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5.3  Maxwellgleichungen

Dieser Satz Gleichungen wird die

Maxwell-Gleichungen

pict

genannt. (Ursprüngliche Ableitung der Gleichungen: (2.8), (4.24), (3.42) und (5.3))

Zusammen mit dem Kraftgesetz (siehe (4.21))

F = q · (E + v × B  )
(5.2)

hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik für isotrope Materialien.

Die Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, die eingeführt wurde um die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen elektromagnetische Wellen vorhersagen kann.

Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der Galilei-Transformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.

Die Integralform des modifizierten Durchflutungsgesetzes ist

∬                 ∬    (    ∂D  )        ∮
    rot H  ·da  =       i + ----  ·da  =   H  ·ds
                             ∂t          S
A(S)              A(S)
(5.3)

wenn man den Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.1)) anwendet. S ist eine beliebige Kurve und A(S) die durch sie berandete Fläche.

Das Gausssche Gesetz liefert

                         (     )
∂ρel    ∂                  ∂D
-∂t- = ∂t-(div D ) = div   ∂t--
(5.4)

Damit wird die Kontinuitätsgleichung

                               (    )        (        )
div i + ∂ρel = 0 = div i + div    ∂D-- =  div   i + ∂D-
         ∂t                      ∂t                ∂t
(5.5)

Damit ist das Integral über die Fläche in Gleichung (5.4) unabhängig von S.

Die Integralformeln der Maxwellgleichungen lauten (ursprüngliche Ableitungen: (2.6), (4.22), (3.41) und (5.3))

 ∬                 ∭

     D ·da   =           ρel(r)dV      I      (5.6)
A (V )                V
   ∮                   ∬
      E ·ds  =     − ∂-    B ·da      II
                     ∂t
   S                   A(S)
 ∬
     B ·da   =            0           III
 A(V )
   ∮            ∬    (        )
                          ∂D--
     H  ·ds  =        i +  ∂t   ·da   IV
   S            A(S)

Der Unterschied zwischen der zweiten und der dritten Maxwellgleichung ist, dass in der zweiten Gleichung über eine einfache, von der Kurve S aufgespannte Fläche A(S) integriert wird, während in der dritten Gleichung über die das Volumen V einschliessende Fläche A(V ) integriert wird.

Die angegebenen Maxwellgleichungen gelten für alle Medien, auch mit tensoriellen Eigenschaften. Dort benötigt man die beiden Materialgleichungen

D   =   𝜀𝜀0E                   (5.7)

B   =   μμ0H
         −1-1
E   =   𝜀  𝜀0D
            1
H   =   μ−1 --B
            μ0
um das elektrische Feld und die dielektrische Verschiebung, bzw. das magnetische Feld und die magnetische Induktion miteinander zu verknüpfen, wobei 𝜀 und μ Tensoren sind.

Die Maxwellgesetze mit explizit eingesetzen Materialgesetzen lauten für beliebige Materialien

   𝜀0div (𝜀E )       = ρel       I       (5.8)
                        ∂B-
        rot E       = −  ∂t      II
     (  div B)         = 0        III
       − 1B       (      ∂(𝜀E ))
rot   μ   ---   =  i + 𝜀0--∂t--   IV
          μ0

in der differentiellen Schreibweise und

   ∬                      ∭

       𝜀𝜀0E ·da  =             ρel(r)dV        I (5.9)
  A(V)                     V
        ∮                    ∬
          E ·ds  =       − -∂     B ·da        II
                           ∂t
        S                    A(S)
     ∬
          B ·da  =              0              III
     A(V)
∮ (       )         ∬    (             )
     −1 B--                     ∂-(𝜀E-)
    μ   μ0  ·ds  =        i + 𝜀0  ∂t     ·da   IV
S                   A(S)

in der Integralschreibweise. Beachten Sie, dass sowohl 𝜀 wie auch μ sowohl von der Zeit wie auch vom Ort abhängen können!



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