©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

C.6  Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten

Eine allgemeine Funktion f(x), die genügend oft stetig differenzierbar ist, soll in der Nähe des Wertes x0 angenähert werden (Siehe auch die Ausführungen über Taylorreihen in C.4).

__________________________________________________________________________

pict

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

_____________________________________________________________________

Abbildung C.6 zeigt, wie die Funktion cos(x) an der Stelle x0 = π∕4 angenähert wird. Die Funktion und die ersten drei Ableitungen sind

pict

In nullter Näherung würde man sagen, dass cos(x) = 1√ --
  2+O(1) ist in der Umgebung von x0 = π∕4. Das Symbol O(1) bedeutet, dass Terme von x mit dem Exponenten grösser oder gleich 1 vernachlässigt wurden.

In erster oder linearer Näherung hätten wir cos(x) = 1√ --
  21√ --
  2(x(π∕4))+O(2) = 1√ --
  2(1 − (x + π∕4))+O(2). Hier sind Terme mit dem Exponenten 2 oder mehr vernachlässigt worden.

Die nächste Näherung, die 2., nimmt auch die quadratischen oder paraboloiden Anteile mit. Hier wäre cos(x) = 1√2--1√2--(x(π∕4))1√2-(x(π∕4))2 +O(3) = 1√ --
  2(1 − (x + π∕4 ) − (x + π∕4 )) 2 + O(3).

Allgemein sind die verschiedenen Approximationen

pict

Mit x = x0 + Δx lauten die Gleichungen

pict

oder allgemein

                    |
       ∑∞  1- djf(x)||            j
f(x) =     j!  dxj  ||    (x − x0)
       j=0           x=x0
(C.4)

Dabei ist j! = 1·2··j die Fakultät von j, Per Definition ist 0! = 1. Die nullte-Ableitung ist einfach die Funktion selber.

Als Beispiel betrachten wir cos(x) an der Stelle x0 = π∕4. Wir haben

pict

und

pict

Diese Kurven werden in Abbildung C.6 gezeigt.

__________________________________________________________________________

pict

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

_____________________________________________________________________

Abbildung C.6 zeigt die Approximation für x0 = π∕2. Hier ist der Funktionswert wie auch die zweite Ableitung null, so dass eine lineare Approximation resultiert. Erst die dritte Ableitung ist wieder ungleich null.

__________________________________________________________________________

pict

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

_____________________________________________________________________

Abbildung C.6 zeigt die Approximationen bei x0 = 0. Hier ist die erste und die dritte Ableitung null, so dass nur die zweite übrig bleibt.



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict  Lizenzinformationen