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6.5  Elektromagnetische Wellen im Raum

Hier soll mit einer beschleunigten Ladung erklärt werden, wie Wellen im Raum entstehen.



Versuch zur Vorlesung:
Hertzscher Dipol (Versuchskarte SW099)




Versuch zur Vorlesung:
Stehende Wellen (Versuchskarte SW032)


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pict

Wellenausbreitung

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Wir betrachten eine Ladung q, die die folgende Geschwindigkeit hat

    (
    |{  0      für  − ∞  < t < 0
v =    a·t    für  0 ≤ t < Δt
    |(
       a· Δt  für  t ≥ Δt

Die Beschleunigungszeit Δt sowie die Beschleunigung a sollen so gewählt sein, dass

a· Δt = v «  c

gilt. Die Behauptung ist, dass das elektrische Feld E für t » Δt wie in der Zeichnung oben aussieht. In der Beschleunigungsphase soll eine elektromagnetische Welle erzeugt worden sein. Ausserhalb der Kugel mit dem Radius

r = c·t

muss das elektrische Feld das Feld einer im Ursprung ruhenden Ladung sein, da nach der Relativitätstheorie die Information über die Beschleunigung diesen Raum noch nicht erreicht haben kann.

Innerhalb der Kugel mit

r ≤  c(t − Δt )

haben wir das Feld der Ladung q, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegt, denn in diesem Bereich ist die noch unbekannte Welle erzeugt durch die Beschleunigung einer Ladung schon wieder vorbei. Die Feldlinien im Laborsystem können wir erhalten, indem wir das elektrische Feld im Ruhesystem der Ladung (radiale Feldlinien) in das Laborsystem transformieren. Wenn v « c ist, haben wir auch im Laborsystem radiale Feldlinien, die von der momentanen Position der Ladung weggehen. Die Maxwellgleichung im Vakuum div E = 0 bedingt, dass die Feldlinien geschlossen und stetig sind. Die Vermutung ist, dass die Feldlinien in der Wellenzone linear die beiden Feldlinienmuster miteinander verbinden.

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pict

Berechnung der Wellenausbreitung

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Da t » Δt ist, kann die Beschleunigungsphase für die Bestimmung der Position der Ladung zur Zeit t vernachlässigt werden. Wir haben also

x(t) = v·t
(6.1)

Wegen v « c ist dann auch

r = c·t »  x
(6.2)

sowie wegen t » Δt auch

r »  c·Δt
(6.3)

Wir bezeichnen mit die Richtung senkrecht zum Radiusvektor r. Wir erhalten dann, unter der Annahme, dass das E-Feld in der Wellenzone linear sei,

E      v ·t
--⊥-= --⊥---
E ∥   c· Δt
(6.4)

Mit

v⊥ = a⊥ ·Δt
(6.5)

sowie mit t = r∕c bekommen wir

E        r
-⊥-=  a⊥ 2-
E∥       c
(6.6)

Andererseits, wenn wir die Integralform der ersten Maxwellgleichung auf den kleinen Zylinder an der Stelle r anwenden, erhalten

∬
    E ·da  = 0
(6.7)

und damit mit dem Coulombgesetz

             q    1
E ∥ = Er = -----· -2
           4π 𝜀0  r
(6.8)

Dies bedeutet, dass das radiale Er-Feld sich stetig durch die Kugelschale hindurch fortsetzt. Die Komponente E existiert nur in der Wellenzone. Das E-Feld ist das gesuchte Feld der elektromagnetischen Feldes, das Strahlungsfeld. Seine Grösse ist

      --q--  -a⊥--
E ⊥ = 4π 𝜀0· c2·r
(6.9)

Vektoriell geschrieben lautet diese Gleichung

                         ′
E (r, t) = − ---q---· a⊥-(t-)     t′ = t − r-
            4π 𝜀0c2    r                 c
(6.10)

Das elektrische Feld E an der Stelle r ist proportional zur senkrechten Komponente der Beschleunigung, aber zur retardierten Zeit t= tr∕c. Zum Strahlungsfeld gehört auch ein B-Feld, das so gerichtet ist, dass E, B und k ein Rechtssystem bilden. k ist die Ausbreitungsrichtung. Das Magnetfeld ist, in vektorieller Schreibweise,

             (  )
           1- k-
B  (r,t) = c  k   × E  (r,t)
(6.11)

Wenn wir Δt halbieren, bleibt der äussere Teil der des Strahlungsfeldes konstant, der innere Teil liegt dann in der Mitte der Verbindungslinie durch die Wellenzone. Durch fortgesetzte Anwendung dieses Verfahrens wird die Linearität des elektrischen Feldes in der Wellenzone gezeigt.

Wenn a b ist, gilt die Vektoridentität a ×b×a = (a ·a ) b = |a |2b. Also ist im Vakuum

                                  (  )
              -1-         1--   1-  k-        -1--   2 k-
S =  E ×H  =  μ  E ×B  =  μ E × c   k  ×E  =  μ c |E | k
               0           0                   0
(6.12)

Also ist S kollinear zur Ausbreitungsrichtung k. Mit √ -----
  𝜀0μ0 = 1∕c erhalten wir auch im Vakuum

     ∘ ---
S =    𝜀0-|E |2 k-
       μ0      k
(6.13)

Diese Gleichung kann auf lokal isotrope Medien erweitert werden (𝜀 und μ sind Zahlen!)

     ∘ -----
        𝜀𝜀0    2 k
S =    ----|E | --
       μ μ0     k
(6.14)

Beispiel: Ein Elektron in einem Atom führe in die z-Richtung die harmonische Bewegung

z(t′) = z0·  sin ωt′
(6.15)

aus. Dabei ist tdie retardierte Zeit. Die Beschleunigung ist

a(t′) = ¨z(t′) = − z · ω2· sinωt ′
                 0
(6.16)

Das elektrische Feld ist

               e     1                 ez ω2   1      [ (     r)]
E (r,Θ, t) =  ------· -· |a(t′)|sin Θ =  --0---· -· sin  ω  t − --  sin Θ
             4π𝜀0c2  r                 4π𝜀0c2  r              c
(6.17)

Das Magnetfeld ist

B (r,Θ, t) = 1E (r,Θ, t)
             c
(6.18)

Der Poynting-Vektor oder Energiefluss ist

               ---
             ∘ 𝜀0
S (r,Θ, t) =    --E2 (r,Θ, t)
               μ0
(6.19)

Mit ⟨sin2(ωt − kr )⟩ t = 12 wird die Intensität

                         ∘ -𝜀0 e2z2ω4   sin2 Θ
I (r,Θ) = ⟨S (r,Θ, t)⟩t =   -------0-2-2 ---2--
                           μ0 (4π𝜀0c )   2r
(6.20)

Damit haben wir gezeigt, dass die Annahme eines harmonischen Oszillators das Strahlungsfeld eines Atoms erklären kann. Die abgeführte Energie dämpft dabei den Oszillator. Je stärker die Dämpfung ist, das heisst, je kürzer die Lebensdauer ist, desto breiter wird das Frequenzspektrum sein.

6.5.1  Ebene Wellen



Folien zur Vorlesung vom 13. 07. 2009: PDF


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pict

Bild einer ebenen Welle

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Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Wellengleichung dadurch, dass die Amplitude und der Wellenvektor nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle des elektromagnetischen Feldes ist durch

E (x) = E0 cos(k·x  −  ωt)    mit     E0 ·k  = 0
(6.21)

gegeben. Der Vektor k, der , gibt die Ausbreitungsrichtung an, der Betrag |k | = k = 2λπ heisst die Wellenzahl. Bei elektromagnetischen Wellen im Sichtbaren kann man alternativ auch von Lichtstrahlen sprechen. Zum Vergleich, eine Longitudinalwelle ist eine örtliche Schwankung einer skalaren Funktion, zum Beispiel, des Druckes, gegeben durch

Ψ (x) = Ψ0 cos(k ·x −  ωt)
(6.22)

6.5.2  Kugelwellen



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [?, pp. 48, 710]) (Siehe Pérez, Optik [?, pp. 287])


Versuch zur Vorlesung:
Wellenwanne (Versuchskarte O-021)


Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Wir können die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten.

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pict pict

Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der Distanz r von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.

_____________________________________________________________________

Bei elektromagnetischen Wellen gilt

                    E^0-(ϕ,𝜃)-
E (r) = E (r,ϕ,𝜃) =     r    cos(kr− ωt)    mit     r ·E0 (ϕ,𝜃 )
(6.23)

Bei einer Kugelwelle ist

  • die Amplitude: E(r) = E0r0
r
  • die Intensität I(r) = I0r20
r2



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