Eine allgemeine Funktion f(x), die genügend oft stetig differenzierbar ist, soll in der Nähe des Wertes x0 angenähert werden (Siehe auch die Ausführungen über Taylorreihen in C.4).
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Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.
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Abbildung C.6 zeigt, wie die Funktion cos(x) an der Stelle x0 = −π∕4 angenähert wird. Die Funktion und die ersten drei Ableitungen sind
In nullter Näherung würde man sagen, dass cos(x) = 1∕+O(1) ist in der Umgebung von x0 = −π∕4. Das Symbol O(1) bedeutet, dass Terme von x mit dem Exponenten grösser oder gleich 1 vernachlässigt wurden.
In erster oder linearer Näherung hätten wir cos(x) = 1∕−1∕(x−(−π∕4))+O(2) = 1∕+O(2). Hier sind Terme mit dem Exponenten 2 oder mehr vernachlässigt worden.
Die nächste Näherung, die 2., nimmt auch die quadratischen oder paraboloiden Anteile mit. Hier wäre cos(x) = 1∕−1∕(x−(−π∕4))−1∕(x−(−π∕4))2 +O(3) = 1∕ 2 + O(3).
Allgemein sind die verschiedenen Approximationen
Mit x = x0 + Δx lauten die Gleichungen
oder allgemein
| (C.4) |
Dabei ist j! = 1·2·…·j die Fakultät von j, Per Definition ist 0! = 1. Die nullte-Ableitung ist einfach die Funktion selber.
Als Beispiel betrachten wir cos(x) an der Stelle x0 = −π∕4. Wir haben
und
Diese Kurven werden in Abbildung C.6 gezeigt.
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Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.
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Abbildung C.6 zeigt die Approximation für x0 = −π∕2. Hier ist der Funktionswert wie auch die zweite Ableitung null, so dass eine lineare Approximation resultiert. Erst die dritte Ableitung ist wieder ungleich null.
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Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.
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Abbildung C.6 zeigt die Approximationen bei x0 = 0. Hier ist die erste und die dritte Ableitung null, so dass nur die zweite übrig bleibt.