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J.1  In der Nähe eines Leiterstückes

Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ℓ sei die Ladung Q homogen verteilt. Zu berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ,0,0) auf der x-Achse!

Die Linienladungsdichte ist

λ = Q- ℓ

Das elektrische Feld bei P ist

dE (x,ξ) = --1--λ(x-−-ξ)-dξ- x 4π𝜖0 |x − ξ|3

Wir integrieren über die Länge des Drahtes

( || ∫ ℓ |||| ---dξ--- , für x > ℓ oder x < 0; ∫ℓ λ |{ (x − ξ)2 Ex (ξ) = dEx (x,ξ) = -----· | ∫0x ∫ℓ 0 4π 𝜖0 |||| ---dξ--- ---dξ--- ||( (x − ξ)2 − (x − ξ)2 , für 0 < x < ℓ. 0 x

Die Lösung dieser Gleichung ist

( ||| -----λℓ------, für x > ℓ oder x < 0; ||{ 4π𝜀0x(x − ℓ) Ex (x ) = -----λ------- 4π𝜀0x(x − ℓ) |||| λ (2x − ℓ) |( -------------, für 0 < x < ℓ. 4π𝜀0x(x − ℓ)

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Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.

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Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge ℓ. Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von -ℓ 2 bis -ℓ 2 reicht. Aus Symmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. Wir betrachten also die Komponente entlang y. Am Punkt  P = (0,y,0) ist

dE (y) = --1-----λdx----y y 4π𝜀0 (x2 + y2)32

Ebenso ist

ℓ -ℓ ∫2 λ y λy ∫2 dx Ey (y) = --------------3dx = ----- ---------3- − ℓ 4π𝜀0 (x2 + y2 )2 4π𝜀0− ℓ (x2 + y2)2 2 2

Nach Bronstein[BSMM08] ist

∫ dx--= ---x√---- X 32 a2 X

mit X = x2 + a2. Daraus folgt

( )||ℓ2 Ey (y ) = λy--- ---√-x-------|| 4π𝜀0 y2 x2 + y2 |− ℓ ( 2 ) --λ---( -----ℓ----- ----ℓ----) = 4π 𝜀0y ∘ ℓ2----2 + ∘ ℓ2---- 2 4 + y 2 4 + y --λℓ------1----- = 4π 𝜀 y ∘ -2---ℓ2- 0 y + 4 Q 1 = -------∘------ℓ2- 4π 𝜀0y y2 + 4-
Für y » ℓ bekommt man
--1--λℓ- --Q---- Ey = 4π 𝜀 y2 = 4π𝜀 y2 0 0

Für y «−ℓ bekommt man

1 λℓ Q Ey = − ------2-= − -----2- 4π 𝜀0y 4π𝜀0y

Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt

y « ℓ

Dann ist

Ey ≈ --λℓ-- ∘1---= ---λ----= ---Q----- 4 π𝜀0y ℓ2 2π 𝜀0|y| 2π𝜀0ℓ |y| 4

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Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.

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