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5.5  Anwendung der Maxwellgleichungen

Beispiel: Anwendung

Wir betrachten einen langen kreiszylindrischen Leiter mit dem Durchmesser R, aus dem eine Scheibe mit der Dicke d « R herausgeschnitten wurde. Dieser Leiter werde an eine Gleichstromquelle mit I(t) = I0 angeschlossen. Die Endflächen beim herausgeschnittenen Stück wirken wie ein Kondensator. Also ist

Q (t) = I0·t
(5.1)

Da wir eine zeitlich konstante Situation haben, sind alle zeitlichen Ableitungen null. Mit der Integralform des Gaussschen Gesetzes bekommt man mit einer geschlossenen Fläche A, die eine Kondensatorplatte beinhaltet

  ∬                ∭

𝜀0     E ·da   =        ρeldV         (5.2)
   A               V(A)
            2
   𝜀0E (t)πR    =   Q(t)
wobei wir berücksichtigt haben, dass innerhalb des Leiters sowie ausserhalb des herausgeschnittenen Stückes E = 0 gilt. Damit erhalten wir
E (t) = -Q-(t) =  -I0(t)-t = i0t
       𝜀0πR2     𝜀0πR2     𝜀0
(5.3)

Dabei ist i0 die Stromdichte im Draht, nicht in der Lücke. Das Vektorfeld

(          )
       ∂E--
 i + 𝜀0 ∂t

ist homogen im ganzen Zylinder, einschliesslich des herausgeschnittenen Stückes. Im Leiter ist E = 0, also

i0 = -I0-
     πR2
(5.4)

Im herausgeschnittenen Stück ist i = 0 und damit

i′ = 𝜀-∂--I0(t)-t = -I0- = i
     0∂t 𝜀0πR2     πR2     0
(5.5)

Deshalb muss B über den ganzen Leiter, inklusive des herausgeschnittenen Stückes, tangential und translationsinvariant entlang des Leiters sein.

        μ0     r
B(r) = 2-πI0· R2-     für      r < R
(5.6)

sowie

        μ0-    1-
B (r) = 2π I0· r      für      r ≥ R
(5.7)

Der Maxwellsche Verschiebungsstrom bewirkt also, dass die Stromverteilung im Leiter in den Zwischenraum verschoben wird. Das modifizierte Ampèresche Durchflutungsgesetz ist die physikalische Rechtfertigung für den umgangssprachlichen Ausdruck der Strom fliesst durch den Kondensator.



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