erhalten wir

 ′    ′          1           1
γ+ − γ−   =  -∘------2-−  ∘------2-              (3.15)
                1 − β+      1 − β−
                    1                 1
          =  -∘-----(-----)2-− -∘----(------)2-
                1 −  β−-β0        1 −  β+-β0-
                     1−β0β             1+β0β
             -∘----1-−-β0β-------  -∘----1 +-β0β-------
          =     (1 − β2)(1 − β2) −    (1 − β2 )(1 − β2)
                      0                     0
             ------−-2β0-β------
          =   ∘ ------2-------2--
                (1 − β0)(1 − β )
          =  − 2β0β γ0γ
Also ist
 ′               −-2λvv0-
λ =  − 2λββ0 γ =    c2   γ
(3.16)

Betrachten wir am Ort der Ladung q das von der Linienladung λhervorgerufene Feld Er. Für positives λzeigt dieses in die z-Richtung. Also ist das elektrische Feld

  ′         λ′
E r  =  − ------                 (3.17)
          2π 𝜀0r
     =  2-λv0vγ(v)· 1-
          2π 𝜀0c2   r
Die Kraft im Ruhesystem Sdes Teilchens ist also
  ′       ′   2qλv0vγ (v)  1
Fz = q·E  r = -------2---· --
                2π𝜀0c      r
(3.18)

Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse pi und der Energie E

p′x  =   px                        (3.19)
            (       E )
p′y  =   γ(v)  py − v--
                    c2
p′  =   pz
 z′
E   =   γ(v)(E − v·py )
Der Vierervektor (          )
 px,py,pz, E2
         c transformiert sich wie der Vierervektor (x,y,z,ct). Die Kraft transformiert sich also wie
  ′  dp-′z   -----dpz-----
Fz =  dt′ = √1--−-β2-·dt =  γ(v)Fz
(3.20)

Der Strom in S ist

I = 2λv0
(3.21)

Damit bekommen wir

        -q·v-·I--  1-
Fz(r) = 2π 𝜀0·c2 · r
(3.22)

Multipliziert man Gleichung (3.22) mit der Dichte der Ladungsträger n (Einheit [n] = 1∕m), so erhält man die zu I2 proportionale Kraft pro Länge F(r).

                   n ·q·v ·I   1      I2·I     1
F (r) = n·Fz (r) = -2π-𝜀-·c2-· r-=  2π𝜀-·c2-· r-
                        0              0
(3.23)

Aus F(r) bekommt man die Kraft auf ein Leiterstück der Länge

                                       n·-ℓ·q·v-·I-- 1-   I2·I-·-ℓ- 1-
F (r,I, I2,ℓ) = ℓ· F (r) = n ·ℓ·Fz (r) =    2π𝜀0·c2   · r =  2π𝜀0·c2 · r
(3.24)

Die magnetische Kraft Fm im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S. Die magnetische Kraft kann als relativistische Effekt der elektrostatischen Kraft in einem bewegten Bezugssystem verstanden werden.

3.7.3  Magnetisches Feld

In der Gleichung (3.24) können wir die Terme so sortieren, dass ein Leiter als Ursache eines Feldes und der Rest als Wirkung dasteht, analog wie beim elektrischen Feld.

               I2·I ·ℓ   1   (    1    )   2ℓII2
F (r,I, I2,ℓ) =  -------2· --=   -------2- · ------
               2π𝜀0·c    r     4π𝜀0·c        r
   =  μ0· 2ℓII2-=  μ -I--(ℓI ) = μ H (r)(ℓI )
      4π    r       02πr    2     0        2
(3.25)

Wir haben den Vorfaktor zur Permeabilität des Vakuums zusammengefasst mit

      1                       −2
μ0 = 𝜀-c2           [μ0] = NA
      0
(3.26)

Der Zahlenwert der Permeabilität des Vakuums ist im SI-System zur Definition des Ampères vorgegeben

            −7    −2
μ0 = 4π ·10   NA
(3.27)

Die Funktion

H (r) = -I--           [H (r)] = Am −1
        2πr
(3.28)

ist das magnetische Feld. Es hat für den Magnetismus die gleiche Funktion wie das elektrische Feld.



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict  Lizenzinformationen