Elektrostatisches Potential

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2.5 Elektrostatisches Potential


	Folien zur Vorlesung vom 30. 04. 2009: PDF
	Aufgabenblatt 03 für das Seminar vom 06. 05. 2009 (Ausgabedatum 30. 04. 2009): (HTML oder PDF)

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 192]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 681])

Die Arbeit ist durch

r2 ∫ W (r1 → r2) = F (r) ·dr r1

(2.1)

deﬁniert.

Die potentielle Energie eines Kraftfeldes (x) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist _ext = −. Also

∫x2 Epot(x2) = Epot(x1) + F ext(x) ·dx (2.2) x1 ∫x2 = E (x ) − F (x)dx = E (x ) − W (x → (x2.3)) pot 1 pot 1 1 2 x1

Eine potentielle Energie existiert, wenn

Die Arbeit W unabhängig vom Weg ist.
Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist (Die Bahn darf keine Singularitäten des Feldes umschliessen).
rot = 0 für alle

Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist

r∫2 E (r ) = E (r ) − --1--qQ- r·dr pot 2 pot 1 4 π𝜀0 r2 r r1

(2.4)

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pict

Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist∫ ·d = 0, entlang der radialen Teile ist∫ ·d = ∫ E(r)ds.

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Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelﬂächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen.

r2 -qQ--∫ dr- Epot(r2) = Epot(r1) − 4π𝜀 r2 (2.5) 0 r1 qQ---( 1)r2 -qQ--( 1- -1) = Epot(r1) − 4π𝜀 − r = Epot (r1) + 4 π𝜀 r − r 0 r1 0 2 1

Üblicherweise setzt man E_pot (r = ∞ ) = 0. Damit wird

qQ 1 Epot(r) = -----· -- 4π 𝜀0 r

(2.6)

Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten

F (r) = − grad Epot (r )

(2.7)

berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir

( ) ( ) F (r) = − grad -qQ--1- = − -qQ--grad 1-= − -qQ--· − -1 grad r 4π 𝜀0r 4π𝜀0 r 4π𝜀0 r2 qQ r = ------3 (2.8) 4π𝜀0 r

In Komponenten ist r = √x2--+-y2-+-z2 und grad = = (-∂ ∂- ∂-)
∂x ,∂y,∂z

Also

( ) ( ∂- ) 1- | ∂∂x | -------1------- grad r = ( ∂∂y ) √ x2 + y2 + z2 ∂z ( ∂- ) 1-------1--------| ∂∂x | ( 2 2 2) = − 2 2 2 2 32 ( ∂y ) x + y + z (x + y + z ) ∂∂z ( 2x ) 1-------1--------| | = − 2 2 2 2 32 ( 2y ) (x + y + z ) 2z 1 = − -3·r (2.9) r

Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt.

-Q---r- E (r ) = 4π𝜀0 r3

(2.10)

Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1 ist das elektrische Potential φ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriﬀe elektrisches Potential und Spannung austauschbar.

--Q--1- Epot(r)- φ (r) = U (r) = 4π 𝜀0r = q

(2.11)

Wichtig ist die Beziehung

Epot (r ) = qφ (r) = qU (r )

(2.12)

Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit

E = − grad φ = − grad U

(2.13)

berechnet.

Folgende Relationen gelten

lim∕q q→0 F (r ) −→ E (r) ← − ·q ∫ ∫ − F dr ↑ − Edr ↑ ↓ − grad Epot ↓ − grad φ lim∕q q→0 Epot(r ) −→ φ (r) = U (r) ← − ·q

(2.14)

Wir merken uns

r∫2 U (r2) = U (r1) − E (r )·dr r1

(2.15)

analog zur potentiellen Energie.

Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist

1Volt = 1--Joule-- = 1-J- = 1 W-- Coulomb As A

Bem.: Beim elektrischen Feld ist der Feldvektor , bei der Gravitation

Das Gravitationspotential ist U_grav (r) = −G m-
r .

Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen q_i an den Orten _i ist also

∑N N∑ U (r) = U (ri) = -1--- ---qi--- i=0 4π𝜀0 i=0 |r − ri|

(2.16)

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρ_el() ist das Potential

1 ∭ ρ (r ) 1 ∭ dq (r) U(r ) = ----- --el--i-dV = ----- -----i-- 4π𝜀0 |r − ri| 4π 𝜀0 |r − ri|

(2.17)


	Versuch zur Vorlesung:
	Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-8)

Eine homogen mit der Flächenladungsdichte σ geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld E = σ∕(2𝜀₀). Das elektrostatische Potential eines Punktes P im Abstand x > 0 von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des Lots vom Punkt P auf die Ebene integrieren.

∫x σ ∫x σ U (x) = U(0)− Ed ξ = U (0)− ---- dξ = U (0)− ---x fürx > 0 0 2𝜀0 0 2𝜀0

(2.18)

Für x < 0 berechnet man

( ) -σ-- -σ-- U(x) = U (0) − − 2𝜀0 x = U(0) + 2𝜀0x fürx < 0

(2.19)

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pict

Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U₀ = 2 und σ = 2𝜀₀.

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Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden, dass

1 1 dU (x) = -------dq 4π 𝜀0r

ist, mit

∫2π dq = Q 0

Wir erhalten

2∫π ∫2π --1-- dq- --1-- ---dq----- --1------Q----- U (x) = 4π𝜀0 r = 4π 𝜀0 √x2--+-R2-= 4π𝜀0 √x2--+-R2- 0 0

(2.20)

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pict

Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine positive Ladung Q = 4π𝜀₀ und dem Radius R = 2.

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Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius R entlang ihrer Symmetrieachse x berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe sei σ = Q∕(πR²). Ein Kreisring mit dem Radius a trägt die Ladung dq = 2πaσda und erzeugt dann das Potential

-1---√--dq----- dU (a,x) = 4π𝜀0 x2 + a2

(2.21)

Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir

R R --1--∫ -2-πaσda-- -σ--∫ ---ada---- U (x) = 4π𝜀 √ -2----2-= 2𝜀 √ -2----2- 0 0 x + a 0 0 x + a

(2.22)

Dieses Integral ergibt nach Bronstein[BSMM08, Seite 309, Nr. 193]

σ √ -2----2||R σ (√ --2----2 ) U (x ) = 2𝜀-- x + a |0 = 2𝜀-- x + R − x 0 0

(2.23)

Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für x →∞ wie das Potential einer Punktladung, da

( ∘ ------- ) ( 2 ) 2 -σ--( R2- ) -σ-- R-- -σ-R-- U (x) = 2𝜀0 x 1 + x2 − x ≈ 2𝜀0 x + 2x − x = 4𝜀0 x

Für den anderen Grenzfall berechnen wir die Taylorreihe um 0 bis zum ersten Glied.

Die beiden Grenzfälle zeigen, dass sich die geladene Kreisplatte für x » R wie eine Punktladung und für x « R wie eine unendlich ausgedehnte Platte verhält.

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pict

Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit R = 2 und σ = 2𝜀₀.

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Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld berechnet. Das radiale elektrische Feld ist E_r(r) = -1--
4π𝜀0 Q-
r2 . Damit ist das Potential

r ∫ -1---Q- U (r) = U(∞ ) − 4π𝜀 r2dr ∞ 0 Q ∫r dr = U(∞ ) − ----- -2- 4π 𝜀0∞ r Q ( 1) ||r = U(∞ ) − ----- − -- || 4π 𝜀0 r ∞ = U(∞ ) + --Q--1- (2.24) 4π 𝜀0r

Oder mit U(∞) = 0

Q 1 U (r) = ------- fürr > R 4π 𝜀0r

(2.25)

Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant.

Q 1 U (r) = ------- fürr < R 4π𝜀0 R

(2.26)

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pict

Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit R = 1 und Q = 8π𝜀₀.

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Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte λ. Das radiale elektrische Feld ist E = λ∕(2π𝜀₀x). Das Potential ist dann