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2.4  Elektrische Felder von Leitern

(Siehe Tipler, Physik [?, pp. 645])



Versuch zur Vorlesung:
Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4)


Die elektrischen Felder

werden im Anhang berechnet.



Versuch zur Vorlesung:
Faraday-Becher (Versuchskarte ES-9)




Versuch zur Vorlesung:
Faraday-Käfig (Versuchskarte ES-21)




Versuch zur Vorlesung:
Van-de-Graaff-Generator (Versuchskarte ES-19)


Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.

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Berechnung eines Feldes einer Kugelschale

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Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius r > R ist

       ∬
Qges =     𝜀0Erda  = 𝜀0Er4 πr2
(2.1)

Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche Q ist, haben wir

Q
-- = Er4 πr2
𝜀0
(2.2)

Damit ist für r > R

          1   Q
Er (r) = -------
         4π𝜀0 r2
(2.3)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für r < R ist die eingeschlossene Ladung Q = 0. Damit ist auch Φges = Er4πr2 = 0 und folglich für r < R

Er = 0
(2.4)

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Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale.

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Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für r > R ist wie oben Φges = Er4πr2 = Q∕𝜀 0. Also ist für r > R

E  (r) = -1---Q-
  r      4π𝜀0 r2
(2.5)

Wenn die Ladungsdichte ρel = Q∕V = Q∕(4π3R3) ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit r < R umschlossene Ladung Q= ρelV (r) = ρel4π-
3r3

         Q   4π  3     r3
Q (r) = 4πR3--3-r  = Q R3-
         3
(2.6)

Weiter haben wir Er4π𝜀0r2 = Q. Also ist für r < R

          1  Qr
Er(r) = -------3
        4π 𝜀0R
(2.7)

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Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel

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Integrationsfläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Ebene

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Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.

Wenn σ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist

           ∬
σA--
𝜀   = Φ =      Enda  = 2AEn
 0
(2.8)

da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.

Also ist

      -σ--
Er  = 2𝜀
        0
(2.9)

homogen im Raum.

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Elektrisches Feld um eine endliche Platte.

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Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung . Wir können drei Fälle unterscheiden:

r «
Das elektrische Feld ist von dem einer unendlich ausgedehnten ebenen leitfähigen Platte nicht unterscheidbar.
r
Das elektrische Feld befindet sich in einem Zwischenzustand.
R »
Das elektrische Feld ist von dem einer Punktladung im Kugelmittelpunkt nicht unterscheidbar.

Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring [?] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von Et = 30⋅⋅⋅300 J/m2 haben. Die Definition von Et ist

     vs ∫           vsFΔt
Et = --   F (t)dt ≈  -------
     A                A

wobei vs = 0.01 m/s die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und A die Kontaktfläche ist. Δt = 0.1 s ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte σ ist E = σ∕𝜀0. Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte σ ist dann F∕A = σ2∕𝜀 0. Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir

F    σ2     Et
-- = --- = -----
A     𝜀0   vsΔt

und daraus die Flächenladungsdichte

           ∘ ------
     e--     𝜀0Et-
σ =  d2 =    vsΔt

Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen e im Abstand d angebracht sind. d ist dann

     ┌ -∘-------
     ││     vsΔt
d =  ∘ e   -----
           𝜀0Et

Wenn wir Et einsetzen erhalten wir d 10 nm18 nm. Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.

Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird E = σ∕𝜀0.

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Elektrisches Feld entgegengesetzt gleich geladener Platten.

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Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum E = σ∕𝜀0.

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Elektrisches Feld gleich geladener Platten

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Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.

Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.

Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.

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Integrationsfläche

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Der gesamte Fluss ist

       ∬
                    Q-
Φges =     Enda  =  𝜀0
(2.10)

da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir

∬                  ∮                   1
     Enda =  En          da =  EnA  = --A σ
               obere Fläche            𝜀0
(2.11)

und

      σ
En =  --
      𝜀0
(2.12)

Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:

  • Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche.
  • Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse Er = σ∕𝜀0

2.4.1  Influenz und Bildladung

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Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden.

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Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ(r), die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter innen eine Bildladung q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet.

Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem Leiter mit der Kraft

           1   q2
F (a) = − ---------
          4π𝜀0 4a2
(2.13)

angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (z-Komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche

               2       qa
Ez (r,a) = − 4π-𝜀---2----2-3∕2-
                 0(r  + a )
(2.14)

Damit ist die Oberflächenladungsdichte

          1      qa
σ (r ) = −------------3∕2
         2 π(r2 + a2)
(2.15)

Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden5 .



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