(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])
Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt (Siehe Abschnitt 3.9), nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.
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Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.
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Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit 0 bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.
Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist
| (3.1) |
wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist
| (3.2) |
Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S′ müssen nun berechnet werden. Auch in S′ sind die Platten homogen geladen. Also haben wir
| (3.3) |
und
| (3.4) |
Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ′ und v0
wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = −1∕2 ist. Wir bekommen
| (3.6) |
und damit
Mit
berechnet man
Folien zur Vorlesung vom 15. 06. 2009: PDF | |
Aufgabenblatt 09 für das Seminar vom 17. 06. 2009 (Ausgabedatum 15. 06. 2009): (HTML oder PDF) | |
Damit ist
| (3.9) |
und
| (3.10) |
Damit sind die transversalen Felder Bx′ und Ez′ in S′ Linearkombinationen der Felder Bx und Ez in S.
Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem man die obige Anordnung um π∕2 um die y-Achse dreht. Dann gehen
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Skizze zur Transformation eines longitudinale -Feldes (links) und des -Feldes (rechts).
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Die Transformation des longitudinalen -Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators7 nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist
| (3.16) |
Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist
| (3.17) |
wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = ist
| (3.18) |
Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann
| (3.19) |
Mit der Längenkontraktion L′ = γL und der Zeitdilatation dt′ = dt∕γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit
| (3.20) |
ist.
Bei einer Bewegung in die y-Richtung mit = (γ = 1∕) werden die elektrischen und magnetische Induktion wie transformiert. |
Im Vakuum gilt = μ0 = . Die Lorentztransformation für elektrische und magnetische Felder ist dann
Setzen wir noch = 𝜀0 erhalten wir