Die magnetische Kraft

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3.7 Die magnetische Kraft

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 812]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 91])

Um die Magnetische Kraft zu berechnen gehen wir in zwei Schritten vor:

Wir zeigen, dass elektrostatische Gesetze auch in bewegten Bezugssystemen gelten.
Wir berechnen mit den Gesetzen der Relativitätstheorie die magnetische Kraft.

3.7.1 Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 91])

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Metallischer Gastank mit Ausströmöﬀnung.

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Mit zwei Gedankenexperimenten soll geklärt werden, ob die Ladung von der Geschwindigkeit abhängt. Zuerst schliessen wir eine grosse Menge H₂-Gas in den metallischen Tank ein, entladen ihn, und lassen das Gas ausströmen. Die Ladung des leeren Tanks ist unmessbar klein. Daraus schliesst man:

qElektron = − qProton

(3.1)

mit einer Genauigkeit von |qElektron| ∕N = 10⁻²⁰q_Elektron.

Dies folgt aus dem Gaussschen Gesetz Gleichung (2.3)

∬ 1 E ·da = 0 ± a |qElektron| = -- [N Q (H2 ) + q] A 𝜀0

(3.2)

wobei q eine eventuell vor dem Ausströmen vorhandene Ladung, Q(H₂) die Ladung eines Wasserstoﬀmoleküls und N die Anzahl der eingeschlossenen Wasserstoﬀmoleküle ist. a ist die Ungenauigkeit der Ladungsmessung. Aus der Tatsache, dass der Metallbehälter nach dem Ausströmen im Rahmen der Messgenauigkeit ungeladen ist, folgt, dass das H₂-Molekül ungeladen ist.

Der Versuch wird mit He-Gas wiederholt. Das Resultat ist das gleiche. Nun bewegen sich aber die zwei Protonen im He-Atom mit sehr grosser Geschwindigkeit. Das bedeutet, dass die Ladung des Protons unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Die Ladung muss insbesondere in jedem Inertialsystem gleich sein. Wir betrachten zwei Inertialsysteme S und S′⁵

∬ ∬ E ·da = E ′·da ′ A(t) A ′(t)

(3.3)

Diese Gleichung drückt die relativistische Ladungsinvarianz aus. Die Ladungsinvarianz ist nicht gleich der Ladungserhaltung. So ist zum Beispiel die Energie erhalten, zwischen zwei Inertialsystemen aber nicht invariant (m₀c² ⇔ m(v)c²).

3.7.2 Relativistische Berechnung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 94])

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Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und rechts:im Bezugssystem S′, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S im Bezugssystem S′ ist. Die Ladung ist jedoch invariant.

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Den Strom I modellieren wir mit zwei Ketten aus Ladungsträgern, je eine positiv und negativ geladen. Ihre Linienladungsdichten λ sollen so sein, dass die beiden Ketten neutral sind. Im Ruhesystem S⁺ der positiven Ladungen ist

Q λ0 = --- L0

(3.4)

Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz

λ = Q- L

(3.5)

Wegen der Längenkontraktion gilt

∘ ------2 L = L0-= L 1 − v-0 γ0 0 c2

(3.6)

Zusammengenommen erhalten wir

λ = λ-- 0 γ0

(3.7)

Die gleiche Beziehung kann für die negativen Ladungen abgeleitet werden. Das heisst, wenn in S die Linienladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich sind, dann auch in den jeweiligen Ruhesystemen. In den Ruhesystemen ist die Linienladungsdichte geringer als in bewegten Bezugssystemen. Da die beiden bewegten Ladungsketten die gleiche Linienladungsdichte im System S haben, ist = 0.

Im Ruhesystem S′, in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch neutral. Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in S′ die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen⁶ . Die beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ geladen. Deshalb wird q angezogen, wenn q > 0 ist. Das ′-Feld in die z′-Richtung erzeugt in S′ die Kraft

F′z = q·E ′

(3.8)

Das

-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch invariant!

Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist

E (r) = ---λ---- 2π 𝜀0·r

(3.9)

Um das elektrische Feld ′ berechnen wir die Geschwindigkeiten v₊′ und v₋′ in S′.

′ -v-−-v0-- v + = 1 − v·v0- c2 v ′ = -v-+-v0-- (3.10) − 1 + v·cv20-

Mit den üblichen Abkürzungen

v- β ≡ c (3.11) 1 γ ≡ -√------2 1 − β

bekommen wir

β′ = -β-−-β0- (3.12) + 1 − β0β β + β0 β′− = -------- 1 + β0β

Mit γ₊′≡ γ(v₊′) und γ₋′≡ γ(v₋′) und mit λ₀ = λ₊′∕γ₊′ erhalten wir aus λ₀ = -λ
γ0

(i ∈{+,−}

λ λ ′+ = γ′+--- (3.13) γ0 ′ ′-λ- λ − = γ−γ 0

Die Netto-Linienladung in S′ ist dann

′ ′ ′ λ-( ′ ′) λ = λ + − λ− = γ0 γ + − γ−

(3.14)

Weiter erhalten wir

′ ′ 1 1 γ+ − γ− = -∘------2-− ∘------2- (3.15) 1 − β+ 1 − β− 1 1 = -∘-----(-----)2-− -∘----(------)2- 1 − β−-β0 1 − β+-β0- 1−β0β 1+β0β -∘----1-−-β0β------- -∘----1 +-β0β------- = (1 − β2)(1 − β2) − (1 − β2 )(1 − β2) 0 0 ------−-2β0-β------ = ∘ ------2-------2-- (1 − β0)(1 − β ) = − 2β0β γ0γ

Also ist

− 2λvv λ′ = − 2λββ0 γ = -------0γ c2

(3.16)

Betrachten wir am Ort der Ladung q das von der Linienladung λ′ hervorgerufene Feld E_r′. Für positives λ′ zeigt dieses in die −z′-Richtung. Also ist das elektrische Feld

′ λ′ E r = − ------ (3.17) 2π 𝜀0r = 2-λv0vγ(v)· 1- 2π 𝜀0c2 r

Die Kraft im Ruhesystem S′ des Teilchens ist also

′ ′ 2qλv0vγ (v) 1 Fz = q·E r = -------2---· -- 2π𝜀0c r

(3.18)

Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse p_i und der Energie E

p′x = px (3.19) ( E ) p′y = γ(v) py − v-- c2 p′ = pz z′ E = γ(v)(E − v·py )

Der Vierervektor ( )
px,py,pz, E2
c

transformiert sich wie der Vierervektor (x,y,z,ct)

. Die Kraft transformiert sich also wie

′ dp-′z -----dpz----- Fz = dt′ = √1--−-β2-·dt = γ(v)Fz

(3.20)

Der Strom in S ist

I = 2λv0

(3.21)

Damit bekommen wir

-q·v-·I-- 1- Fz(r) = 2π 𝜀0·c2 · r

(3.22)

Multipliziert man Gleichung (3.22) mit der Dichte der Ladungsträger n (Einheit [n] = 1∕m), so erhält man die zu I₂ proportionale Kraft pro Länge F(r).

n ·q·v ·I 1 I2·I 1 F (r) = n·Fz (r) = -2π-𝜀-·c2-· r-= 2π𝜀-·c2-· r- 0 0

(3.23)

Aus F(r) bekommt man die Kraft auf ein Leiterstück der Länge ℓ

n·-ℓ·q·v-·I-- 1- I2·I-·-ℓ- 1- F (r,I, I2,ℓ) = ℓ· F (r) = n ·ℓ·Fz (r) = 2π𝜀0·c2 · r = 2π𝜀0·c2 · r

(3.24)

Die magnetische Kraft F_m im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S′. Die magnetische Kraft kann als relativistische Eﬀekt der elektrostatischen Kraft in einem bewegten Bezugssystem verstanden werden.

3.7.3 Magnetisches Feld

In der Gleichung (3.24) können wir die Terme so sortieren, dass ein Leiter als Ursache eines Feldes und der Rest als Wirkung dasteht, analog wie beim elektrischen Feld.