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2.3  Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz

Nach der Gleichung (2.4) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche A durch

     ∭
Q  =       ρel(r )dV

      V(A )
(2.1)

ausgedrückt werden.

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Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im Zentrum

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Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung Q. Wir definieren den Normalenvektor am Ort r als n = r|r| = r∕r. Das Oberflächenelement da ist da = r2 sin ΘdΘ.

Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist

        -Q----r--
E (r ) = 4π𝜀    3
           0 |r |
(2.2)

Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz

      ∫                       ∫      (              )
            E ·nda    =                ---Q-----· r-- · -r-r2sinΘd Θd φ
                                       4π 𝜀0|r|2   |r|    |r|
Kugeloberfläche             Kugelob∫erfläche           (        )
                                      --Qr2----   -r-  r--
                      =               4π𝜀0|r|2·   |r|· |r | sinΘd Θd φ
                         Kugeloberfläche
                          -Q---     ∫
                      =   4π𝜀              sin Θd Θd φ
                             0 Kugeloberfläche
                          Q
                      =   --                                       (2.3)
                          𝜀0

Die Grösse Φ = OberflächeE·da ist der Fluss des Vektorfeldes E oder der Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung

D  (r) = 𝜀0E (r )
(2.4)

einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist [D] = C/m2 = As/m2.

Weiter ist

     ∫                    ∫

            D ·da  =             D ·nda   = Q
Kugeloberfläche          Kugeloberfläche
(2.5)

Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen S, die das Volumen V (S) einschliesst.

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Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.

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∬                      ∬
    D  (r )·da (r)  =       D (r)·n  (r)da(r)  (2.6)
 A                      A

                   =   Q∭in A

                   =        ρel(r)dV
                       V(A)

Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1)) kann die Gleichung umgeschrieben werden in

∬                  ∭                    ∭

    D (r)·da (r ) =      div D (r)dV  =       ρel(r)dV
A                   V(A)                V (A )
(2.7)

Diese Gleichung muss für alle Oberflächen S gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein

div D (r) = ρel(r)
(2.8)

Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.

Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.8): div D(r) = 0. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld v(r) gilt nämlich div v(r) = 0.

2.3.1  Dipole in elektrischen Feldern

Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung q im Abstand ℓ von einer positiven Ladung q heisst Dipol mit dem Dipolmoment

p = qℓ
(2.9)

Die Einheit des Dipolmoments ist [p] = Cm. Der Vektor des Dipols zeigt von q nach +q.

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Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld.

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Im homogenen elektrostatischen Feld E wirkt auf die positive Ladung die Kraft F und auf die negative Ladung F. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment

T  = ℓ × F  = (qℓ) × (F ∕q ) = p × E
(2.10)



Versuch zur Vorlesung:
Drehmoment auf einen elektrischen Dipol (Versuchskarte ES-30)




Folien zur Vorlesung vom 27. 04. 2009: PDF




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