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6.8  Die Fresnelschen Formeln



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [?, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 539])

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Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.

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Die beiden Aufnahmen in Abbildung 6.8 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Aus den Abschnitten 2.9, 6.5 und 6.7.1 wissen wir, dass Licht vom Himmel polarisiert ist. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.



Versuch zur Vorlesung:
Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)


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Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

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Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen

Wir betrachten eine Welle Ee, die aus dem Medium mit μ1 und 𝜀1 auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ2 und 𝜀2 fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle

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Gegeben sind Ee, μ1, 𝜀1, μ2, 𝜀2, ke und ωe(|ke|). An den Grenzflächen gilt

Sei en der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes von Ee mit en liegt senkrecht zu en und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Um den Tangentialvektor in die ursprüngliche Richtung zurück zu drehebn, wenden wir nochmals ein Kreuzprodukt mit en an. Unabhängig von der Richtung von Ee bekommt man mit dieser Operation immer die Komponente von Ee tangential zur Grenzfläche

Ee,tangential = en × Ee × en
(6.2)

Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren Er und Et in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden

en ×  Ee × en + en × Er  × en = en ×  Et × en
(6.3)

Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir

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Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

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wobei r nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist, also mit en·r = 0. Damit Gleichung (6.5) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen gleich sein

ωe = ωr = ωt
(6.6)

Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

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r zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche. Da der Ursprung des Koordinatensystems nicht in der Grenzfläche liegen muss, ist r im Allgemeinen nicht parallel zur Grenzfläche. Aus der ersten Gleichung in (6.7) folgt

((ke − kr )·r )in der Grenzfläche = φr
(6.8)

Eine Gleichung vom Typ a·r = ϖ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von r liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor a. ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke kr liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke kr. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst |k |
  e = ke = |k |
  r = kr. Wir können also schreiben

en × (ke − kr) = 0
(6.9)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

kesinα  = kr sinβ ⇒ sin α = sinβ ⇒  α =  β
(6.10)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der reflektierten Welle kr.

Das Reflexionsgesetz besagt, dass

α =  β

(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)

Aus Gleichung (6.7) folgt weiter

((ke − kt)·r )Grenzfläche = φt
(6.11)

Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke kt liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke kt. Wir können also schreiben

en × (ke − kt) = 0
(6.12)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

kesinα =  ktsin γ
(6.13)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der transmittierten Welle kt. Aus der Wellengleichung folgt

ω             1
-- = ci = √----------
ki          μiμ0𝜀i𝜀0
(6.14)

Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (6.13) auch als

ωe         ωt
---sinα =  ---sin γ
ce         ct
(6.15)

oder

√ ---------        √ ---------        √ -----       √ -----
  μ1μ0 𝜀1𝜀0sin α =    μ2μ0𝜀2𝜀0 sin γ ⇒    μ1𝜀1sin α =   μ2 𝜀2sin γ
(6.16)

Mit der Definition (6.1) (n = √ ---
  μ 𝜀) bekommt man auch

n1 sin(α ) = n2sin(γ)
(6.17)

Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.

Schliesslich können wir noch eine Beziehung der Tangentialkomponenten aller Felder erhalten. Analog zur Gleichung (6.3) können wir die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren angeben:

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Wir subtrahieren Gleichung (6.18a) von Gleichung (6.18b), beziehungsweise von Gleichung (6.18c) erhalten wir die Beziehungen

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Setzen wir mit Gleichung (6.9) für kr ke = Γreen und kke = Γteen erhalten wir für die Gleichungen (6.19a) beziehungsweise (6.19b)

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Damit gilt für die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren

Die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen sind gleich.

ke,tangential = kr,tangential = kt,tangential
(6.21)

Die Änderung der Ausbreitungsrichtung bei Reflexion und Brechung stammt alleine von den Komponenten der Wellenvektoren, die parallel zum Normalenvektor der Grenzfläche liegen.

6.8.1  s-Polarisation



Folien zur Vorlesung vom 16. 07. 2009
Aufgabenblatt 14 für das Seminar vom 22. 07. 2009 (Ausgabedatum 16. 07. 2009).


Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.

Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten 𝜀1 und 𝜀2 sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

 ∘ ----- (       )          ∘ -----
1- -𝜀1𝜀0  E2−  E2  cosα =  1- -𝜀2𝜀0E2 cosγ
2  μ1 μ0   e    r          2  μ2 μ0  t
(6.22)

wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen en sind, Ee ist die Amplitude der E-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), Er die Amplitude der reflektierten und Et die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

∘--- (       )         ∘ ---
  𝜀1- E2−  E2  cosα =    𝜀2E2 cosγ
  μ1   e    r            μ2  t
(6.23)

Die Komponente von E parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.3)

Ee + Er = Et
(6.24)

Wir beachten, dass a2 b2 = (a b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten

∘ -𝜀1                  ∘ 𝜀2-           ∘-𝜀1μ2
  ---(Ee − Er) cosα =    ---Etcosγ ⇒     -----(Ee − Er )cosα =  Etcos γ
  μ1                     μ2              μ1𝜀2
(6.25)

Aus der Kombination der Gleichungen (6.24) und (6.25) erhalten wir die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation.

Die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation lauten

          ∘ ---        ∘ ---
             𝜀1-cosα −    𝜀2cos γ
Er  =   Ee∘--μ1--------∘-μ2------
             𝜀1μ-cosα +    𝜀μ2cos γ
              1  ∘ ---    2
                2  𝜀μ11 cosα
Et  =   Ee∘--𝜀1---------∘-𝜀2------     (6.26)
             μ1 cosα +   μ2 cos γ
Mit den Brechungsindizes n1 = √ -----
  μ1𝜀1 und n2 = √ -----
  μ2 𝜀2 erhält man
           nμ11 cosα − nμ22 cos γ
Er  =   Ee-n1--------n2-----
           μ1 cosα + μ2 cos γ
               2nμ11 cosα
Et  =   Ee-n1--------n2-----        (6.27)
           μ1 cosα + μ2 cos γ

Nach dem Brechungsgesetz ist

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Wir setzen dies ein und erhalten

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Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation

           1                 1
          -μ1-sin-γ(α-)cosα-−--μ2 sinα-cosγ-(α)
Er  =   Ee 1-sin γ(α )cosα +  1-sinα cosγ (α)
           μ1                 μ2
                    2μ1 sin γ(α )cosα
Et  =   Ee-1-----------------1--------------(6.29)
           μ1 sin γ(α )cosα +  μ2 sinα cosγ (α)
Dabei ist
√-----        √ -----
 μ1 𝜀1sinα =    μ2𝜀2sin γ

Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation bei nichtmagnetischen Materialien

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Dabei ist

√ 𝜀1sinα =  √ 𝜀2sinγ

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien

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Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1𝜀0c
 2Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor n2
n1 für It. Im Medium mit dem Brechungsindex n2 wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex n1. Ist n2 grösser als n1. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I2 muss grösser werden.

6.8.2  p-Polarisation

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Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die k-Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die E-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

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Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von E durch

(Ee − Er)cos α = Etcos γ
(6.32)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)

∘--- (       )         ∘ ---
  𝜀1- E2−  E2  cosα =    𝜀2E2 cosγ
  μ1   e    r            μ2  t
(6.33)

Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten

∘ ---            ∘ ---
  𝜀1-(E  + E ) =    𝜀2E
  μ1   e    r       μ2  t
(6.34)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

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lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit ∘ 𝜀1-
  μ1

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und addieren

    ∘ ---          ( ∘ ---        ∘ ---     )
2 E   𝜀1-cos α = E     -𝜀2cos α +   -𝜀1cos γ
   e  μ1          t    μ2           μ1
(6.36)

Um Er zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in (6.35) mit cos γ und die untere mit ∘ -𝜀2-
  μ2

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subtrahieren und erhalten

   (∘ ---        ∘ ---     )        ( ∘ ---        ∘ ---    )
       𝜀1-         -𝜀2                  𝜀1-          𝜀2-
Ee     μ1 cos γ −  μ2 cos α  =  − Er    μ1 cosγ +    μ2 cosα
(6.37)

Damit erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

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Mit den Brechungsindizes n1 = √ -----
  μ1𝜀1 und n2 = √ -----
  μ2𝜀2 erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

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Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

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Die Brechungsindizes n1 und n2 können mit dem Snelliusschen Gesetz n1 sin α = n2 sin γ eliminiert werden

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

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Mit sin(α ± γ) cos(α γ) = sin α cos α ± sin γ cos γ werden die obigen Gleichungen

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

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Die Quotienten aus sin und cos können zu tan zusammengefasst werden

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:

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Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:

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Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1𝜀02cEe2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor n2
n1 für It.

6.8.3  Grenzfall des senkrechten Einfalles

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Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die s- und p-Polarisation.

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Im Grenzfall α 0 müssen die Resultate für die s- und p-Polarisation übereinstimmen. Wir betrachten den Fall kleiner Winkel. Dann lautet das Snelliussche Brechungsgesetz

                                                  n
n1sinα =  n2sinγ  =α=«=1==&==γ=«1⇒   n1α = n2 γ =⇒  γ = --1α
                                                  n2
(6.45)

Weiter gilt

cosα =α=«=1=  1         sinα =α=«=1=  α.
(6.46)

Lässt man in Gleichung (6.42) α gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte und das transmittierte elektrische Feld

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und damit Er,p > 0. Andererseits hat der Grenzwert des elektrischen Feldes Er,s für α gegen Null bei der s-Polarisation in Gleichung (6.30)

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einen negativen Wert. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.8.3 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte Er,p und Es,p sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen in identische Richtungen.

6.8.4  Brewster-Winkel

Wenn bei der p-Polarisation in der Gleichung (6.42) für Er der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner. Wir erhalten also Er(α = π∕2 γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.

Beim Brewsterwinkel gegeben durch α + γ(α) = π∕2 ist Er,p für die p-Polarisation gleich null. Die elektromagnetische Welle ist s-polarisiert!

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Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Links ist der Analysator so gestellt, dass dass das an der Wasseroberfläche reflektierte Licht durchgelassen wird. Rechts die gleiche Szene, aber der Analysator blockt das an der Wasserfläche reflektierte Licht.

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Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Die beiden Bilder aus Abbildung 6.8.4 sind hier übereinandergelegt.Die Trennlinie läuft entlang des Baumstammes.

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Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Linkes und rechtes Bild wurden mit zwei Stellungen des Polarisationsfilters aufgenommen.

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6.8.5  Beispielkurven für die Fresnelformeln

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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.

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Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei n i die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1)eintreten.

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Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

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Folien zur Vorlesung vom 20. 07. 2009


6.8.6  Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Wir betrachten hier die p-Polarisation. Der einfallende Energiefluss ist

         𝜀0c  2
Ie,⊥ =  n1 2 E e cosα
(6.51)

Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

         𝜀 c
Ir,⊥ =  n1-0-E2r cosα
          2
(6.52)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

It,⊥ = n2 𝜀0c-E2cos γ(α)
         2   t
(6.53)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation

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gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

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berechnen.

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Wir setzen A = cos[2α 2γ] und B = cos[2α + 2γ] und schreiben die Gleichung um

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Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.

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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren (n1 = 1) Medium in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.

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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten.

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Für beide Bilder wurde die Intensität mit I = niE2 cos(α i) berechnet, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von 𝜀E = D liefert das Snelliussche Gesetz.

6.8.7  Felder und Intensitäten bei senkrechtem Einfall

Da bei senkrechtem Einfall s- und p-Polarisation ununterscheidbar sind, können die Gleichungen am einfachsten aus Gleichung (6.40) abgeleitet werden. Aus dem Brechungsgesetz folgt, dass mit α = 0 auch γ = 0 ist. Setzen wir diese beiden Werte in Gleichung (6.40) ein, erhalten wir

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Die Intensitäten bei senkrechtem Einfall ist über

Ie = n1𝜀0c E2   Ir = n1𝜀0cE2   It = n2𝜀0cE2
        2   e           2   r          2   t
(6.58)

gegeben. Also haben wir (wir lassen die gleichen Faktoren in allen Intensitätsgleichungen weg)

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In beiden Fällen ist nur das Verhältnis der Brechungsindizes wichtig. Mit an = n2∕n1 erhalten wir

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Aus den beiden Gleichungen (6.60c) und (6.60d) ersieht man leicht, das die Summe aus transmittierter und reflektierter Intensität

         (       )
Ir  It     an-−-1- 2  --4an----   a2n-−-2an-+-1-+-4an-   a2n-+-2an-
Ie+ Ie =   an + 1   + (an + 1 )2 =       (an + 1 )2      =  (an + 1)2 = 1
(6.61)

ist. Wesentlich war dabei der Faktor n2∕n1 bei der Berechnung der transmittierten Intensität. Die folgende Abbildung 6.8.7 zeigt das Verhalten der refelktierten und transmittierten feldamplituden und Intensitäten als Funktion von an = n2∕n1.

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Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n2∕n1.

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Abbildung 6.8.7 zeigt die gleichen Kurven in logarithmischer Darstellung.

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Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n2∕n1, mit logarithmischer Abszisse.

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6.8.8  Evaneszente Wellen



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [?, pp. 193,196])


Versuch zur Vorlesung:
Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)


Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium (n1) in das schnellere n2 < n1 eintreten, es Winkel γ gibt ((n1∕n2) sin α = sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist dann in die z-Richtung rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch die z-Komponente des k-Vektor der elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikzz mit k z = z der exponentielle Dämpfungsfaktor eκzz, wobei κ z vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter in die z-Richtung bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

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Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.

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Intensitätsverteilung einer total reflektierten Welle und der dazugehörigen evaneszenten Welle.

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Wir suchen nun eine Beziehung zwischen dem Wellenvektor kt der transmittierten Welle und dem Welllenvektor ke der einfallenden Welle für den Fall, dass n1 sin(α) n2 ist, also dass dass Snelliussche Brechungsgesetz (6.17) keine reelle Lösung hat.

Aus der Definition der Brechzahl n in Gleichung (6.1) und der Gleichung (6.14) folgt mit λvac der Vakuumwellenlänge und c = 1√ -----
  𝜀0μ0 der Vakuumlichtgeschwindigkeit

           2-π      2π--     2πn-
k =  kek =  λ ek =  λvac-ek = λ   ek = nkvac
                     n        vac
(6.62)

Der Betrag der Tangentialkomponente ke,tangential des Wellenvektors der einfallenden Welle kann mit dem Einfallswinkel berechnet werden:

|k         | = |k  |sin(α ) = n k   sin (α )
  e,tangential      e           1 vac
(6.63)

Der Betrag des Wellenvektors der transmittierten Welle ist andererseits

         -----------------------
       ∘  2            2
|kt| =   kt,tangential + k t,senkrecht = n2kvac
(6.64)

Wir stellen Gleichung (6.64) um und isolieren kt,senkrecht2, und setzen dann Gleichungen (6.21) und (6.63) ein

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Im Falle der Totalreflexion ist n1 sin(α) n2 und damit n22 n 12 sin 2(α) 0. Damit erhalten wir für den Betrag von kt,senkrecht

                   ∘ ---------------
                       2   2       2
kt,senkrecht = ±ikvac  n 1sin  (α ) − n2 = iκt
(6.66)

Die physikalisch sinnvolle Lösung für einen unendlich ausgedehnten Halbraum mit dem Brechungsindex n2 ist die exponentiell abfallende Lösung

E (r,t) = Etei(kt,tangential·r −ωt)e− κtz
(6.67)

Die resultierende Welle im Medium 2 hat dann die zeitgemittelte Intensität

I(x,z) = I e−2κtz
          0
(6.68)

Wir erhalten also für die Intensität einen exponentiellen Abfall mit einer Abfalllänge

ℓ  =  -1--= λvac-∘------1---------
 0    2κt    4π    n2sin2(α) − n2
                    1           2
(6.69)

Wenn eine Welle mit der Vakuumwellenlänge λvac = 500 nm und dem Einfallswinkel α = 5π∕12 = 75° von einem Medium mit dem Brechungsindex n1 = 1.55 in Luft n2 = 1 übertritt, ist λ0 = 35.71 nm.



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