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D.2  Unbestimmte Integrale

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 445])

___________________________________________________________________________

Funktion Integral Funktion Integral






xn xndx = xn+1
n+1 n 1 1
x dx
 x = ln |x|
sin(x) sin(x)dx = cos(x) cos(x) cos(x)dx = sin(x)
tan(x) tan(x)dx = ln | cos(x)| cot(x) cot(x)dx = ln | sin(x)|
  1
cos2(x)  dx
cos2(x)- = tan(x)   1
sin2(x)   dx
sin2(x) = cot(x)
  1
a2+x2   dx
a2+x2 = 1
a arctan x
a ex exdx = ex
ax axdx = ax-
lna ln x ln xdx = x ln x x
sinh x sinh xdx = cosh x cosh x cosh xdx = sinh x
tanh x tanh xdx = ln | cosh x| coth x coth xdx = ln | sinh x|
--1---
cosh2x --dx---
cosh2x = tanh x --1--
sinh2x --dx--
sinh2x = coth x
√--1---
  a2− x2 √-dx---
 a2−x2 = arcsin x
a
Unbestimmte Integrale

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D.2.1  Bestimmte Integrale und Integrale mit variabler oberer Grenze

Wenn für eine Funktion f(x) die Stammfunktion

        ∫
 ˜
F (x) =   f (x)dx + C
(D.1)

ist, haben bestimmte Integrale der Funktion f(x) die Form

      ∫b                b
Fa,b =   f(x)dx =  F(x )|a = F (b) − F (a)
       a
(D.2)

Der Name der Variablen im bestimmten Integral sind irrelevant

      ∫b           ∫b         ∫b                 b
Fa,b =   f(x)dx =    f(ζ)dζ =    f(Ξ)dΞ  = F (Ξ)|a = F(b)− F (a)
       a           a          a
(D.3)

Wir können nun die obere Grenze variabel machen. Wichtig ist, dass die Variable im Integral eine andere Variable ist wie in der Grenze

∫x
                 x
  f (ζ)dζ = F (ζ)|a =  F(x) − F (a)
a
(D.4)

Wenn F(x) nach x abgeleitet wird, erhält man wieder f(x).

   ∫x
d--  f(ζ)dζ =  d--(F(x ) − F (a)) = dF-(x) = f (x )
dx a           dx                    dx
(D.5)

Wenn die Variable x die untere Grenze ist und die obere Grenze fest ist, b, dann gilt

∫b
                  b
   f(ξ)dξ = F (ξ)|x = F(b) − F (x )
x
(D.6)

und

 d ∫b           d                    dF (x)
---  f (ζ )dζ = ---(F (b) − F (x)) = −------ = − f(x)
dx x           dx                      dx
(D.7)

Ist die obere Grenze eine Funktion g(x), gilt

    g
 d ∫              d                        dF (g(x))          dg (x)
dx-  (x)f(ζ)dζ =  dx-(F (g (x )) − F (a)) = −---dx----=  f(g(x))--dx--
   a
(D.8)

Dies ist nichts anderes als die Kettenregel der Differentiation (Siehe Tabelle C.2).



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