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4.3  Magnetische Eigenschaften der Materie

4.3.1  Kugeln im inhomogenen Magnetfeld

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Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.

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Versuch zur Vorlesung:
Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM177)


Materie im inhomogenen Magnetfeld zeigt drei verschiedene Verhalten:

diamagnetisches Verhalten
Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt.
paramagnetisches Verhalten
Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen.
ferromagnetisches Verhalten
Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist.

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Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus

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Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu B. Beim Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische Moment in die Richtung von B. Der Kreisstrom ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von B abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft (Siehe Gleichung (3.16)). Sie ist proportional zum Produkt B× dℓ. Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch dℓ umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als unabhängig von der Richtung von B.

Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist

          ∂Bz  (z,0 )
Fz =  mz ·---------
              ∂z
(4.1)

wobei mz das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist.

4.3.2  Der Satz von Larmor

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 162])

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Illustration zum Satz von Larmor

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Wir hatten postuliert, dass das Verhalten der Materie in einem Gradienten eines Magnetfeldes durch atomare Kreisströme gegeben ist. Wenn wir ein Modell (nach der Quantenphysik nicht realistisch) eines Atoms betrachten, bei dem ein einzelnes Elektron auf einer Bahn mit dem Radius r sich um den positiv geladenen Kern bewegt, ist der resultierende Strom

         v
I =  − e----
        2πr
(4.2)

Der Betrag des magnetischen Momentes ist dann

|m  | = πr2I = 1e·v ·r
              2
(4.3)

Die Wirkung eines äusseren Magnetfeldes wird berechnet, indem man betrachtet, wie ein einzelnes Atom auf ein von null anwachsendes äusseres Feld reagiert.

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Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert.

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Im Ausgangszustand ist die Zentripetalkraft F0 = mev2∕r die Coulombanziehung zwischen dem Elektron und dem Kern sowie durch die gemittelte Coulombabstossung durch die anderen Elektronen gegeben. Das anwachsende Magnetfeld hat die gleiche Wirkung wie beim Betatron: es entsteht ein tangentiales E-Feld, das das Elektron beschleunigt. Wir setzen die z-Achse nach oben an. In einem rechtshändigen System ist dann

Wir setzen diese Grössen ein, um vorzeichenrichtig zu rechnen. Aus dem Induktionsgesetz (Siehe Gleichung (4.22)) folgt

 ∮                            ∂ϕ            d (− B (t))       dB (t)
    E ·dr  =  2π·r ·E (t) = − ---B-= − πr2· ---------- = πr2· ------
S (r)                           ∂t               dt              dt
(4.4)

Dabei ist ϕB = (B)·A. Wir erhalten also

       r-  dB(t)-
E(t) = 2 ·  dt
(4.5)

Die Beschleunigung des Elektrons (nicht-relativistisch) ist durch das zweite Newtonsche Gesetz gegeben

me dv-=  − e·E  = − e·r-· dB-(t)
   dt                2      dt
(4.6)

Hier ist me die Ruhemasse des Elektrons. Die Geschwindigkeitsänderung hängt also mit der Magnetfeldänderung wie folgt zusammen

       e·r-
dv = − 2me ·dB
(4.7)

Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist also

Δv  = − e·r-·B
        2me
(4.8)

wenn B das Feld im Endzustand ist. Der Betrag der Geschwindigkeit hat also zugenommen. Nun bewirkt das äussere B-Feld die Lorentzkraft

F L = − e·(− v)· (− B )er
(4.9)

die, nach der rechten Hand-Regel, zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft ist im Endzustand durch

                    2
F  = − m  (−-v +-Δv-)-
         e     r
(4.10)

Da v » Δv ist, können wir nach Taylor entwickeln

         m  (            )
F  ≈   − --e v2 − 2v ·Δv              (4.11)
          r (                  )
   =   − me-  v2 + 2v· e·r-·B
          r            2me
         me- 2
   =   −  r v  − e·v ·B
   =   F  + F
        0    L


Folien zur Vorlesung vom 02. 07. 2009: PDF
Aufgabenblatt 12 für das Seminar vom 08. 07. 2009 (Ausgabedatum 02. 07. 2009): (HTML oder PDF)


Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Die Larmorwinkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zunahme der Bahngeschwindigkeit und der magnetischen Induktion ist

     Δv    e·B
Ω ≡  ----= -----
      r     2me
(4.12)

und vektoriell geschrieben

Larmorwinkelgeschwindigkeit

       e
Ω  = ---- B
     2me
(4.13)

In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert.

Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus.

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Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel

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Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist, bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den Drehimpuls

L = me · (r × v )
(4.14)

Das magnetische Moment des Kreisstromes ist nach Gleichung (4.3)

         e
m  =  − ----L
        2me
(4.15)

Der Kreisel erfährt ein mechanisches Drehmoment (Siehe Gleichung (3.25))

M   = m  × B
(4.16)

Der Drehimpulssatz bedeutet, dass

dL-=  M  =  − -e--L × B  =  -e--B ×  L
dt            2me           2me
(4.17)

Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung des Drehimpuslvektors L um B mit der Winkelgeschwindigkeit Ω (siehe auch [?, Seite 190, Gleichung (6.3.30)])

dL- = Ω ×  L
dt
(4.18)

Wir erhalten die

vektorielle Schreibweise der Larmorfrequenz

     --e-
Ω  = 2m   B
         e
(4.19)

4.3.3  Diamagnetismus

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Berechnung des Diamagnetismus

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Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.

       ∑
mA   =    mj  = 0
        j
(4.20)

Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von zwei gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne äusseres B-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit ausmitteln.

Wenn ein B-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment mA, das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte

ρ  = − ---Ze-----
 el     (4∕3)πR3
(4.21)

wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.

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Ein einzelner Kreisstrom

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Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit

      e
Ω = 2m-- B
       e
(4.22)

Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom

δI =  ρel·r ·dr ·d φ·v  (r,φ )
(4.23)

mit

v(r,φ) = Ω ·r · sin φ
(4.24)

Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment mA entgegengesetzt zu Ω und entgegengesetzt zu B, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist

δm   (r,φ) = Fläche·Strom   = πr2 sin2 φ· δI
    A
(4.25)

oder

δmA (r,φ)  =   πr2sin2 φ· ρel·r ·dr ·d φ·v  (r,φ ) (4.26)
                 2   2
           =   πr sin  φ· ρel·r ·dr ·d φ· Ω ·r · sin φ
           =   πr4sin3 φ· ρel· Ω ·dr ·dφ
Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über r und φ Er ist
          ∫R ∫π
|mA |  =       δmA  (r,φ )drdφ               (4.27)
           0 0
                     ∫R         ∫π
       =  π ·ρ  · Ω·    r4·dr ·   sin3φ ·d φ
               el
                      0         0
                     ∫R         4
       =  π ·ρel· Ω·    r4·dr · --
                      0         3
                     R5   4
       =  π ·ρel· Ω· ---· --
                      5   3
              Z-·e-     R5-  4-
       =  π · 4πR3 · Ω·  5 · 3
              3              5
       =  π · Z-·e-· eB--· R--· 4-
              43πR3   2me    5   3
               2       2
       =   Z·e--·B--·R---
               10me
Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment
             2   2
m   = − Z-·e--·R--B
  A        10me
(4.28)

Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.

4.3.4  Magnetisierung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 170])

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pict

Atomare Kreisströme

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Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit

          ∑
            ΔV mAi
M  (R ) = ---ΔV-----
(4.29)

Dabei ist mA1 das magnetische Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe, wobei ΔV ein geeignetes Volumenelement ist. Eine Probe heisst homogen magnetisiert, wenn M(r) unabhängig vom Probenort ist.

Das externe Magnetfeld soll senkrecht zur Bildebene des obigen Bildes sein. Die atomaren Kreisströme müssen dann in der Bildebene liegen. Betrachten wir ein Flächenelement da, das senkrecht zur Bildebene liegt, dann stellen wir fest, dass alle Kreisströme zweimal durch dieses Ebenenelement gehen, einmal in positiver und einmal in negativer Richtung. Bis auf die Ströme an den Rändern heben sich alle Ströme auf. Das heisst, dass das mittlere Stromdichtefeld

i = 0
(4.30)

ist, da dI(a) = i·da. Nur die Ströme am Rand, die Oberflächenströme mit der Stromdichte j, können deshalb die Quelle der beobachteten makroskopischen Magnetisierung sein. Für eine Probe der Höhe Δz ist der gesamte Strom an der Oberfläche

ΔI  = Δz ·j
(4.31)

Diese makroskopischen Oberflächenströme erklären die experimentellen Beobachtungen. Da für ein diamagnetisches Atom m entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, und da damit auch die makroskopische Magnetisierung M entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, wird diese Probe wie beobachtet vom Magnetfeldgradienten abgestossen.

Das magnetische Feld aller Kreisströme muss identisch mit dem externen Feld B sein. Nun ist aber das magnetische Moment eines Kreisstromes in genügender Entfernung nicht von der Fläche dieses Stromes abhängig. Deshalb muss die Summe aller einzelner atomarer magnetischer Momente dem magnetischen Moment des Oberflächenstromes gleich sein.

ma ·n ·A · Δz  = A ·I =  A·j · Δz
(4.32)

wobei n die Volumendichte der Atome ist. Die Oberflächenstromdichte

j = ma ·n  = M
(4.33)

ist gleich der Magnetisierung.

4.3.5  Das magnetische Moment des Elektrons: Spin

Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls s (Spin) herrührt.

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pict

Elektronenspin

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Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment ms. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert

      1 h    1
sz =  22π-=  2ℏ
(4.34)

hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch

h =  6.63 × 10 −34 Js
(4.35)

oder mit 2π= h

      − 34
ℏ ≈ 10    Js

ist. Nach der Quantenmechanik gilt

         e
ms  = − ---s
        me
(4.36)

Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre ms,klass = (12)e--
mes. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist

              e
|ms,z,klass| = ----ℏ ≡ 1μB =  0.927 × 10−23 Am2
             2me
(4.37)

auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Das magnetische Moment des Elektrons ist dann

m   = gμ  e
  s      B s
(4.38)

Hier ist g der Landé-Faktor, der für die klassische Quantenmechanik und das Elektron g = 2 und gemessen g = 2.00231930436182(52) ist[?]. (52) ist die Unsicherheit der letzten zwei Stellen. Dieser Wert ist in Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik. g-Faktoren können auch für Atome und andre Objekte definiert werde. Für das Proton erhält man gp = 5.585694702(17) [?].

4.3.6  Paramagnetismus

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [?, pp. 262])

Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.

mA  ⇔  0
(4.39)

Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton 1μB. Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.

Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an

 H   =   (0,0,H )                            (4.40)

 m   =   (m  sin Θ cosϕ,m  sin Θ sin ϕ,m cos Θ)
dΩ   =   sin Θd Θdϕ =  − d(cosΘ )dϕ

Die Energie des magnetischen Dipols m im Magnetfeld H hängt nur von Θ ab. Wir machen eine Koordinatentransformation auf u = cos Θ. Die Energie ist dann

Epot = − mA ·B   = − mA  · (μ0H ) = − μ0mAH   cosΘ  = − μ0mAHu
(4.41)

Die Magnetisierung Mz in der z-Richtung, der Richtung des Magnetfeldes H, ist

         (∑      )
Mz  = -1     mA    =  N mA ⟨cos Θ⟩ = N mA  ⟨u⟩
      V           z
(4.42)

Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien Epot nach der Boltzmannstatistik verteilt sein, also

          ∫                       ∫  ∫
           Ω cosΘe −Epot∕kBTd Ω    02π π0 cosΘex cosΘsin ΘdΘd ϕ
⟨cosΘ ⟩ = ---∫--−Epot∕kBT-------=  --∫2π-∫π-x-cosΘ---------------
             Ω e         dΩ          0   0 e     sin Θd Θd ϕ
(4.43)

mit x = μ0mH∕kBT. In der Koordinate u und nach Ausführen der trivialen Integration über ϕ lautet die Gleichung

      ∫1 uexudu
⟨u⟩ = -−∫11--xu----
       − 1e  du
(4.44)

Wir wechseln auf û = u und erhalten

        ∫
         1−1 ^ue− x^ud^u           1
⟨u⟩ = − ∫-1--−x^u----= coth x − x-=  L(x)
         −1 e   d^u
(4.45)

wobei L(x) die Langevin-Funktion ist. Also ist

                (μ0mAH   )
Mz   =   nmAL    --kT----                (4.46)
                (     )
     =   nmAL    mAB---
              [   kBT               ]
                    (mAB   )    kBT
     =   nmA   coth  ------  − ------
                      kBT      mAB
wobei n die Zahlendichte der Spins ist.

Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also kT » mAB verifizierbar. Da für x « 1 die Reihenentwicklung L(x) = x∕3 + O(x2) gilt, bekommen wir das Curie-Gesetz

      1nm2A             C
M  =  ------B  = χH  =  --H
      3 kbT             T
(4.47)

Hier ist C die volumenbezogene Curie-Konstante

          2
C =  μ nm-A-
      0  3kb
(4.48)

Alternativ kann die Curie-Konstante auch mit molaren Grössen ausgedrückt werden, indem wir mmol = NAmA setzen.

          m2
Cmol  = μ0--mol
           3R
(4.49)

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Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine B). MS ist die Sättigungsmagnetisierung.

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4.3.7  Ferromagnetismus



Versuch zur Vorlesung:
Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM175)


Ferromagnetische Atome haben genau so wie paramagnetische Atome ein permanentes magnetisches Moment mA. Im Gegensatz zu den Paramagneten bleibt jedoch auch ohne äusseres Magnetfeld ein magnetisches Moment übrig. Die Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes kann mit der unten stehenden Apparatur gemessen werden.

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Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis.

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Versuch zur Vorlesung:
Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM205)


Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis

     dB-(t)   Q-(t)-
− A ·  dt  −   C   = R2 ·I2 (t)
(4.50)

Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung.

  -A-  dB-(t)   Q-(t)   dQ-(t)-
− R2 ·   dt   = R2C  +    dt
(4.51)

Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1(t), der die Frequenz ω hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)∕dt ωQ(t) ist. Wenn 1∕RC « ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt

Q(t) = const·B  (t)
(4.52)

und damit für die Spannung am Kondensator

U  (t) = Q (t)∕C  ∝ B (t)
  C
(4.53)

Der Ausgangsstrom I(t) selber erzeugt das anregende Feld.

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Hysteresekurve eines Ferromagneten

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Diese Abbildung zeigt das skizzierte Resultat des obigen Versuches. Interessant ist, dass bei I = 0, also ohne anregendes Magnetfeld, trotzdem ein Feld B 0 gemessen wird. Diese Feld kann nur von einer nichtverschwindenden Magnetisierung ohne äusseres Feld herrühren. Diese nichtverschwindende Magnetisierung M 0 ist das Kennzeichen eines Ferromagneten.

Andererseits gibt es zwei Punkte, bei denen das resultierende Magnetfeld null ist, obwohl ein äusseres Magnetfeld angelegt wurde. Dies kann nur sein, wenn die Magnetisierung im Material das äussere Feld gerade kompensiert.

Weiter nimmt für sehr grosse anregende Felder das resultierende Magnetfeld kaum mehr zu. Man spricht von einer Sättigung der Magnetisierung.



Versuch zur Vorlesung:
Magnetische Bezirke (Versuchskarte EM178)


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Ferromagnetische Domänen

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Das beobachtete Verhalten kann mit ferromagnetischen Domänen, auch Weisssche Bezirke genannt, erklärt werden. Das Material besteht, wie oben skizziert, aus einer grossen Zahl kleiner Bereiche, die jeder seine eigene Orientierung der Magnetisierung haben. Die gemittelte Magnetisierung hängt davon ab, wie zufällig die Domänen verteilt sind.

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Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld

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Wird ein äusseres Magnetfeld angelegt, beginnen die Domänen, die bezüglich des externen Feldes richtig orientiert sind, zu wachsen, die anderen schrumpfen. Die makroskopische Magnetisierung wächst, hinkt aber hinter der Anregung zurück.

Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse.

Bei der Änderung der Grösse der Domänen müssen Domänenwände verschoben werden. Dies kostet Energie und zeigt sich als Hysterese. Dieser Energieverlust bei der Grössenänderung stabilisiert aber auch die Domänen.

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Löschen des remanenten Magnetismus

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Um die makroskopische Orientierung der Domänen zum Verschwinden zu bringen, muss man die ferromagnetische Substanz langsam aus einem Wechselfeld entfernen. Das Bild oben zeigt die resultierenden Hysteresekurven. Die Hystereseschlaufe wird so quasikontinuierlich auf einen Punkt, den Ursprung des Koordinatensystems zusammengezogen.

Anwendung: Entmagnetisieren von Schraubenziehern, Löschen von Tonbändern.



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