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2.7  Kapazität: eine geometrische Eigenschaft



Folien zur Vorlesung vom 04. 05. 2009: PDF


(Siehe Tipler, Physik [?, pp. 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [?, pp. 202])



Versuch zur Vorlesung:
Kapazität von Kugeln (Versuchskarte ES-27)


Wir wollen das folgende Problem lösen:

Wir wissen:

Im Inneren der Leiter ist U = const und ρel = 0

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Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum.

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Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden

∬
              qeingeschlossen-
     E ·da  =      𝜀0
 a
(2.1)

Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist

𝜀0E ⊥ = σ
(2.2)

Bei einer genügend grossen ebenen Fläche A ist die Ladung dann

     ∫        ∫
Q  =   σda =    𝜀0E ⊥da ≈  𝜀0E ⊥A

     A        A
(2.3)

A repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[?, 48]. Wenn wir die Leiter 1, 2,n betrachten, ist

          Qj −  Qi
Uj − Ui = ---C---- = Uji = φji
              ji
(2.4)

mit Uj dem Potential auf dem Leiter j und Ui dem Potential auf dem Leiter i. Cji ist die Kapazität zwischen den Leitern i und j.

Da die Nummerierung in der Gleichung (2.4) willkürlich ist, muss Cij = Cji gelten.

Die Einheit der Kapazität ist

1Farad = 1 F =  1 C/V  = 1 As/V
(2.5)

Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator

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Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist.

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Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen Flächenladung konstant EEbene = -σ-
2𝜀0 ist (Gleichung (2.8)).

Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q = = 2𝜀0EEbeneA.

Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also ist

E =  2EEbene
(2.6)

Also ist Q = = 𝜀0EA. Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte gemessen von der ersten Platte

U2,1 = − E ·d = ⇒  |U2,1| = 2EEbene·d  = 2-σ--d = σd-
                                         2𝜀0     𝜀0
(2.7)

Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte Spannung

     σd-   Qd--
U =  𝜀  =  A𝜀
      0      0
(2.8)

oder

Q- = 𝜀0A- = C
U       d
(2.9)

Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Wir haben dabei benutzt, dass σ die Flächenladungsdichte einer dünnen Platte ist. Hätten wir einen dicken Leiter genommen, mit den Oberflächenladungsdichten σ+ und σ = σ+ auf jeweils leitenden Halbräumen, wäre das Resultat mit EHalbraum =  σ
𝜀0

                                               σ    σ     2σ
U2,1,Halbräume = (EHalbraum,+ − EHalbraum,− )·d =  -+-− -−-=  --+-
                                               𝜀0   𝜀0     𝜀0
(2.10)

Dies ist kompatibel mit Gleichung (2.4). Bei realen, nicht unendlichen Platten gibt es auch eine Wechselwirkung der Rückseiten. Weiter ist wegen der Influenz die Ladung nicht gleichverteilt.

Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen.

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Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich.

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Beispiel: Ein Kondensator mit d = 0.1μm, A = 1 m2 und U = 10 V.

Dann ist C = 88.5 㯏, Q = 0.885 mC, σ = Q-
A = 0.885 mC/m2 und E = 108 V/m

Aus der Additivität der Ladung folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren.



Versuch zur Vorlesung:
Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten (Versuchskarte EM-48)


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Parallelschaltung von Kondensatoren.

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Q   =   C U
 1        1
Q2  =   C2U
Q3  =   C3U                 (2.11)
Q    = Q  + Q   + Q  =  (C  +  C  + C )U
  ges     1    2     3     1    2     3
(2.12)

oder

Qges-= C    = Q1--+-Q2-+-Q3- = C  +  C  + C
 U       ges         U            1    2    3
(2.13)

bei Parallelschaltung

     ∑n
C =     Ci
     i=1
(2.14)

Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung U auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt.

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Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren.

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Auf den Kondensatoren sind die Ladungen

Q = Q1 = (U −  U1) C1 = Q2 = (U1 − U2 ) C2 = Q3 = U2C3 gespeichert, da in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden können.

Also ist

Q--  =  U  − U1
C1
Q
---  =  U1 −  U2
C2
Q--  =  U                     (2.15)
C3        2

oder

                         (              )
U  = -Q-+  Q--+  Q--= Q   -1-+  -1-+  1-- =  -Q---
     C1    C2    C3       C1    C2    C3     Cges.
(2.16)

Für die Reihenschaltung gilt

        n
-1---  ∑  -1-
Cges =    Ci
       i=1
(2.17)



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