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J.1  In der Nähe eines Leiterstückes

Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = sei die Ladung Q homogen verteilt. Zu berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ,0,0) auf der x-Achse!

Die Linienladungsdichte ist

λ = Q-
     ℓ

Das elektrische Feld bei P ist

dE  (x,ξ) = --1--λ(x-−-ξ)-dξ-
   x        4π𝜖0   |x − ξ|3

Wir integrieren über die Länge des Drahtes

                              (
                              || ∫ ℓ
                              ||||    ---dξ--- ,               für x > ℓ oder x < 0;
         ∫ℓ              λ    |{    (x − ξ)2
Ex (ξ) =   dEx (x,ξ) = -----· | ∫0x            ∫ℓ
         0             4π 𝜖0  ||||    ---dξ---     ---dξ---
                              ||(    (x − ξ)2 −   (x − ξ)2 ,  für 0 < x <  ℓ.
                                 0            x

Die Lösung dieser Gleichung ist

                      (
                      |||  -----λℓ------,  für x > ℓ oder x < 0;
                      ||{  4π𝜀0x(x − ℓ)
Ex (x ) = -----λ-------
         4π𝜀0x(x − ℓ) ||||   λ (2x − ℓ)
                      |(  -------------,  für 0 < x <  ℓ.
                         4π𝜀0x(x − ℓ)

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pict

Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.

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Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge . Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von -ℓ
2 bis -ℓ
2 reicht. Aus Symmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. Wir betrachten also die Komponente entlang y. Am Punkt  P = (0,y,0) ist

dE  (y) = --1-----λdx----y
  y       4π𝜀0 (x2 + y2)32

Ebenso ist

          ℓ                           -ℓ
         ∫2  λ       y            λy ∫2     dx
Ey (y) =    --------------3dx =  -----  ---------3-
        − ℓ 4π𝜀0 (x2 + y2 )2     4π𝜀0− ℓ (x2 + y2)2
          2                           2

Nach Bronstein[?] ist

∫
   dx--= ---x√----
   X 32   a2   X

mit X = x2 + a2. Daraus folgt

                 (            )||ℓ2
Ey (y ) =    λy--- ---√-x-------||
            4π𝜀0  y2   x2 + y2 |− ℓ
                 (                2       )
           --λ---( -----ℓ-----   ----ℓ----)
       =   4π 𝜀0y    ∘ ℓ2----2 +  ∘ ℓ2----
                   2   4 + y     2   4 + y
           --λℓ------1-----
       =   4π 𝜀 y ∘ -2---ℓ2-
               0    y +  4
             Q       1
       =   -------∘------ℓ2-
           4π 𝜀0y   y2 + 4-
Für y » bekommt man
      --1--λℓ-   --Q----
Ey  = 4π 𝜀 y2 =  4π𝜀 y2
          0         0

Für y «−bekommt man

         1  λℓ        Q
Ey = − ------2-=  − -----2-
       4π 𝜀0y       4π𝜀0y

Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt

y «  ℓ

Dann ist

Ey ≈ --λℓ-- ∘1---= ---λ----=  ---Q-----
     4 π𝜀0y   ℓ2   2π 𝜀0|y|   2π𝜀0ℓ |y|
              4

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pict

Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.

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