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3.10  Die Lorentztransformation der Felder E und B

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 128])

Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt (Siehe Abschnitt 3.9), nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.

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pict

Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.

_____________________________________________________________________

Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit v0 bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.

Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist

Ez =  σ-
      𝜀0
(3.1)

wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist

                          v0· σ
Bx =  μ0·j =  μ0· σ·v0 =  -----2
                          𝜀0·c
(3.2)

Die entsprechenden Felder im Bezugssystem Smüssen nun berechnet werden. Auch in Ssind die Platten homogen geladen. Also haben wir

  ′   σ′
E z = --
      𝜀0
(3.3)

und

  ′   v′0·-σ′
B x = 𝜀0·c2
(3.4)

Wir brauchen die Transformationsgesetze für σund v0

pict

wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = (      2)
  1 − v0c2-12 ist. Wir bekommen

                ┌ ----------
          ′     ││      2  2
σ ′ = σ · γ0-= σ ∘ 1-−-v0∕c-
         γ0       1 − v′20 ∕c2
(3.6)

und damit

          ┌ -------------------
          ││          2  2
σ ′ =   σ ││ ----1(-−-v0∕c)------                    (3.7)
          │∘        v0− v   2  2
            1 −  1−-v·v0--  ∕c
             ∘ ------c2-(         )
               1 − v2∕c2 1 − v·v0-
    =   σ-∘---------0----------c2-------
            (1 − v·v0)2 − (v  − v)2∕c2
                  c2   -----0---
                     ∘      2  2 (    v·v0)
    =   σ-∘------------1-−-v0∕c---1-−--c2---------------
            1 − 2v·v0-+ v2·v20-− v2∕c2 − v2∕c2 + 2vv ∕c2
           ∘ -----c2--(   c4    )0                 0
             1 − v20∕c2 1 − v·v20-
    =   σ-∘------------∘-----c----
            1 − v20∕v2·   1 − v2∕c2
               (     v·v  )
    =   σ· γ0·   1 − --2-0
                      c

Mit

      v  − v
v′0 = ---0v·v--
     1 − --c2-0

berechnet man

                  (          )
v′· σ′  =  σ ·γ ·   1 − v·v0-  v′
 0             0          c2     0
                  (     v·v0 )  v0 − v
        =  σ ·γ0·   1 − --c2--  1-−-v·v0-
                                     c2
        =  σ γ0(v0 − v)                    (3.8)


Folien zur Vorlesung vom 15. 06. 2009: PDF
Aufgabenblatt 09 für das Seminar vom 17. 06. 2009 (Ausgabedatum 15. 06. 2009): (HTML oder PDF)


Damit ist

      σ′     ( σ    σv ·v  )
Ez′=  --=  γ0  -- − -----0-  = γ0(Ez −  v·Bx )
      𝜀0       𝜀0    𝜀0c2
(3.9)

und

      v′· σ′     ( σ·v0    σ ·v )      (      v   )
B ′x = -0---2 = γ0  ---2--− ---2-  = γ0  Bx −  -2Ez
      𝜀0·c          𝜀0c    𝜀0c                c
(3.10)

Damit sind die transversalen Felder Bxund Ezin S Linearkombinationen der Felder Bx und Ez in S.

Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem man die obige Anordnung um π∕2 um die y-Achse dreht. Dann gehen

Ez   →   Ex                  (3.11)

Bx   →   − Bz
                             (3.12)
über. Die Transformationsgleichungen sind dann
  ′
E x =   γ0 (E(x  + v·Bz ))           (3.13)
B ′ =   γ   B  +  v-E
  z      0    z   c2  x
                                  (3.14)

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pict

Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des B-Feldes (rechts).

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Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators7 nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist

Ey  =   σ-                 (3.15)
        𝜀0
 ′      σ′
Ey  =   --
        𝜀0′
 σ  =   σ
Also ist auch
  ′
Ey = Ey
(3.16)

Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist

        I-·N-
By  = μ0  L
(3.17)

wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I =  ˙
Q ist

        N  dQ
By =  μ0------
        L  dt
(3.18)

Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann

  ′     N--dQ-
B y = μ0L ′dt′
(3.19)

Mit der Längenkontraktion L= γL und der Zeitdilatation dt= dt∕γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit

B ′= B
 y     y
(3.20)

ist.

Bei einer Bewegung in die y-Richtung mit v = (0,vy,0) (γ = 1∘ ---------
  1 − v2y∕c2) werden die elektrischen und magnetische Induktion wie

  ′
E x  =  γ (vy )(Ex + vy·Bz  )        (3.21)
E ′y  =  Ey
  ′
E z  =  γ (vy )((Ez − vy·Bx ))
B ′  =  γ (v  ) B  −  vyE
  x         y    x   c2  z
B ′  =  By
  y           (           )
B ′z  =  γ (vy ) Bz +  vyEx
                     c2
transformiert.

Im Vakuum gilt B = μ0H = H---
𝜀0c2. Die Lorentztransformation für elektrische und magnetische Felder ist dann

              (               )
  ′                  vy-1
E x  =  γ (vy) Ex +  c2𝜀  ·Hz         (3.22)
  ′                     0
E y  =  Ey    (             )
  ′                  vy-1
E z  =  γ (vy) Ez −  c2𝜀 Hx
  ′                     0
H x  =  γ (vy)(Hx − vy𝜀0Ez )
H ′y  =  Hy
  ′
H z  =  γ (vy)(Hz + vy𝜀0Ex )

Setzen wir noch D = 𝜀0E erhalten wir

              (             )
D ′x  =  γ (vy) Dx  + vy·Hz           (3.23)
                     c2
D ′y  =  Dy
              (      v    )
D ′z  =  γ (vy) Dz  − -y2Hx
                     c
H ′x  =  γ (vy)(Hx − vyDz )
H ′  =  H
  y′       y
H z  =  γ (vy)(Hz + vyDx )



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