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2.5  Elektrostatisches Potential



Folien zur Vorlesung vom 30. 04. 2009: PDF
Aufgabenblatt 03 für das Seminar vom 06. 05. 2009 (Ausgabedatum 30. 04. 2009): (HTML oder PDF)


(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [?, pp. 192]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 681])

Die Arbeit ist durch

                r2
                ∫
W  (r1 →  r2) =   F (r) ·dr
               r1
(2.1)

definiert.

Die potentielle Energie eines Kraftfeldes F(x) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist Fext = F. Also

                         ∫x2
Epot(x2)  =   Epot(x1) +   F ext(x) ·dx                    (2.2)
                         x1
                         ∫x2
          =   E   (x ) −   F  (x)dx  = E   (x  ) − W (x  → (x2.3))
                pot   1                   pot   1         1    2
                         x1

Eine potentielle Energie existiert, wenn

Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist

                      r∫2
E   (r ) = E   (r ) −   --1--qQ- r·dr
 pot  2      pot  1      4 π𝜀0 r2 r
                      r1
(2.4)

__________________________________________________________________________

pict

Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist E·ds = 0, entlang der radialen Teile ist E·ds = E(r)ds.

_____________________________________________________________________

Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit r = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen.

                               r2
                         -qQ--∫ dr-
Epot(r2)  =   Epot(r1) − 4π𝜀     r2                           (2.5)
                            0 r1
                         qQ---(  1)r2              -qQ--( 1-   -1)
          =   Epot(r1) − 4π𝜀   − r    = Epot (r1) + 4 π𝜀  r  − r
                            0       r1                 0   2    1

Üblicherweise setzt man Epot(r = ∞ ) = 0. Damit wird

           qQ    1
Epot(r) = -----· --
          4π 𝜀0  r
(2.6)

Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten

F  (r) = − grad Epot (r )
(2.7)

berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir

                   (       )                             (    )
F (r)  =   − grad   -qQ--1-  = − -qQ--grad  1-= − -qQ--·  − -1  grad  r
                    4π 𝜀0r       4π𝜀0       r     4π𝜀0      r2
            qQ  r
       =   ------3                                                 (2.8)
           4π𝜀0 r

In Komponenten ist r = √x2--+-y2-+-z2 und grad  = ∇ = (-∂  ∂- ∂-)
 ∂x ,∂y,∂z

Also

      (  )      (  ∂- )
        1-      |  ∂∂x | -------1-------
grad    r   =   (  ∂∂y ) √ x2 + y2 + z2
                   ∂z
                                   (  ∂- )
                  1-------1--------|  ∂∂x | ( 2    2    2)
            =   − 2   2    2   2 32 (  ∂y )  x  + y  + z
                    (x  + y  + z )     ∂∂z
                                   (  2x )
                  1-------1--------|     |
            =   − 2   2    2   2 32 (  2y )
                    (x  + y  + z )     2z
                  1
            =   − -3·r                               (2.9)
                  r

Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt.

         -Q---r-
E (r ) = 4π𝜀0 r3
(2.10)

Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1 ist das elektrische Potential φ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar.

φ (r) = U (r) = --Q--1-=  Epot(r)-
                4π 𝜀0r       q
(2.11)

Wichtig ist die Beziehung

Epot (r ) = qφ (r) = qU (r )
(2.12)

Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit

E =  − grad φ =  − grad U
(2.13)

berechnet.

Folgende Relationen gelten

                            lim∕q
                           q→0
        F (r )              −→               E (r)
                            ← −
                            ·q
  ∫                                     ∫
−   F dr       ↑                      −   Edr       ↑
   ↓      − grad  Epot                   ↓      − grad  φ
                            lim∕q
                           q→0
       Epot(r )             −→           φ (r) = U (r)
                            ← −
                            ·q
(2.14)

Wir merken uns

                  r∫2
U (r2) = U (r1) −   E (r )·dr
                  r1
(2.15)

analog zur potentiellen Energie.

Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist

1Volt =  1--Joule-- = 1-J- = 1 W--
          Coulomb      As      A

Bem.: Beim elektrischen Feld ist der Feldvektor E, bei der Gravitation g

Das Gravitationspotential ist Ugrav(r) = Gm-
r.

Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen qi an den Orten ri ist also

        ∑N               N∑
U (r) =    U (ri) = -1---   ---qi---
        i=0         4π𝜀0 i=0 |r − ri|
(2.16)

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρel(r) ist das Potential

          1  ∭      ρ (r )         1  ∭      dq(r )
U (r) = -----      --el--i-dV =  -----      -----i--
        4 π𝜀0      |r − ri|      4π 𝜀0      |r − ri|
(2.17)



Versuch zur Vorlesung:
Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-8)


Eine homogen mit der Flächenladungsdichte σ geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld E = σ∕(2𝜀0). Das elektrostatische Potential eines Punktes P im Abstand x > 0 von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des Lots vom Punkt P auf die Ebene integrieren.

              ∫x               σ  ∫x             σ
U (x) = U(0)−   Ed ξ = U (0)− ----  dξ = U (0)− ---x     fürx > 0
              0               2𝜀0 0             2𝜀0
(2.18)

Für x < 0 berechnet man

               (     )
                  -σ--             -σ--
U(x) = U (0) −  − 2𝜀0  x =  U(0) + 2𝜀0x     fürx < 0
(2.19)

__________________________________________________________________________

pict

Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U0 = 2 und σ = 2𝜀0.

_____________________________________________________________________

Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden, dass

           1  1
dU (x) = -------dq
         4π 𝜀0r

ist, mit

∫2π

   dq = Q
0

Wir erhalten

             2∫π           ∫2π
        --1--  dq-   --1--   ---dq-----   --1------Q-----
U (x) = 4π𝜀0    r  = 4π 𝜀0   √x2--+-R2-=  4π𝜀0 √x2--+-R2-
             0            0
(2.20)

__________________________________________________________________________

pict

Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine positive Ladung Q = 4π𝜀0 und dem Radius R = 2.

_____________________________________________________________________

Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius R entlang ihrer Symmetrieachse x berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe sei σ = Q∕(πR2). Ein Kreisring mit dem Radius a trägt die Ladung dq = 2πaσda und erzeugt dann das Potential

            -1---√--dq-----
dU (a,x) =  4π𝜀0   x2 + a2
(2.21)

Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir

              R                  R
        --1--∫ -2-πaσda--   -σ--∫ ---ada----
U (x) = 4π𝜀     √ -2----2-= 2𝜀     √ -2----2-
           0 0    x +  a      0 0    x +  a
(2.22)

Dieses Integral ergibt nach Bronstein[?, Seite 309, Nr. 193]

         σ  √ -2----2||R    σ  (√ --2----2    )
U (x ) = 2𝜀--  x  + a |0 = 2𝜀--   x  + R  −  x
          0                 0
(2.23)

Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für x →∞ wie das Potential einer Punktladung, da

            (  ∘ -------    )       (       2    )         2
        -σ--(        R2-    )    -σ--     R--         -σ-R--
U (x) = 2𝜀0  x   1 + x2 −  x  ≈  2𝜀0  x + 2x  − x  =  4𝜀0 x

Für den anderen Grenzfall berechnen wir die Taylorreihe um 0 bis zum ersten Glied.

pict

Die beiden Grenzfälle zeigen, dass sich die geladene Kreisplatte für x » R wie eine Punktladung und für x « R wie eine unendlich ausgedehnte Platte verhält.

__________________________________________________________________________

pict

Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit R = 2 und σ = 2𝜀0.

_____________________________________________________________________

Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld berechnet. Das radiale elektrische Feld ist Er(r) = -1--
4π𝜀0Q-
r2. Damit ist das Potential

                    r
                   ∫  -1---Q-
U (r)  =   U(∞ ) −    4π𝜀  r2dr
                   ∞     0
                     Q  ∫r dr
       =   U(∞ ) − -----   -2-
                   4π 𝜀0∞  r
                     Q   (  1) ||r
       =   U(∞ ) − -----  − -- ||
                   4π 𝜀0    r  ∞
       =   U(∞ ) + --Q--1-             (2.24)
                   4π 𝜀0r

Oder mit U() = 0

          Q  1
U (r) = -------    fürr > R
        4π 𝜀0r
(2.25)

Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant.

         Q   1
U (r) = -------    fürr < R
        4π𝜀0 R
(2.26)

__________________________________________________________________________

pict

Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit R = 1 und Q = 8π𝜀0.

_____________________________________________________________________

Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte λ. Das radiale elektrische Feld ist E = λ∕(2π𝜀0x). Das Potential ist dann

                 r                         (   )
                ∫ -λdx--            -λ---   -r
U (r) = U (r0) −  2π 𝜀 x = U (r0) − 2π𝜀  ln  r
               r0     0                0     0
(2.27)

Wir setzen U(r0) = 0 und erhalten

                 (   )
U (r) = − -λ---ln  -r
          2π𝜀0    r0
(2.28)

__________________________________________________________________________

pict

Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten homogenen Linienladung mit r0 = 1 und λ = 2π𝜀0.

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