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2.6  Poisson-Gleichung

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [?, pp. 197]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 703])

Wir hatten in Gleichung (2.8) gesehen, dass

div D (r) = ρel(r)
(2.1)

ist.

Gleichung (2.13) besagt, dass

E (r) = − grad φ (r)
(2.2)

ist. Mit der im Vakuum geltenden Beziehung D = 𝜀0E erhalten wir die Poisson-Gleichung.

− 𝜀0div grad φ (r) = ρel(r) = − 𝜀0Δ φ (r)
(2.3)

oder

            ρel(r)
Δ φ (r) = − ------
              𝜀0
(2.4)

Dabei haben wir den Laplace-Operator Δ = div grad  = ∇·∇ verwendet. In Komponentenschreibweise in einem kartesischen Koordinatensystem ist dies

(          )   (          )      2     2      2
  -∂  ∂- ∂-  ·   -∂  ∂- ∂-  =  ∂---+  ∂---+ -∂--
  ∂x  ∂y  ∂z      ∂x  ∂y  ∂z      ∂x2    ∂y2   ∂z2
(2.5)

Die Poissongleichung ermöglicht eine Berechnung der Potentiale ausgehend von Ladungsverteilungen.

Bemerkung:

Im allgemeinen Falle bei beliebigen Materialien lautet die Beziehung zwischen der dielektrischen Verschiebung D und dem elektrischen Feld E

D (r) = 𝜀𝜀0E (r)
(2.6)

Dabei ist die relative Dielektrizitätszahl 𝜀 im einfachsten Falle eine Zahl und im allgemeinen Falle ein Tensor zweiter Stufe. Die allgemeine Poissongleichung (Gleichung (2.4)) wird dann wie folgt geschrieben

div  (𝜀𝜀0grad  φ (r )) = − ρel = ∇ · (𝜀𝜀0∇ φ (r))
(2.7)

Beispiel: Ebene

Bei einer geladenen Ebene ist ρel(x, y,z) = δ(z) σ(x, y) = δ(z) σ0 mit σ(x,y) = σ0. Die Poissongleichung wird, wegen der Translationssymmetrie in x und y zu

         2
ΔU  =  ∂--U  = − σ0δ-(z)
       ∂z2         𝜀0
(2.8)

Daraus folgt, dass ∂U-
∂z = const 0 für z 0.

Bei z = 0 haben wir einen Sprung der Grösse σ0
𝜀0 der symmetrisch von +-σ0
2𝜀0 bis -σ0
2𝜀0 reichen muss. Nochmals integrieren ergibt

        {  U +  σ0-z    für    z <  0
U (z) =     0   2σ𝜀00
           U0 − 2𝜀0z    für    z >  0
(2.9)

U0 ist eine frei wählbare Integrationskonstante.

Das Innere eines Leiters ist ein Äquipotentialraum, da in einem Leiter Ladungen sich frei bewegen können. Da Feldlinien dE senkrecht zu einer Metalloberfläche, die immer eine Äquipotentialfläche ist, stehen kann man schliessen (und mathematisch beweisen), dass Feldlinien senkrecht auf Äquipotentialflächen stehen.

An Luft kann man nicht beliebige Potentialunterschied aufrechterhalten. Die möglichen Potentialdifferenzen werden durch Funkenüberschläge begrenzt. Für Luft unter Normalbedingungen muss

E <  3·106 V/m
(2.10)

sein.



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