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3.8  Eigenschaften des magnetischen Feldes

3.8.1  Eigenschaften der magnetischen Induktion B

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 98])



Versuch zur Vorlesung:
Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11)


Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion B ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz

F L = q ·v ×  B
(3.1)

beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft FL heisst Lorentz-Kraft.

Durch den Vergleich von Gleichung (3.1) und Gleichung (3.22) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben

B (r) = ---I--· 1-
        2π𝜀0c2  r
(3.2)

Die Induktionskonstante

       1
μ0 =  𝜀-c2
       0
(3.3)

ermöglicht es Gleichung (3.2) kompakter zu schreiben

B (r) = μ0-· I-
        2π   r
(3.4)

__________________________________________________________________________

pict

Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.

_____________________________________________________________________

Die magnetische Induktion B bildet eine Rechtsschraube um den Strom I (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion).



Versuch zur Vorlesung:
Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50)


Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom.

Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit

F L = q2·v2 × B1 (r)
(3.5)

wobei q2 eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit n2 der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, die betrachtete Länge, A2 der Querschnitt des Leiters und ⟨v2⟩ = |v2|, bekommt man

FM  = q2· ⟨v2⟩·B1 (r)·n2 · ℓ·A2
(3.6)

Der Strom im Leiter 2 ist nun aber

I2 = ⟨v2⟩·q2 ·n2 ·A2
(3.7)

Damit ist

FM  = I2·B1 (r)· ℓ
(3.8)

Wenn wir Gleichung (3.4) einsetzen, bekommen wir

       μ0 2ℓ·I1 ·I2
FM  =  -------------
       4π     r
(3.9)

Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.

-μ0     − 7 N-
4 π = 10   A2
(3.10)

Die Einheit der magnetischen Induktion ist

[B] = Tesla = T =  Ns--=  -N--=  Vs-
                   Cm     Am     m2
(3.11)

Manchmal wird die magnetische Induktion auch als magnetische Flussdichte bezeichnet.

Die magnetische Induktion wurde so definiert, dass in Gleichung (3.9) alle Faktoren bis auf den Strom I2 und die Länge durch B(r) symbolisiert werden. Diese Wahl ist willkürlich. Wir hätten genau so gut ein Feld durch

         I
H (r) = ----
        2πr
(3.12)

definieren können. H heisst magnetisches Feld oder magnetische Feldstärke. Das magnetische Feld hat die Einheit

[H ] = A-
      m

Das magnetische Feld H ist unabhängig von der Materie die den betrachteten Raum erfüllt. Die magnetische Induktion B hängt vom den Raum füllenden Material ab.

 elektrisches  Feld  E   ⇔   dielektrische  Verschiebung    D =  𝜀𝜀0E

magnetisches    Feld H   ⇔   magnetische    Induktion   B = μ μ0H

3.8.2  Das Biot-Savart-Gesetz

Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.

__________________________________________________________________________

pict

Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.

_____________________________________________________________________

Der Betrag des Vektors dF, der senkrecht auf dℓ und senkrecht auf dB steht, ist

dF  = q·  ⟨v ⟩· sinϕ ·B ·n ·d ℓ·A
(3.14)

wobei n die Dichte der Ladungsträger und ϕ der Winkel zwischen B und dℓ ist. Mit der Stromdichte i = n·⟨v ⟩·q erhalten wir

dF =  i·A ·d ℓ· sin ϕ·B   = I·d ℓ· sinϕ ·B
(3.15)

Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach

dF  = I·d ℓ × B
(3.16)



Folien zur Vorlesung vom 28. 05. 2009: PDF
Aufgabenblatt 07 für das Seminar vom 03. 06. 2009 (Ausgabedatum 38. 05. 2009): (HTML oder PDF)


3.8.2.1. Kraft auf eine beliebig geformte geschlossene Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld

  1. Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife s in einem homogenen Magnetfeld ist
                                    (          )
     ∮        ∮                   ∮
F  =   dF  =    I·d ℓ × B =  I· (   dℓ × B )
     s        s                   s
    (3.17)

    Das Linienintegral im homogenen B-Feld kann wie folgt berechnet werden:

    __________________________________________________________________________

    pict

    Kräfte auf eine Leiterschlaufe im homogenen B-Feld

    _____________________________________________________________________

    Vom Linienelement dℓ aus Gleichung (3.17) trägt nur die Komponente dℓ senkrecht zu B zum Integral bei (wegen dem Kreuzprodukt in der Gleichung). Abbildung 1 zeigt auf der rechten Seite die Leiterschlaufe projiziert auf die Ebene senkrecht zu B.

    Also kann Gleichung (3.17) umgeschrieben werden:

         ∮         ∮
F =    dF  = I   dℓ⊥ × B
     s         s
    (3.18)

    dℓ über s summiert oder integriert ergibt null, da damit eine geschlossene Kurve beschrieben wird, bei der anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, also durch einen Vektor der Länge Null verbunden sind.

    dF steht immer senkrecht auf dℓ (wieder wegen dem Kreuzprodukt). Die Länge von dF ist um den konstanten Faktor I·|B | gegenüber dℓ geändert. Damit beschreibt dF einen geometrisch ähnlichen geschlossenen Weg, um π∕2 gedreht und gedehnt. Damit ist für eine geschlossene Leiterschlaufe im homogenen magnetischen Feld

         ∮
F  =   dF  = 0.
     s
    (3.19)

  2. Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.


    Link zur Vorlesung:
    (Elektromotor)





    Versuch zur Vorlesung:
    Lorentz-Kraft (Versuchskarte EM046)



    _______________________________________________

    pict

    Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld

    _____________________________________________________________________

    Wir betrachten dazu die rechteckige Leiterschlaufe aus Abbildung 2. Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das infinitesimale Drehmoment

    dT   =   (r1 + r3) × dF 1 + (r1 + r4) × dF 1 (3.20)

         + (r2 + r3) × dF 2 + (r2 + r4) × dF 2
     =   2·r1 ×  dF 1 + 2·r2 × dF 2
    In Gleichung (3.20) enthält das Differential die Beiträge der oberen linken Seite plus die Beiträge der oberen rechten Seite plus die Beiträge der unteren linken Seite plus die Beiträge der unteren rechten Seite. Das gesamte Drehmoment bekommt man, indem man über die halbe Seite a integriert.
         a∫∕2      a∫∕2
T  =    dT =     (2·r  × dF   + 2·r   × dF  )
                      1      1      2      2
     0        0
     a∫∕2        dF       ∫a∕2        dF
   =    2·r1 ×  ---1ds +    2·r2  × ---2ds
     0           ds       0          ds
    (3.21)

    Wenn F1 die Kraft auf die ganze obere Seite ist (und F2 entsprechend für die untere Seite), ist

    a∫∕2                       a∫∕2
  2·r  × dF-1-ds = 2·r  ×    dF-1ds = 2·r  × F-1 = r  ×F
      1   ds           1      ds          1   2      1   1
0                         0
    (3.22)

    Damit ist

    T  = r1 × F 1 + r2 × F 2 = 2·r1 × F 1
    (3.23)

    Das Drehmoment M liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn ϕ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und B ist, gilt mit F1 = a·I·B:

           b
M  = 2 2-sin ϕ·F1  = a·b ·I · sinϕ·B
    (3.24)

    Wir definieren das magnetische Moment m so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass |m | = Fläche·Strom = a·b·I ist. Damit ist

    M  =  m  × B
    (3.25)

    Die Einheit des magnetischen Momentes ist

    [m ] = Am2

    Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.

    Bei einer beliebigen Leiterschlaufe kann das magnetische Moment berechnet werden, indem diese aus Einzelteilen zusammengesetzt wird.

    __________________________________________________________________________

    pict

    Links ist ein infinitesimales magnetisches Moment aufgezeichnet. Rechts daneben ein quadratisches infinitesimales Moment. Da alle vom gleichen Strom I umrundet werden, und im gleichen Drehsinn, kann eine endliche Fläche aus den infinitesimalen Flächen zusammengesetzt werden. Daraus folgt die Vorschrift zur Berechnung von m.

    _____________________________________________________________________

    Die Ströme im Inneren heben sich dabei jeweils auf (Siehe auch Abbildung 2). Aus der differentiellen Gleichung

    dm   = Ida
    (3.26)

    erhält man deshalb

          ∬             ∬

m  =      I da =  I     da
      A(s)           A(s)
    (3.27)

  3. Die potentielle Energie Epot einer um den Winkel ϕ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von ϕ = 0 ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel ϕ dreht. Die Arbeit, um von ϕnach ϕ+ zu drehen ist
                      ′ b-    ′                   ′    ′
dEpot = 2·F1 sinϕ · 2 ·dϕ  = a ·b·I ·B  · sin ϕ ·d ϕ
    (3.28)

    Damit erhalten wir

                           ∫ϕ
Epot(ϕ ) = a ·b·I ·B ·   sinϕ ′·d ϕ′ = − a·b ·I ·B · (cosϕ −  1)
                       0
    (3.29)

    Wenn wir Epot(ϕ = π∕2) = 0 wählen haben wir

    Epot = − m ·B
    (3.30)

Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.



Versuch zur Vorlesung:
Barlowsches Rad (Versuchskarte EM004)


3.8.3  Das Ampèresche Durchflutungsgesetz

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 104])

Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom I erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke B =  μ
2π0rI charakterisiert, wobei das B-Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises S, ergibt

∮              ∮
  B ·ds  = μ0I-   rdϕ =  μ I
            2π    r       0
s               s
(3.31)

Dieses Linienintegral ist unabhängig von r. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig ist.

Ampèresches Durchflutungsgesetz

∮             ∬
  B ·ds  =  μ      i·da
             0
s             A(s)
(3.32)

Der Beweis geht in mehreren Schritten:

Eine beliebige Kurve sum einen geraden Leiter

pict
dsist die Projektion des Weglängenelementes ds auf der Kurve s auf die in der xy-Ebene liegende Projektion der Kurve s. Es ist
               ′                ′
B ·ds =  B ·ds  =  B(r)· cos αds =  B (r)·r ·d ϕ

da B(r) keine Komponente in die z-Richtung hat. Es ist

B ·ds  = μ0-I·d ϕ
         2π

und damit

                2π
∮           μ0I-∫
  B ·ds  =  2π    dϕ =  μ0I
s′              0

Eine beliebige Kurve s′′, die den Leiter nicht umschliesst
Es ist
∮           B∫          ∫A              B∫          ∫A
  B ·ds  =    B ·ds  +   B ·ds  = μ0I-   dϕ + μ0I-   dϕ
                                   2π          2π
s′′         A           B              A           B

  μ0I-             μ0I-
=  2π (ϕB −  ϕA) +  2π (ϕA −  ϕB) = 0

Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg s′′ umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.

Eine beliebige Kurve s um eine beliebige Stromverteilung
Wir betrachten
viele Ströme Ik, die von der Integrationskurve s umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt
∮
  B ·ds  = μ  ∑  I
             0 k  k
S

wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von s eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind.

Eine kontinuierliche Stromverteilung
Hier wird die Summe durch ein Integral ersetzt:
∮             ∬
  B ·ds  = μ0     i·da

s             A(s)

3.8.3.1. Zylindrischer Leiter mit homogenem Strom

Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius R soll homogen vom Strom I durchflossen werden. Die Stromdichte i und der Strom I stehen dann betragsmässig wie

     (    )                           (    )
I = i πR2    beziehungsweise  I(r) = i πr2   für r ≤ R

in Beziehung. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Wir betrachten einen zum Strom konzentrischen Integrationsweg s. Ausserhalb des Leiters (r > R) haben wir

∮                             ∬                  ∬
  B (r)·ds  = 2πr ·B (r) = μ0     i·da  = μ0              i·da  = μ0·I
 s
                              A(s)           πR2(Querschnitt)

und daraus

        μ0I-
B (r) = 2πr

Innerhalb des Leiters (r R) gilt

∮                             ∬                              I              r2
  B (r)·ds  = 2πr ·B (r) = μ0     i·da  = μ0 ·i· πr2 = μ0· ---2 ·πr2 =  μ0I--2
s                             A(s)                          πR              R

und damit

B(r) =  μ0I-r-
        2π R2

______________________________________________________________________________________________________

pict

Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.

_____________________________________________________________________

Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (C.1)) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben

∮           ∬                   ∬
   B ·ds =      rot B ·da  =  μ0    i·da

S          A (S)                 A(S)
(3.33)

Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen A(S) gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten

rot B  = μ0i
(3.34)

Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter

__________________________________________________________________________

pict

Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.

_____________________________________________________________________

Wir definieren eine lineare Stromdichte

j =  lim   I(Δy-)
    Δy→0   Δy

([j] = A/m). In unserem Falle hängt j und i über

i(x,y,z ) = j (y, z)δ(x)

zusammen. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der z-Richtung

B  ≡ 0
 z
(3.35)

Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von B parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.

Wir betrachten weiter die Komponenten Bx(x) und By(x) des Feldes B im Abstand x von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:

Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:

Bx (x) ≡ 0
(3.36)

Um By zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt

                                ∬
∮                                              ∫
  B ·ds  = 2By (x)·b+2  ·0 =  μ0    i·da  =  μ0   jdy = μ0·j ·b
s                               A(s)

Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 3.8.3.1, Mitte).

B   = μ0-j
  y    2
(3.37)

Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.

B =  μ j
      0
(3.38)

Die beiden Gleichungen sind einheitenmässig korrekt, da [j] = [ ]
 Ir = A/m ist.

Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für eine Spule

3.8.4  Quellenfreiheit



Folien zur Vorlesung vom 04. 06. 2009: PDF
Aufgabenblatt 08 für das Seminar vom 10. 06. 2009 (Ausgabedatum 04. 06. 2009): (HTML oder PDF)


(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 111])

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.

__________________________________________________________________________

pict

Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes

_____________________________________________________________________

Da überall auf der Integrationsfläche A gilt: B·da = 0, ist

∬

    B ·da  = 0
A
(3.39)

Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass

∬             ∬

    B ·da  =       B  ·da
 A           Mantel

ist.

__________________________________________________________________________

pict

Integration über die Mantelfläche.

_____________________________________________________________________

An der Mantelfläche gilt mit da = h·ds

                  (      )
B ·da  = B (r)cos  α +  π- h·ds  = − B (r)sin(α) h·ds
                        2

= − B (r)·dr ·h =  − B (r)· dr-dϕ·h = − B (r)·r ′(ϕ)·d ϕ·h
                           dϕ

und damit

  ∬                    ∫2π                          |2π
                  μ0Ih-   r′(ϕ-)        μ0Ih-        ||
       B ·da  = −  2π     r(ϕ) dϕ =  −  2π  ln(r(ϕ))||  =  0
Mantel                  0                            0

Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen

∬
    B ·da  = 0

A
(3.40)

Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1)) zeigt man

Quellenfreiheit des Magnetfeldes

    ∬             ∭
0 =     B ·da  =       div BdV

     A            V(A)
(3.41)

oder in differentieller Form

div B  = 0
(3.42)

Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.

3.8.5  Das B-Feld einer beliebigen Stromverteilung: das Vektorpotential A

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 114])



Versuch zur Vorlesung:
Magnetfeld von Leitern (Versuchskarte Em021)


In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion B möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre (Siehe Abschnitt 2.5). Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential U(r) durch

E (r) = − grad U (r)

eindeutig ein elektrisches Feld E(r) konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik

rot E (r ) = 0

genügt. Grundlage war die Vektoridentität

rot (grad  U(r)) ≡ 0

die für beliebige Funktionen U(r) gilt (siehe Gleichung (C.29)). Es gibt unter den Rechenregeln für Vektorableitungen (siehe Abschnitt C.8.4) eine weiter Identität mit dem Nullvektor, nämlich Gleichung (C.30).

div  (rot F) = 0     ∀F

Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot B = μ0i und die Quellenfreiheit div B = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.4) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also nach Gleichung (C.30) ein beliebiges Vektorfeld A wählen und die magnetische Induktion B gleich der Rotation von A setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von B gewährleistet. Mit dem Vektorpotential A

B  (x,y,z ) = rot A (x,y,z )
(3.43)

werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität

div (rot A ) = 0
(3.44)

ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität rot (rot A ) = grad (div A )ΔA bekommen wir aus dem Ampèreschen Gesetz

ΔA  − grad   (div A ) = − μ i
                          0
(3.45)

Die Einheit des Vektorpotentials ist

      Vs-   N-
[A ] =  m  = A

Das Vektorpotential A kann immer so gewählt werden, dass div A = 0 gilt.

Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit div A = f 0 existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld V = grad ϕ mit

 div V   =  f                (3.46)

rot V    =  0
mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren ein Vektorpotential
A ′ = A − V

Wegen Gleichung (3.47) gilt dann

rot A ′ = rot A −  rot V =  rot A

Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (3.47) gilt auch

     ′
div A  = div A −  div V  =  f − f = 0

Zu jedem Vektorpotential A kann ein Vektorpotential Agefunden werden, so dass div A= 0 ist.

Diese Eichung heisst Coulombeichung.

Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von B gehörenden Potentiale nennt man Eichung.

In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential.

Da div A = f eine beliebige zahlenwertige Funktion sein kann, kann diese zum Beispiel auch die zeitliche Ableitung des elektrischen Potentials sein, also auch

           1 ∂φ
div A =  − c2∂t-
(3.47)

sein. Diese Lorentzeichung ist relativistisch invariant und wird deshalb gerne in der Relativitätstheorie und der Quantenfeldtheorie verwendet.



Folien zur Vorlesung vom 08. 06. 2009: PDF


Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung

ΔA  (x,y,z) = − μ i(x,y,z)
                 0
(3.48)

kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,

           ∭
        μ0-      -i-(r′)--   ′
A (r) = 4π       |r − r′|dV
(3.49)

Aus der Beziehung rot A = B (Siehe Landau und Lifschitz, Klassische Feldtheorie [?, pp. 121]) bekommen wir

               ∭          ′               ∭         ′
B (r) = rot μ0-      -i(r-)-dV ′ = μ0-rot       -i(r-)-dV ′
            4π       |r − r′|      4π           |r − r ′|
(3.50)

Nun bezieht sich die Rotation nur auf r, nicht aber auf r. Deshalb kann sie unter das Integral gezogen werden.

            ∭    (            )
        -μ0            -i(r-′)--    ′
B (r) = 4 π        rot |r − r′| dV
(3.51)

Nun gilt für die Rotation eines Produktes (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 468])

rot U B =  U rot B +  grad U  × B

Hier ist der Vektor i(r) bezüglich der Rotation eine Konstante, da er nur von rund nicht von r abhängt. Weiter darf die Ableitung irgend eines Punktes nicht davon abhängen dass das Koordinatensystem um einen konstanten Vektor verschoben wurde. Wir rechnen deshalb die Ableitungen in der Rotation, beziehungsweise im Gradienten, nicht bezüglich r sondern bezüglich des verschobenen Koordinatensystems ρ = rraus. Es bleibt also

pict

Die letzte Zeile ergibt sich, da für die Zwecke der Integration r eine Konstante ist. Auch hier muss das Resultat der Integration unabhängig davon sein, dass wir das Koordinatensystem verschoben oder das Vorzeichen geändert haben. Deshalb darf man i(r) = i(rr ′) = i(ρ) setzen.

Wir betrachten nun einen infinitesimal dünnen Strom dIeDraht(r) = i = Idℓ. eDraht ist ein Einheitsvektor entlang des Drahtes. Da i überall null ist ausser auf dem eindimensionalen Draht, wird aus dem Volumenintegral ein eindimensionales Integral. Wieder ist es für die Integration egal, ob wir i von roder von ρ abhängen lassen.

        μ0I   ∮  d ℓ × ρ
B (r) = ----     ----3--
         4π Leiter   ρ
(3.53)

Diese Gleichung ist bekannt als das Gesetz von Biot-Savart. Mit ihm kann man das Feld einer beliebigen Leiteranordnung berechnen.

Auch wenn sie physikalisch keine Bedeutung hat, kann es sinnvoll sein in Zwischenschritten die differentielle Formulierung zu verwenden, nämlich die Formel von Laplace.

      μ0I-  dℓ ×-ρ-
dB =   4π ·   ρ3
(3.54)

Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung!

Beispiel:

Wir hatten in Abbildung 3.8.3.1 gesehen, dass ein homogener Strom in die +z-Richtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form

             {
                − B0,  wenn  x < 0;
By (x,y,z ) =   B  ,   wenn  x > 0.
                  0
(3.55)

Für x = 0 ist By nicht definiert.

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pict

Darstellung von B in einer (x = const)-Ebene. Die Strom-Ebene liegt bei x = 0.

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Das zu Gleichung (3.55) gehörige Vektorpotential ist

pict

Wieder ist A für x = 0 nicht definiert. Aus B = rot A bekommt man

pict

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pict

z-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in z-Richtung in der (x = 0)-Ebene.

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Beispiel:

Das Vektorpotential

            (       )
              --2xz2
        μ0I-|| (x+yyz-)||
A (r) =  2π ( (x2+y2))
                 0

ergibt das magnetische Feld für einen in der z-Richtung laufenden Strom I

            (  --y--)
         I  |− x2x+y2|
H (r ) = ---(  x2+y2-)
         2π     0

In Zylinderkoordinaten (r,𝜃,z) gehört zum Magnetfeld

               (  )
             I | 01|
H (r,𝜃,z) = ---( r)
            2 π  0

das Vektorpotential

                ( z)
            μ0I-| r|
A (r,𝜃,z ) = 2π  (0 )
                 0



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