PIC
PIC
Vorlesungsskript
PHYS1100.0 Elektrizität und Magnetismus
Bachelor Physik, Wirtschaftsphysik, Lehramt Physik

Othmar Marti

Institut für Experimentelle Physik, Universität Ulm

veröffentlicht unter

Lizenzinformationen

August 13, 2020

Contents
1  Einleitung
2  Elektrostatik
3  Elektrische Ströme
4  Elektrodynamik
5  Die Maxwellschen Gleichungen
6  Elektromagnetische Wellen
A  Literaturhinweise
B  Begriffe
C  Mathematische Sätze
D  Rechnen mit Integralen
E  Umrechnung zwischen Koordinatensystemen
F  Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
G  Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken
H  Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen
I  Drehungen
J  Berechnung elektrischer Felder
K  Lorentztransformationen
Bibliography
  Referenzen
Stichwortverzeichnis
  Stichwortverzeichnis

Contents

1  Einleitung
 1.1  Lizenzinformationen
 1.2  Dank
2  Elektrostatik
 2.1  Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz
 2.2  Das elektrische Feld
 2.3  Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz
  2.3.1  Dipole in elektrischen Feldern
 2.4  Elektrische Felder von Leitern
  2.4.1  Influenz und Bildladung
 2.5  Elektrostatisches Potential
 2.6  Poisson-Gleichung
 2.7  Kapazität: eine geometrische Eigenschaft
 2.8  Energie des elektrischen Feldes
  2.8.1  Diskussion Versuch Flächenladungsdichte
 2.9  Elektrische Eigenschaften der Materie
  2.9.1  Dielektrika
   2.9.1.1  Woher rührt 𝜀 > 1?
   2.9.1.2  Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika
   2.9.1.3  Das Gesetz von Clausius und Mosotti
   2.9.1.4  Kondensator gefüllt mit Dielektrikum
  2.9.2  Elektrische Phänomene
   2.9.2.1  Flüssigkeit im Kondensator, Q = const
 2.10  Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik
3  Elektrische Ströme
 3.1  Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes
 3.2  Das Ohmsche Gesetz
 3.3  Elektromotorische Kraft und Joulsche Wärme
 3.4  RC-Stromkreise
 3.5  Schaltungen und Bauelemente
  3.5.1  Grafische Methode zur Bestimmung von Arbeitspunkten
  3.5.2  Transistoren
 3.6  Magnetfeld und Lorentzkraft
 3.7  Die magnetische Kraft
  3.7.1  Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme
  3.7.2  Relativistische Berechnung
  3.7.3  Magnetisches Feld
 3.8  Eigenschaften des magnetischen Feldes
  3.8.1  Eigenschaften des B-Feldes
  3.8.2  Das Biot-Savart-Gesetz
   3.8.2.1  Kraft auf Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld
  3.8.3  Das Ampèresche Durchflutungsgesetz
   3.8.3.1  Zylindrischer Leiter mit homogenem Strom
  3.8.4  Quellenfreiheit
  3.8.5  Das B-Feld einer beliebigen Stromverteilung
 3.9  Hall-Effekt
 3.10  Die Lorentz-Transformation der Felder E und B
 3.11  Lorentztransformation für allgemeine Felder und Geschwindigkeiten
 3.12  Zusammenfassung: Ströme
4  Elektrodynamik
 4.1  Das Faradaysche Induktionsgesetz
  4.1.1  Eine bewegte Leiterschleife in einem stationären B-Feld
  4.1.2  Der magnetische Fluss
  4.1.3  Induktionsgesetz von Faraday, Integral- und Differentialform
  4.1.4  Wirbelströme
  4.1.5  Unendlich lange Spule
  4.1.6  Transformator
  4.1.7  Kirchhoffsche Gesetze
  4.1.8  Wechselstromkreise, Impedanzen
   4.1.8.1  Widerstand im Wechselstromkreis
   4.1.8.2  Widerstand im Wechselstromkreis, komplex
   4.1.8.3  Impedanz einer Spule
   4.1.8.4  Impedanz einer Spule: komplex
   4.1.8.5  Impedanz eines Kondensators
   4.1.8.6  Impedanz eines Kondensators: komplex
   4.1.8.7  Idealer elektrischer Schwingkreis
   4.1.8.8  Idealer elektrischer Schwingkreis: komplex
   4.1.8.9  Gedämpfter elektrischer Schwingkreis
   4.1.8.10  Gedämpfter elektrischer Schwingkreis: komplex
  4.1.9  Elektromotoren
   4.1.9.1  Rotierende Leiterschlaufe als Generator
   4.1.9.2  Rotierende Leiterschlaufe als Nebenschlussmotor
   4.1.9.3  Rotierende Leiterschlaufe als Hauptschlussmotor
  4.1.10  Betatron
  4.1.11  Skineffekt
 4.2  Energie des Magnetfeldes
 4.3  Magnetische Eigenschaften der Materie
  4.3.1  Kugeln im inhomogenen Magnetfeld
  4.3.2  Der Satz von Larmor
  4.3.3  Diamagnetismus
  4.3.4  Magnetisierung
  4.3.5  Das magnetische Moment des Elektrons: Spin
  4.3.6  Paramagnetismus
  4.3.7  Ferromagnetismus
 4.4  Zusammenfassung: zeitlich veränderliche Magnetfelder
5  Die Maxwellschen Gleichungen
 5.1  Was wissen wir?
 5.2  Auflösung des Widerspruchs zur Kontinuitätsgleichung, Maxwellgleichungen
 5.3  Maxwellgleichungen
 5.4  Maxwellgleichungen in isotropen zeitunabhängigen Medien
 5.5  Anwendung der Maxwellgleichungen
6  Elektromagnetische Wellen
 6.1  Die Wellengleichung im Vakuum
 6.2  Allgemeine Lösung der Wellengleichung
 6.3  Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem
  6.3.1  Wellenwiderstand
  6.3.2  Stehende Wellen
 6.4  Poynting-Vektor und Energiefluss
  6.4.1  Energiefluss bei stehenden Wellen
 6.5  Elektromagnetische Wellen im Raum
  6.5.1  Ebene Wellen
  6.5.2  Kugelwellen
 6.6  Lichtgeschwindigkeit im Medium und Intensität
 6.7  Polarisation
  6.7.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)
 6.8  Die Fresnelschen Formeln
  6.8.1  s-Polarisation
  6.8.2  p-Polarisation
  6.8.3  Grenzfall des senkrechten Einfalles
  6.8.4  Brewster-Winkel
  6.8.5  Beispielkurven für die Fresnelformeln
  6.8.6  Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche
  6.8.7  Felder und Intensitäten bei senkrechtem Einfall
  6.8.8  Evaneszente Wellen
 6.9  Zusammenfassung
A  Literaturhinweise
B  Begriffe
C  Mathematische Sätze
 C.1  Ableitung
 C.2  Differentiationsregeln
 C.3  Differentiation einfacher Funktionen
 C.4  Taylorreihe und Reihen
 C.5  Einige Reihen
 C.6  Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten
 C.7  Vektoren
  C.7.1  Gesetze
   C.7.1.1  Orthogonalität zweier Vektoren testen
  C.7.2  Eigenschaften von Kurven im Raum
 C.8  Vektoridentitäten
  C.8.1  Produkte mit Vektoren
  C.8.2  Ableiten von Vektoren
  C.8.3  Vektorableitungen bei Skalarfeldern
  C.8.4  Vektorableitungen bei Vektorfeldern
  C.8.5  Graphische Darstellung der Ableitungen in drei Dimensionen
   C.8.5.1  Gradient in kartesischen Koordinaten
   C.8.5.2  Divergenz in kartesischen Koordinaten
   C.8.5.3  Rotation in kartesischen Koordinaten
  C.8.6  Totale Ableitung bei mitgeführten Koordinatensystemen
 C.9  Satz von Gauss
 C.10  Satz von Green
 C.11  Satz von Stokes
D  Rechnen mit Integralen
 D.1  Integration
 D.2  Unbestimmte Integrale
  D.2.1  Bestimmte Integrale und Integrale mit variabler oberer Grenze
 D.3  Berechnung von Linienintegralen
 D.4  Die Diracsche Deltafunktion
E  Umrechnung zwischen Koordinatensystemen
 E.1  Vom kartesischen ins sphärische System
 E.2  Vom sphärischen ins kartesische System
 E.3  Vom kartesischen ins zylindrische System
 E.4  Vom zylindrischen ins kartesische System
 E.5  Vom sphärischen ins zylindrische System
 E.6  Vom zylindrischen ins sphärische System
F  Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
 F.1  Geschwindigkeiten
 F.2  Beschleunigung
  F.2.1  Interpretation
G  Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken
H  Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen
I  Drehungen
 I.1  Drehmatrizen
 I.2  Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren)
 I.3  Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln
J  Berechnung elektrischer Felder
 J.1  In der Nähe eines Leiterstückes
 J.2  Auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe
 J.3  Innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche
 J.4  In allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter
K  Lorentztransformationen
 K.1  Lorentztransformationen für die magnetische Induktion
 K.2  Lorentztransformation für das magnetische Feld
  Referenzen
  Stichwortverzeichnis

1  Einleitung

1.1  Lizenzinformationen

Diese Skript wird unter der Creative Commons Lizenz CC-BY-SA 4.0 veröffentlicht. Dies heisst,

Sie dürfen das Werk ganz oder in Teilen in allen denkbaren Formaten weiterverwenden, vervielfältigen und weiterverbreiten

das Werk oder Teile davon neu zusammenstellen, verändern und darauf weitere Werke aufbauen,

sofern Sie

den Namen der Verfassers dieses Werkes sowie deren Institution, die Universität Ulm, nennen und angemessene Rechte- und Urheberrechtsangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Sie Änderungen vorgenommen haben. Dabei darf nicht der Eindruck entstehen, die Verfasser oder die Universität Ulm würden Sie oder Ihre Nutzung unterstützen.

Wenn Sie Dieses Werk oder Teile davon neu zusammenstellen, verändern und darauf weitere Werke aufbauen, dürfen Sie ihre Beiträge nur unter der gleichen Lizenz wie dieses Werk wie dieses Original verbreiten.

Sie dürfen insbesondere keine weiteren Einschränkungen einsetzen und auch keine technischen Verfahren wie z.B. DRM verwenden, die anderen Nutzern etwas untersagt oder daran hindert, das abgeleitete Werk nach dieser Lizenz zu nutzen.

Der Lizenzgeber kann diese Freiheiten nicht widerrufen solange Sie sich an die Lizenzbedingungen halten.

Eine detaillierte Erklärung finden Sie unter

http://www.uni-ulm.de/en/einrichtungen/e-learning/blog/article/was-sind-eigentlich-cc-lizenzen.html

oder unter

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

oder unter

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de

Die CC-Icons und -Buttons PICund PICwurden unter der Lizenz CC BY von http://creativecommons.org/about/downloads veröffentlicht.

1.2  Dank

Ich habe mich über alle Kommentare und Anregungen zu diesem Skript vor allem von Studierenden gefreut. Ich bin Herrn Nils Tobias Krämer sehr dankbar für das sorgfältige Durchlesen des Skripts.

2  Elektrostatik

Elektrostatik wird benötigt, um

die Wirkung von Klebestreifen,

die Ladungstrennung beim Ausgiessen,

die Funktion von Elektronenröhren,

die Funktion der Braunschen Röhre und

die Funktion des Kondensators

beschreiben.

Neuer Versuch zur Vorlesung:

Entfernen eines Klebestreifens von einem Elektrometer

Versuch zur Vorlesung:

Ladungstrennung (Versuchskarte ES-24, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Ladungstrennung (Versuchskarte ES-25, Video)

Die Elektrostatik befasst sich mit der Wechselwirkung elektrisch geladener Körper. Seit dem Altertum ist bekannt, dass Körper sich durch Reiben aufladen können. Wo haben Sie sich schon aufgeladen? Staub oder kleine Teilchen bleiben an aufgeladenen Körpern hängen. Sie werden auch gegen die Gravitationskraft angezogen.

Die Kraft zwischen Ladungen kann stärker als die Gravitationskraft sein.

Es gibt auch Situationen, wo sich durch Reibung geladene Teilchen abstossen.

Es gibt mindestens zwei Arten von Ladungen!

Versuch zur Vorlesung:

Reibungselektrizität (Versuchskarte ES-15, Video)

Genaue Untersuchungen haben gezeigt, dass es genau zwei Arten von Ladungen gibt. Lichtenberg benannte die Ladungen so, dass Ladungen auf geriebenen Glasstäben positiv genannt werden und Ladungen auf geriebenem Bernstein negativ.

Zwei Ladungen ziehen sich an, wenn sie verschiedener Art sind (positiv und negativ oder negativ und positiv)

Zwei Ladungen stossen sich ab, wenn sie gleichnamig sind (positiv und positiv oder negativ und negativ)

Ladung ist eine extensive Grösse, das heisst, sie skaliert mit der Grösse des Systems.

Versuch zur Vorlesung:

Ladungen löffeln (Versuchskarte ES-13, Video)

Genaue Messungen zeigen, dass für Elektronen die elektrostatischen Kräfte etwa 4.1681 ⋅ 10⁴² mal stärker als die Gravitationskräfte sind¹ ². Die Gravitationskräfte können also nur beobachtet werden, da die Ladungen sich im Mittel sehr genau kompensieren.

2.1  Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz

Literatur

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 617]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 189])

__________________________________________________________________________

Auslenkung zweier mit identischer Ladung q geladener Kugeln.

_____________________________________________________________________

Wenn zwei Kugeln mit der gleichen Ladung q geladen sind, werden sie nach aussen abgestossen. Wird die Ladung verändert, ändert sich die Kraft proportional.

(2.1)

Dabei wird angenommen, dass die Ladungen Punktladungen sind.

Ladungen werden in Coulomb, abgekürzt, C, angegeben.

Eine Messung der Kräfte mit einer Drehwaage (nach Cavendish) ergibt das folgende Gesetz

(2.2)

wobei die Konstante vom Masssystem abhängt und im SI-System

(2.3)

ist. Die Konstante 𝜀₀ heisst Permittivität des Vakuums. Ihre Grösse ist

(2.4)

Indem man 𝜀₀ festlegt, legt man die Grösse der Ladungseinheit fest. Im SI-System wurde der Zahlenwert K = 10⁻⁷c² = 8.987 55 ⋅ 10⁹ m²/s² gesetzt, damit die elektrischen Grössen einen handhabbaren Zahlenwert haben. Mit dieser Definition folgt der Wert von 𝜀₀.

Dieses Gesetz kann durch folgende Überlegung erraten werden:

F(r) ist ein Vektorfeld.

Der mathematische Fluss dieses Vektorfeldes durch ein Flächenelement dA ist dΦ(r) = dA⋅F(r), wobei die Richtung von A die Richtung der Normalen zu diesem Flächenelement ist.

Der gesamte Fluss des Kraftfeldes durch die Kugeloberfläche A(r) = 4πr² ist durch Φ(r) = ∬ AdΦ(r) = ∬ AF(r)dA gegeben.

Da das Problem kugelsymmetrisch ist, kann F(r) nicht von der Richtung abhängen und muss radial sein. Damit kann die Kraft vor das Integral genommen werden.

Φ(r) = F(r) ∬ AdA = 4πr²F(r)

Wenn der Fluss des Vektorfeldes F unabhängig von r sein soll, so muss die Kraft umgekehrt proportional zu r² sein.

Versuch zur Vorlesung:

Coulomb-Gesetz (Versuchskarte ES-31, Video)

Das Coulombsche Gesetz lautet

(2.5)

Das Coulombsche Gesetz ist mathematisch äquivalent zum Gravitationsgesetz. Alle Aussagen über die Gravitation gelten auch für Ladungen, mit der Abweichung, dass Ladungen zwei Vorzeichen haben können.

Elektrostatische Kräfte sind additiv.

Ladungen sind nicht beliebig teilbar. Versuche von Millikan ergaben, dass die kleinste beobachtbare Ladung den Betrag 1.6022 ⋅ 10⁻¹⁹ C hat. Diese Ladung ist auf

Elektronen

q = −e = −1.6022 ⋅ 10⁻¹⁹ C (Masse: me = 9.1096 ⋅ 10⁻³¹ kg) und

Protonen

q = e = 1.6022 ⋅ 10⁻¹⁹ C (Masse: mp = 1.6726 ⋅ 10⁻²⁷ kg)

zu finden. e heisst die Elementarladung. In Kernbauteilen, den Quarks, gibt es Ladungen vom Betrage e∕3. Diese Ladungen sind aber nicht frei zu beobachten. Ladungen werden im SI-System in Coulomb gemessen, [q] = C.

Ladungen können nur paarweise entstehen (jeweils die gleiche negative und positive Ladung). Die Gesamtladung in einem abgeschlossenen System ist konstant.

2.2  Das elektrische Feld

Wir wollen eine Formulierung finden, die die Stärke der elektrostatischen Kraft als eine Feldgrösse mal die Ladung der Testladung beschreibt, also F = qE. Damit haben wir eine Beschreibung der Elektrostatik, die unabhängig von der Testladung ist. Genauer formuliert hat man

(2.1)

Wir definieren:

Das elektrische Feld der Ladung Q ist durch

(2.2)

gegeben.

E ist das elektrische Feld und somit auch der Feldvektor des elektrischen Feldes³ . Die Einheit von E ist [E] = N C-1 = V m-1.⁴

________________________________________________________________________________________

E∕(N C⁻¹ = V m⁻¹)

Stromleitung in Wohnhäusern
10⁻²

Radiowellen
10⁻¹

Atmosphäre
10²

Sonnenlicht
10³

Unter einer Gewitterwolke
10⁴

In einer Röntgenröhre
10⁶

Laser
bis 10¹²

Am Ort des Elektrons im Wasserstoffatom
6 ⋅ 10¹¹

Auf der Oberfläche eines Urankerns
2 ⋅ 10²¹

Elektrisches Feld in der Natur

_____________________________________________________________________

Eine Verteilung von N + 1 Ladungen qi(ri) hat das elektrische Feld

(2.3)

Die obige Gleichung gilt für alle ri≠r,i = 0…N. Für kontinuierliche Ladungsverteilungen führt man eine Ladungsdichte

(2.4)

ein. Das resultierende elektrische Feld ist dann

(2.5)

Versuch zur Vorlesung:

Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4, Video)

Feldlinien dienen zur Visualisierung des elektrischen Feldes. Formal konstruiert man eine Feldlinie, indem man von einem Ausgangspunkt aus den Vektor des elektrischen Feldes abträgt und dann vom neuen Startpunkt aus wieder gleich verfährt. Zeichnet man quer zu den Feldlinien eine Linie und zählt, wie viele Feldlinien man pro Längeneinheit hat, ist dies ein Mass für die Feldstärke. Das Konzept der Feldlinien stammen von Michael Faraday.

Feldlinien laufen von der positiven Ladung zu der negativen Ladung.

________________________________________________________________

Feldlinien. Links von einer positiven Ladung, rechts von einer negativen Ladung. Die Feldlinien zeigen von der positiven Ladung zu der negativen Ladung.

_____________________________________________________________________

Link zur Vorlesung:

(Applet: elektrostatische Felder)

_______________________________________________

Feldlinien bei zwei gleichen positiven Ladungen.

_____________________________________________________________________

Elektrische Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen Ladungen.

Um eine einzelne Punktladung herum sind alle Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt

Die Anzahl der Feldlinien, die von positiven Ladungen ausgehen, oder auf negativen Ladungen enden, ist proportional zu der Grösse der Ladung.

An jedem Punkt des Raumes ist die Feldliniendichte proportional zur Feldstärke in diesem Punkt.

In grosser Entfernung wirkt ein System von Ladungen wie eine einzige Punktladung, deren Grösse der Gesamtladung des Systems entspricht.

Feldlinien schneiden sich nicht.

________________________________________________________________

Feldlinien bei einer positiven Ladung und einer vom Betrage her gleichgrossen negativen Ladung.

_____________________________________________________________________

Wenn das elektrische Feld die einzige Ursache der Beschleunigung ist, dann gilt

(2.6)

Ladungen, die aus der Ruhe durch ein elektrisches Feld beschleunigt werden, folgen den Feldlinien. Elektrische Felder, die eine Ladung q mit der Masse m ablenken, erlauben q∕m zu bestimmen.

2.3  Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz

Nach der Gleichung (2.4) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche A durch

(2.1)

ausgedrückt werden.

__________________________________________________________________________

Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im Zentrum

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung Q. Wir definieren den Normalenvektor am Ort r als n = r∕|r | = r∕r. Das Oberflächenelement da ist da = r² sin ΘdΘdφ.

Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist

(2.2)

Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz

Die Grösse

(2.4)

ist der Fluss des elektrischen Feldes E durch die Fläche A. A kann offen oder geschlossen sein. Das Integral aus Gleichung (2.3) kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung oder die elektrische Flussdichte

(2.5)

einführen. Die Gleichung (2.5) gilt im Vakuum. Die allgemeingültige Formulierung finden Sie in der Gleichung (2.15). Die Einheit der dielektrischen Verschiebung oder der elektrischen Flussdichte ist [D] = C/m² = A s/m².

Weiter ist

(2.6)

Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen S, die das Volumen V (S) einschliesst.

__________________________________________________________________________

Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.

_____________________________________________________________________

Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1)) kann die Gleichung umgeschrieben werden in

(2.8)

Diese Gleichung muss für alle Oberflächen S gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein

(2.9)

Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.

Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.9): div D(r) = 0. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld v(r) gilt nämlich div v(r) = 0.

Die Grösse

(2.10)

über eine beliebige, nicht notwendigerweise geschlossene Fläche A heisst der elektrische Fluss. Dies ist zu unterscheiden vom Fluss des elektrischen Feldes ΦE aus Gleichung (2.4).

Bei einer geschlossenen Fläche A ist nach den Gleichungen (2.7) und (2.10) der elektrische Fluss

Φe |durch geschlossene Fläche A = ΦD | = Q| . durch geschlossene Fläche A innerhalb der geschlossenen Fläche A

(2.11)

2.3.1  Dipole in elektrischen Feldern

Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung −q im Abstand ℓ von einer positiven Ladung q heisst Dipol mit dem Dipolmoment

(2.12)

Die Einheit des Dipolmoments ist [p] = C m. Der Vektor des Dipole zeigt von −q nach +q.

________________________________________________________________

Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld.

_____________________________________________________________________

Im homogenen elektrostatischen Feld E wirkt auf die positive Ladung die Kraft F und auf die negative Ladung −F. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment

(2.13)

Versuch zur Vorlesung:

Drehmoment auf einen elektrischen Dipol (Versuchskarte ES-30, Video)

Folien 2.1:
Folien zur Vorlesung vom 27. 04. 2009

2.4  Elektrische Felder von Leitern

Literatur

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 645])

Versuch zur Vorlesung:

Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4, Video)

Die elektrischen Felder

in der Nähe eines ausgedehnten Leiters

auf der Symmetrieachse eines Kreisrings

auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe

innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche

in allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter

werden im Anhang berechnet.

Versuch zur Vorlesung:

Faraday-Becher (Versuchskarte ES-9, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Faraday-Käfig (Versuchskarte ES-21, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Van-de-Graaff-Generator (Versuchskarte ES-19, Video)

Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.

__________________________________________________________________________

Berechnung eines Feldes einer Kugelschale

_____________________________________________________________________

Abbildung 2.4 zeigt die betrachtete Geometrie. Die gesamte Ladung Q ist homogen auf einer infinitesimal dünnen Kugelschale mit dem Radius R verteilt. Sowohl für r > R wie auch für r < R ist die elektrische Ladungsdichte ρel = 0. Auf der Kugelschale mit dem Radius R gibt es also eine Flächenladungsichte σ = Q∕(4πR²).

Aus der Definition des elektrischen Feldes in Gleichung (2.2), dem Gauss’schen Gesetz in Gleichung (2.3) und aus der Tatsache, dass wir eine kugelsymmetrische Situation haben ergibt sich für die eingeschlossene Ladung aus dem elektrischen Fluss durch die Kugelfläche mit dem Radius r > R

(2.1)

Somit haben wir auch

(2.2)

Damit ist für r > R

(2.3)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für r < R ist die eingeschlossene Ladung Q = 0. Damit ist auch Φges = Er4πr² = 0 und folglich für r < R

(2.4)

__________________________________________________________________________

Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale.

_____________________________________________________________________

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für r > R ist wie oben Φges = Er4πr² = Q∕𝜀 0. Also ist für r > R

(2.5)

Wenn die Ladungsdichte ρel = Q∕V = Q∕(4π3R³) ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit r < R umschlossene Ladung Q′ = ρelV (r) = ρel4π- 3r³

(2.6)

Weiter haben wir Er4π𝜀₀r² = Q. Also ist für r < R

(2.7)

__________________________________________________________________________

elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Integrationsfläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Ebene

_____________________________________________________________________

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.

Da wir Translationsinvarianz für jede Richtung in der Plattenebene haben, muss das elektrische Feld senkrecht auf der Platte stehen.

Die elektrischen Felder auf den beiden gegenüberliegenden Seiten der Platte müssen entgegengesetzt gerichtet sein, da die Platte eine Ebene mit Spiegelsymmetrie darstellt.

Wir verwenden eine zylinderförmige Fläche parallel zur Platte. Die Seitenflächen können beliebig hoch sein, da die Symmetrieüberlegungen besagen, dass sie keinen Beitrag zum elektrischen Fluss liefern.

Wenn σ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist

(2.8)

da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.

Also ist

(2.9)

homogen im Raum.

__________________________________________________________________________

Elektrisches Feld um eine endliche Platte.

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung ℓ. Wir können drei Fälle unterscheiden:

r « ℓ

Das elektrische Feld ist von dem einer unendlich ausgedehnten ebenen leitfähigen Platte nicht unterscheidbar.

r ≈ ℓ

Das elektrische Feld befindet sich in einem Zwischenzustand.

R » ℓ

Das elektrische Feld ist von dem einer Punktladung im Kugelmittelpunkt nicht unterscheidbar.

Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring [Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von Et = (30…300) J/m² haben. Die Definition von Et ist

wobei vs = 0.01 m s⁻¹ die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und A die Kontaktfläche ist. Δt = 0.1 s ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte σ ist E = σ∕𝜀₀. Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte σ ist dann F∕A = σ²∕𝜀 0. Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir

und daraus die Flächenladungsdichte

Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen e im Abstand d angebracht sind. d ist dann

Wenn wir Et einsetzen erhalten wir d ≈ (10…18) nm. Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.

Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird E = σ∕𝜀₀.

__________________________________________________________________________

Elektrisches Feld entgegengesetzt gleich geladener Platten.

_____________________________________________________________________

Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum E = σ∕𝜀₀.

__________________________________________________________________________

Elektrisches Feld gleich geladener Platten

_____________________________________________________________________

Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.

Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.

Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.

__________________________________________________________________________

Integrationsfläche

_____________________________________________________________________

Der gesamte Fluss des elektrischen Feldes ist

(2.10)

da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir

(2.11)

und

(2.12)

Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:

Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche.

Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse Er = σ∕𝜀₀

2.4.1  Influenz und Bildladung

__________________________________________________________________________

Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden.

_____________________________________________________________________

Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ(r), die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter innen eine Bildladung −q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet. Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem Leiter mit der Kraft

(2.13)

angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (z-Komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche

(2.14)

Damit ist die Oberflächenladungsdichte

(2.15)

Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden⁵ .

2.5  Elektrostatisches Potential

Literatur

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 192]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 681])

Die Arbeit ist durch

(2.1)

definiert.

Die potentielle Energie eines Kraftfeldes F(r ) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist Fext = −F. Also

Eine potentielle Energie existiert, wenn

Die Arbeit W(r1 → r2 ) unabhängig vom Weg ist.

Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist (Die Bahn darf keine Singularitäten des Feldes umschliessen).

rot F(r ) = 0 für alle r

Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist

(2.4)

__________________________________________________________________________

Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist∫ E ⋅ ds = 0, entlang der radialen Teile ist∫ E ⋅ ds = ∫ E(r)ds.

_____________________________________________________________________

Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit r = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen.

Üblicherweise setzt man Epot(r = ∞ ) = 0. Damit wird

(2.6)

Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten

(2.7)

berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir

( ) ( ) F (r) = − grad -qQ--1- = − -qQ--grad 1-= − -qQ-⋅ − 1- grad r 4 π𝜀0r 4π 𝜀0 r 4π𝜀0 r2 qQ r = ------3 4π 𝜀0r

(2.8)

In Komponenten ist r = √x2-+--y2 +-z2 und grad  = ∇ = (-∂ ∂- ∂-) ∂x, ∂y ,∂z

Also

Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt.

(2.10)

Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1 ist das elektrische Potential φ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar.

(2.11)

Wichtig ist die Beziehung

(2.12)

Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit

(2.13)

berechnet.

Folgende Relationen gelten

(2.14)

Wir merken uns

(2.15)

analog zur potentiellen Energie.

Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist

Bem.: Beim elektrischen Feld ist der Feldvektor E, bei der Gravitation g

Das Gravitationspotential ist Ugrav(r) = −Gmr-.

Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen qi an den Orten ri ist also

(2.16)

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρel(r) ist das Potential

(2.17)

Versuch zur Vorlesung:
Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-08, Video)

Eine homogen mit der Flächenladungsdichte σ geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld E = σ∕(2𝜀₀). Das elektrostatische Potential eines Punktes P im Abstand x > 0 von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des Lots vom Punkt P auf die Ebene integrieren.

(2.18)

Für x < 0 berechnet man

(2.19)

__________________________________________________________________________

Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U₀ = 2 und σ = 2𝜀₀.

_____________________________________________________________________

Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden, dass

ist, mit

Wir erhalten

(2.20)

__________________________________________________________________________

Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine positive Ladung Q = 4π𝜀₀ und dem Radius R = 2.

_____________________________________________________________________

Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius R entlang ihrer Symmetrieachse x berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe sei σ = Q∕(πR²). Ein Kreisring mit dem Radius a trägt die Ladung dq = 2πaσda und erzeugt dann das Potential

(2.21)

Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir

(2.22)

Dieses Integral ergibt nach Bronstein[Bro+08, Seite 309, Nr. 193]

(2.23)

Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für x →∞ wie das Potential einer Punktladung, da

Für den anderen Grenzfall berechnen wir die Taylorreihe um 0 bis zum ersten Glied.

Die beiden Grenzfälle zeigen, dass sich die geladene Kreisplatte für x » R wie eine Punktladung und für x « R wie eine unendlich ausgedehnte Platte verhält.

__________________________________________________________________________

Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit R = 2 und σ = 2𝜀₀.

_____________________________________________________________________

Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld berechnet. Das radiale elektrische Feld ist Er(r) = 41π𝜀0Q r2. Damit ist das Potential

Oder mit U(∞) = 0

(2.25)

Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant.

(2.26)

__________________________________________________________________________

Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit R = 1 und Q = 8π𝜀₀.

_____________________________________________________________________

Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte λ. Das radiale elektrische Feld ist E = λ∕(2π𝜀₀x). Das Potential ist dann

(2.27)

Wir setzen U(r₀) = 0 und erhalten

(2.28)

__________________________________________________________________________

Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten homogenen Linienladung mit r₀ = 1 und λ = 2π𝜀₀.

_____________________________________________________________________

2.6  Poisson-Gleichung

Literatur

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 197]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 703])

Wir hatten in Gleichung (2.9) gesehen, dass

(2.1)

ist.

Gleichung (2.13) besagt, dass

(2.2)

ist. Mit der im Vakuum geltenden Beziehung D = 𝜀₀E erhalten wir die Poisson-Gleichung.

(2.3)

oder

(2.4)

Dabei haben wir den Laplace-Operator Δ = div grad  = ∇⋅∇ verwendet. In Komponentenschreibweise in einem kartesischen Koordinatensystem ist dies

(2.5)

Die Poissongleichung ermöglicht eine Berechnung der Potentiale ausgehend von Ladungsverteilungen.

Bemerkung:

Im allgemeinen Falle bei beliebigen Materialien lautet die Beziehung zwischen der dielektrischen Verschiebung D und dem elektrischen Feld E

(2.6)

Dabei ist die relative Dielektrizitätszahl 𝜀 im einfachsten Falle eine Zahl und im allgemeinen Falle ein Tensor zweiter Stufe. Die allgemeine Poissongleichung (Gleichung (2.4)) wird dann wie folgt geschrieben

(2.7)

Beispiel: Ebene

Bei einer geladenen Ebene ist ρel(x, y,z) = δ(z) σ(x, y) = δ(z) σ₀ mit σ(x,y) = σ₀. Die Poissongleichung wird, wegen der Translationssymmetrie in x und y zu

(2.8)

Daraus folgt, dass ∂U- ∂z = const≠0 für z≠0.

Bei z = 0 haben wir einen Sprung der Grösse σ0 𝜀0 der symmetrisch von +-σ0 2𝜀0 bis −-σ0 2𝜀0 reichen muss. Nochmals integrieren ergibt

(2.9)

U₀ ist eine frei wählbare Integrationskonstante.

Das Innere eines Leiters ist ein Äquipotentialraum, da in einem Leiter Ladungen sich frei bewegen können. Da Feldlinien dE senkrecht zu einer Metalloberfläche, die immer eine Äquipotentialfläche ist, stehen kann man schliessen (und mathematisch beweisen), dass Feldlinien senkrecht auf Äquipotentialflächen stehen.

An Luft kann man nicht beliebige Potentialunterschied aufrechterhalten. Die möglichen Potentialdifferenzen werden durch Funkenüberschläge begrenzt. Für Luft unter Normalbedingungen muss

(2.10)

sein.

2.7  Kapazität: eine geometrische Eigenschaft

Folien 2.2:
Folien zur Vorlesung vom 04. 05. 2009

Literatur

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 202])

Versuch zur Vorlesung:

Kapazität von Kugeln (Versuchskarte ES-27)

Wir wollen das folgende Problem lösen:

Wieviel Ladung kann auf einer Leiteranordnung gespeichert werden?

Wir wissen:

Im Inneren der Leiter ist U = const und ρel = 0

An der Oberfläche sind die E-Felder senkrecht zur Oberfläche

Zwischen den Leitern ist ρel = 0, also ΔU = 0

Die Ladungen auf den Leitern sind Oberflächenladungsdichten.

__________________________________________________________________________

Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum.

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden

(2.1)

Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist

(2.2)

Bei einer genügend grossen ebenen Fläche A ist die Ladung dann

(2.3)

A repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[Jac75, p. 48]. Wenn wir die Leiter 1, 2,…n betrachten, ist

(2.4)

mit Uj dem Potential auf dem Leiter j und Ui dem Potential auf dem Leiter i. Cji ist die Kapazität zwischen den Leitern i und j.

Da die Nummerierung in der Gleichung (2.4) willkürlich ist, muss Cij = Cji gelten.

Die Einheit der Kapazität ist

(2.5)

Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator

__________________________________________________________________________

Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist.

_____________________________________________________________________

Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen Flächenladung konstant EEbene = σ 2𝜀0 ist (Gleichung (2.8)).

Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q = Aσ = 2𝜀₀EEbeneA.

Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also ist

(2.6)

Also ist Q = Aσ = 𝜀₀EA. Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte gemessen von der ersten Platte

(2.7)

Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte Spannung

(2.8)

oder

(2.9)

Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Wir haben dabei benutzt, dass σ die Flächenladungsdichte einer dünnen Platte ist. Hätten wir einen dicken Leiter genommen, mit den Oberflächenladungsdichten σ₊ und σ₋ = −σ₊ auf jeweils leitenden Halbräumen, wäre das Resultat mit EHalbraum = -σ 𝜀0

(2.10)

Dies ist kompatibel mit Gleichung (2.4). Bei realen, nicht unendlichen Platten gibt es auch eine Wechselwirkung der Rückseiten. Weiter ist wegen der Influenz die Ladung nicht gleichverteilt.

Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen.

__________________________________________________________________________

Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich.

_____________________________________________________________________

Beispiel: Ein Kondensator mit d = 0.1 μm, A = 1 m² sei auf die Spannung U = 10 V geladen. Dann ist C = 88.5 㯏, Q = 0.885 mC, σ = QA- = 0.885 mC/m² und E = 10⁸ V m⁻¹.

Aus der Additivität der Ladung folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren.

Versuch zur Vorlesung:

Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten (Versuchskarte EM-48)

_______________________________________________

Parallelschaltung von Kondensatoren.

_____________________________________________________________________

(2.12)

oder

(2.13)

bei Parallelschaltung

(2.14)

Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung U auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt.

__________________________________________________________________________

Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren.

_____________________________________________________________________

Auf den Kondensatoren sind die Ladungen

Q = Q₁ = (U − U1) C₁ = Q₂ = (U1 − U2 ) C₂ = Q₃ = U₂C₃ gespeichert, da in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden können.

Also ist

oder

(2.16)

Für die Reihenschaltung gilt

(2.17)

2.8  Energie des elektrischen Feldes

Literatur

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 729])

Versuch zur Vorlesung:

Energieumwandlung (Versuchskarte EM-157)

Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = QC- aufgeladen. Wir transportieren die Ladung ΔQ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist

(2.1)

Dabei haben wir die Ladung ΔQ über die Potentialdifferenz U transportiert.

(2.2)

also

(2.3)

oder mit C = 𝜀0A- d

(2.4)

oder mit Q = U ⋅ C

(2.5)

Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung Q = EA𝜀₀ mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist V = A ⋅ d. Zusammen ergibt sich

(2.6)

oder mit wel = lim V →0Epot V der Energiedichte des elektrischen Feldes

(2.7)

Die Kraft ΔFV auf ein Volumenelement ΔV wird durch

(2.8)

beschrieben, da

(2.9)

Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus

(2.10)

Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. n ist der Normalenvektor der Oberfläche.

Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: Epot = Q2- 2C. Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + Δd zu bringen ist.

und damit

(2.12)

Beispiel: In einem Laser können Felder von 10¹² V m⁻¹ auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von 4.43 ⋅ 10¹² Pa ≃ 4.43 ⋅ 10⁷ bar.

Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.

Versuch zur Vorlesung:

Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16, Video)

2.8.1  Diskussion Versuch Flächenladungsdichte

Im Versuch Flächenladungsdichte wird die Flächenladungsdichte gemessen, indem eine kleine Kugel in Kontakt mit verschieden grossen Kugeln auf einem konstanten Potential φ = U gebracht werden.

__________________________________________________________________________

Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.

_____________________________________________________________________

In der Abbildung 2.8.1 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit dem Radius R wird auf die Spannung U aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem Radius r wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential φ₀ = U. Wenn wir annehmen, dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die Kapazität der beiden Kugeln

(2.13)

Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch

(2.14)

gegeben. Durch die Trennung der beiden Kugeln wird die Flächenladungsdichte σgemeinsam auf beiden Kugeln eingefroren. Für die kleine Kugel haben wir dann

(2.15)

Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich

Aus dem Potential an der grossen Kugel U = R-σgemeinsam 𝜀0 bekommt man

(2.16)

und

(2.17)

Aus Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16) erhalten wir

(2.18)

Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu 1∕R und damit proportional zu σgemeinsam.

2.9  Elektrische Eigenschaften der Materie

Versuch zur Vorlesung:

Influenzversuch: Verschiebungsdichte im Kondensator (Versuchskarte ES-018, Video)

Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung Ze und einer Elektronenwolke der Ladung −Ze. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander. Dabei ist hier Z die Anzahl der Protonen im Kern, die Kernladungszahl.

__________________________________________________________________________

Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.

_____________________________________________________________________

Auf den positiven Kern wirkt die Kraft

(2.1)

Auf die negative Elektronenwolke wirkt

(2.2)

Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie

(2.3)

Auf die negative Ladung wirkt die Federkraft

(2.4)

Das Kräftegleichgewicht für die positive Ladung lautet:

(2.5)

Alternativ kann das Kräftegleichgewicht für die negative Ladung angegeben werden:

(2.6)

Das induzierte Dipolmoment ist

(2.7)

und damit

(2.8)

Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit [α ] = F m² = C m²/V = A s m²/V).

___________________________________________________________________________

Atom oder Molekül
α∕(10 -40 A sm2/V )

He
0.2

Li⁺
0.03

Ne
0.4

K⁺
0.9

Xe
3.5

O⁻⁻
3.5

CCl₄
10

Cl⁻
4

I⁻
7

Gefüllte Elektronenschale

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Atom oder Molekül
α∕(10 -40 A sm2/V )

H
0.7

Li
13

K
38

Cs
46

Nicht gefüllte Elektronenschale

_____________________________________________________________________

Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld E ist

(2.9)

da

(2.10)

und damit

(2.11)

2.9.1  Dielektrika

Versuch zur Vorlesung:

Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3, Video)

Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt

(2.12)

__________________________________________________________________________

Isolatoren in einem Kondensatoren

_____________________________________________________________________

Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist

(2.13)

unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.

Andererseits ist

(2.14)

abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.

In vielen Fällen sind D und E linear voneinander abhängig.

(2.15)

mit 𝜀 ≥ 1 und χe ≥ 0.

𝜀 heisst die Permittivität, χe die dielektrische Suszeptibilität.

Im Allgemeinen sind 𝜀 und χe Tensoren.

___________________________________________________________________________

Material
𝜀
α∕(10⁻⁴⁰ A s m²/V)

Vakuum
1
0

Luft
1.0006
2.00332

Paraffin
2.1
38.7601

Diamant
5.6
0.912181

Glas
5-9
5.71864 - 7.27827

Silizium
11.9
4.16924

Wasser (291K, 0Hz )
81
7.65901

Wasser (291K, 1P Hz )
1.77
1.62297

Rutil (⊥)
90
7.9997

Rutil (∥)
170
8.12512

Einige relative Permittivitäten

_____________________________________________________________________

Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem 𝜀₀ durch 𝜀𝜀₀ ersetzt wird.

2.9.1.1. Woher rührt 𝜀 > 1?

Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.

__________________________________________________________________________

Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.

_____________________________________________________________________

Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.

__________________________________________________________________________

Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld.

_____________________________________________________________________

Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.8) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.

2.9.1.2. Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika

Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt div D = 0 (siehe Gleichung (2.9)). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch rot E = 0. Wir betrachten eine Oberfläche A, die ein Stück ΔA der Grenzfläche umschliesst. Dann ist

und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung

(2.16)

Wir verwenden weiter eine Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten

und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung

(2.17)

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt

die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und

die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche

sind stetig.

Mit grad φ = −E können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential φ umgeschrieben werden

2.9.1.3. Das Gesetz von Clausius und Mosotti

In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Permittivität und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit α sowie vom lokalen elektrischen Feld Elokal ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld E sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, Ei.

(2.19)

Die Polarisation hängt vom lokalen Feld Elokal wie folgt ab:

(2.20)

wobei n die Dichte der induzierten Dipole ist. Die Polarisation P hat dann die Einheit [P ] = C/m².

__________________________________________________________________________

Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti

_____________________________________________________________________

Zur Berechnung von Ei und damit Elokal betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit 𝜀, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, p. 68],[LL85], das von einem externen Feld E in der x-Richtung hervorgerufen wird.

Das externe elektrische Feld erzeugt im Inneren des Dielektrikums eine Polarisation, die das externe elektrische Feld schwächt. Deshalb gibt es an der Oberfläche eine Oberflächenladungsdichte, die durch die Polarisation im Inneren des Dielektrikums hervorgerufen wird.

Die Polarisation steht senkrecht auf der Kugeloberfläche (analoge Argumentation wie bei E). Das Die Polarisation des Dielektrikums erzeugt deshalb an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte σ(Θ) = Pn = Px cos 𝜃, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ∕𝜀₀ zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5)) ist der Beitrag von σda gegeben durch

(2.21)

gegeben. Die x-Komponente ist dann

(2.22)

da dEi,r auf die x-Achse projiziert werden muss. Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass da = r² sin 𝜃d𝜃dφ ist. Die Integration über φ (Faktor 2π) und diejenige über r (Faktor 1, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit ∫ cos ²(𝜃) sin(𝜃)d𝜃 = −1 3 cos ³(𝜃)

(2.23)

erhalten. Da die x-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein

(2.24)

Mit

(2.25)

wird aus der Kombination von Gleichung (2.20) und Gleichung (2.24) die Clausius-Mosotti-Beziehung

(2.26)

die die Polarisierbarkeit α mit der relativen Permittivität 𝜀 verknüpft. n ist die Dichte der induzierten Dipole.

Die Rechnung verläuft folgendermassen

2.9.1.4. Kondensator gefüllt mit Dielektrikum

__________________________________________________________________________

Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum

_____________________________________________________________________

Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor 𝜀 geringer als das Feld E₀ ohne Dielektrikum

(2.27)

Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand d ist

(2.28)

Die Kapazität ist

(2.29)

Also ist beim Plattenkondensator

(2.30)

Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant

(2.31)

Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,

(2.32)

2.9.2  Elektrische Phänomene

Versuch zur Vorlesung:

Steighöhe im Kondensator (Versuchskarte ES-12)

Die Energiedichte im Kondensator ist

(2.33)

__________________________________________________________________________

Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.

_____________________________________________________________________

Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.

Wie geht das?

__________________________________________________________________________

Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung

________________________________________________________________

Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten [Kän78].

Mechanische Arbeit:

Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch

Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an

Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um

Die Spannung U₀ wird aufrecht erhalten und die Ladung dQ transportiert (Epot = qU )
Also

Die Energiebilanz ist

(2.37)

(2.38)

und somit

(2.39)

2.9.2.1. Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator bei konstanter Ladung

Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, Q, konstant. Die dielektrische Verschiebung D und nicht das elektrische Feld E bleiben konstant.

Mechanische Arbeit:

Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Ladung Q wird konstant gehalten, und damit auch

A ist die effektive Plattenfläche des Kondensators. Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an

dWel ist negativ, da 1 − 𝜀 < 0 ist.

Die Energiebilanz ist

(2.41)

(2.42)

und somit

(2.43)

Der alternative Weg zur Lösung geht so: Der Kondensator habe eine gesamte Fläche von A = Lb. Auf der Länge x ist das Dielektrikum, Dann ist die Kapazität (Parallelschaltung)

(2.44)

Wenn die Ladung Q = const auf den Platten ist, ist die resultierende Spannung

(2.45)

Die Platten sind Äquipotentialflächen, also können wir das elektrische Feld berechnen

(2.46)

Dieses ist gleich im leeren wie im gefüllten Bereich. Damit können wir die Energiedichten mit und ohne Dielektrikum bestimmen:

Die gesamte Energie im Kondensator ist die Summe aus den potentiellen Energien im leeren und gefüllten Teil.

(2.48)

Schliesslich kann die Kraft am Ort ℓ berechnet werden

(2.49)

2.10  Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik

Ladung

Symbol q oder Q, Einheit [q] = C = A s = Coulomb

Permittivität

Gleichung (2.4)

Coulomb-Gesetz

Gleichung (2.5)

Elektrisches Feld

Gleichung (2.2)

Symbol E, Einheit [E ] = N C⁻¹ = V m⁻¹

Elektrische Feldlinien

Elektrische Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.

Die Anzahl der von einer Ladung ausgehenden oder auf einer Ladung endenden Feldlinien ist proportional zur Ladungsmenge.

Ihre Dichte ist proportional zum elektrischen Feld.

Elektrisches Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Gleichung (2.5)

Ladung in einem Raumgebiet

Gleichung (2.1)

dielektrische Verschiebung

Gleichung (2.5)

elektrische Flussdichte

Gleichung (2.5)

elektrischer Fluss

Gleichung (2.10)Φe = ΦD = ∫ AD ⋅ da

Fluss des elektrischen Feldes

Gleichung (2.4)ΦE = ∫ AE⋅da

Gauss’sches Gesetz für eine Punktladung

Gleichung (2.3)

Gauss’sches Gesetz für eine Ladungsverteilung

Gleichung (2.7)

Differentialform des Gaussschen Gesetzes

Gleichung (2.9)

Leiter

Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.

Potentielle Energie einer Probeladung

Gleichung (2.4)

Elektrostatisches Potential und Spannung

Gleichung (2.11)

Potentielle Energie und Potential

Gleichung (2.14)

Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Gleichung (2.17)

Poisson-Gleichung

Gleichung (2.4)

Kapazität

Gleichung (2.4)

Parallelschaltung von Kondensatoren

Gleichung (2.14)

Reihenschaltung von Kondensatoren

Gleichung (2.17)

Energiedichte des elektrostatischen Feldes

Gleichung (2.7)

Maxwell-Spannung

Gleichung (2.10) und Gleichung (2.12)

induziertes Dipolmoment

Gleichung (2.8)

Lorentz-Beziehung

Gleichung (2.24)

dielektrische Suszeptibilität

Gleichung (2.15)

Stetigkeit der Feldkomponenten

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt

die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und

die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche

sind stetig.

Stetigkeitsbedingung für das Potential

3  Elektrische Ströme

Folien 3.3:
Folien zur Vorlesung vom 11. 05. 2009

Ströme und Magnetfelder beschreiben

die Funktionsweise von Motoren,

die Funktionsweise von Fernsehröhren,

die Funktionsweise von Beschleunigern,

die Arbeitsweise von Magnetbändern und Festplatten und

die Funktionsweise von Lautsprechern

.

________________________________________________________________

Kräfte auf Ladungen in einem Leiter

_____________________________________________________________________

Bei Anlegen eines elektrischen Feldes werden Ladungen beschleunigt. Die Wechselwirkung der Ladungen mit dem Medium ergibt eine Begrenzung der Driftgeschwindigkeit. Medien für den Ladungstransport können sein:

Metalle

Ionische Materialien

Plasmen

Die Ladungsträger sind

Elektronen

Ionen

Positronen

Protonen

also alle geladenen Teilchen oder Moleküle.

Der Strom wird als

(3.1)

die in einer bestimmten Zeit durch eine Fläche A fliessende Ladungsmenge definiert.¹

Der elektrische Strom I beschreibt den Fluss von Ladung. Deshalb fliesst der Strom von „+” nach „- ”. Der elektrische Strom I darf nicht mit dem Massenstrom ṁ verwechselt werden. Bei positiver Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens parallel zur Stromrichtung. Bei negativer Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens antiparallel zur Stromrichtung.

Man beobachtet, dass I proportional zu U = Eℓ, der angelegten Spannung über der Strecke ℓ ist.

3.1  Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 64])

__________________________________________________________________________

Berechnung des Stromes in einem Medium

_____________________________________________________________________

Wir betrachten Ladungsträger mit der einheitlichen Ladung q. Die Ladungsträgerdichte nj habe die Geschwindigkeit vj.

Der Strom δIj durch das Flächenelement da ist

(3.1)

Die Ladungsmenge ist

(3.2)

und damit

(3.3)

Der gesamte Strom der Ladungsträger q ist dann

(3.4)

wobei n = Σnj ist.

Die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger ist

(3.5)

Wir definieren das Vektorfeld der Stromdichte

(3.6)

i ist abhängig vom Ort, da auch n und ⟨v⟩ ortsabhängig sind.

Der Strom bezüglich da ist dann

(3.7)

und, integriert,

(3.8)

Diese Gleichung besagt, dass der Strom gleich dem Fluss des Stromdichtefeldes durch eine Fläche A ist.

Wird der Strom durch mehrere Arten von Ladungsträgern gebildet, schreibt man

(3.9)

Beispiel:

Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit 10 mm Durchmesser und I = 100 A

Annahme: 1 Elektron pro Cu - Atom

Anzahl Cu - Atome pro Volumen

Und mit qk = e

Mit v(t) = v₀ cos(2πνt) und x(t) = ∫ v(t)dt hat man

Die maximale Strecke erhält man wenn der Sinus von −1 nach +1 geht.

Folgerung: bei ν = 50 Hz Wechselstrom zittern die Elektronen einige 1 μm s1 2π⋅50-Hz ⋅ 2 ≈ 6.4 nm weit.

__________________________________________________________________________

Berechnung des Flusses eines Stromdichtefeldes durch ein geschlossenes Gebiet

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine geschlossene Fläche A, die wir in zwei Teilflächen A′ und A′′ aufteilen, so dass auf der Fläche A′ die Feldlinie aus der Fläche austreten und auf der Fläche A′′ sie eindringen.

Die Ladungserhaltung fordert:

(3.12)

Wir schreiben die Gleichung mit der Stromdichte um

(3.13)

oder

(3.14)

Dies ist die Integralform der Kontinuitätsgleichung.

Mit dem Gaussschen Satz bekommen wir

(3.15)

Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung lautet demnach:

(3.16)

Bei stationären Strömen hängen i und ρel nicht von der Zeit ab, so dass

(3.17)

ist.

(3.18)

Beispiel:

________________________________________________________________

Stromfluss in einem Kondensator

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine quasistationäre Änderung am Kondensator

(3.19)

Mit    I₁ = −∬ a₁i ⋅ da   und   I₂ = ∬ a₂ida  folgt

(3.20)

d.h. es scheint, als ob der Strom durch den Kondensator hindurch fliessen würde.

Wenn wir die Kontinuitätsgleichung auf A₂ anwenden, bekommen wir

(3.21)

oder

(3.22)

Die Einheit der Stromstärke ist Ampère [I] = A

(3.23)

3.2  Das Ohmsche Gesetz

Literatur

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 751])

Versuch zur Vorlesung:

Strom-Spannungs-Kennlinie (Versuchskarte EM-83, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Allgemein gilt für einen Leiter, dass

(3.1)

eine beliebige Funktion des angelegten Feldes E ist. Im linearen Fall

(3.2)

spricht man von einem Ohmschen Leiter.

Versuch zur Vorlesung:

Ohmscher Leiter (Versuchskarte EM-117, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

σ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist

Das Gesetz nach Gleichung (3.2) heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Für homogene Medien ist σ eine Zahl. Für inhomogene Medien wie Graphit ist σ ein Tensor. Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir

(3.3)

Dabei haben wir angenommen, dass i und σ konstant über A sind. Das integrale Ohmsche Gesetz kann auch als

(3.4)

geschrieben werden. G ist der Leitwert. Die Einheit ist

G und σ stehen in der Beziehung

(3.5)

wobei ℓ die Länge des zylinderförmigen Leiters und A dessen Querschnitt ist. Bekannter ist die Form

(3.6)

R = 1- G ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm

Die zu R gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand

(3.7)

R und ρ hängen über

(3.8)

zusammen. Dabei ist ℓ die Länge des zylinderförmigen Leiters und A dessen Querschnitt.

Die Einheit des spezifischen Widerstandes ist

sowie die der Leitfähigkeit

Versuch zur Vorlesung:

Ohmsches Gesetz (Versuchskarte Applet)

Um einen Zusammenhang zwischen einem mikroskopischen Bild und makroskopischen Grössen zu bekommen betrachten wir die Bewegung von Ionen (⟨v⟩  100 m s1) in einer Umgebung von nicht ionisierten Molekülen

__________________________________________________________________________

Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.

_____________________________________________________________________

Die Masse eines Ions sei M, ihre Ladung q und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement N.

Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet

(3.9)

oder

(3.10)

wobei Δt die freie Flugzeit ist.

Der mittlere Impuls eines Ions ist

(3.11)

⟨v⟩ ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, vj(k) die Geschwindigkeit nach dem letzten Stoss.

Sind die Geschwindigkeiten vj(k) isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu null. Unter dieser Annahme ist

(3.12)

wobei ⟨Δt ⟩t = τ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Mit i = nq⟨v ⟩t bekommen wir

(3.13)

Hier ist μ = q⋅⟨t⟩- M = qτ M die Beweglichkeit der Ladungsträger mit der Ladung q und der Masse M. Die Einheit der Beweglichkeit ist

Weiter ist

(3.14)

Dabei ist n die Dichte der Ladungsträger.

Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger

(3.15)

Von Gleichung (3.13) an wurde τ = ⟨t⟩ gesetzt.

Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τk, nk und μk unabhängig vom elektrischen Feld E sind.

Beispiel: Metall

Wir nehmen an, dass me « mKern ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem Stossen isotrop verteilt. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist ⟨ve⟩ = 10⁵ m s⁻¹ (kinetische Gastheorie [Mar15, Kap. 2.2.]). Mit

(3.16)

bekommen wir

(3.17)

(mit ρexp = 4.3 ⋅ 10⁻⁸ Ω m und ne = 2.5 ⋅ 10²⁸ m⁻³ für Na-Metall)

Die mittlere freie Weglänge ist dann

(3.18)

im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1 nm =⇒ Lösung: Quantenmechanik

Versuch zur Vorlesung:

Leitfähigkeit (Versuchskarte EM-172, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit (Versuchskarte TH-122, Video)

Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist ρel = 0 im Inneren. Dies folgt aus

Ohmsches Gesetz i(x,y, z) = σE(x,y, z)

Kontinuitätsgleichung div i = 0, also div (σE ) = 0
und damit div E = 0

das Gausssche Gesetz sagt div E = ρel 𝜖0

damit folgt die Behauptung, dass ρel = 0.

Aus der Eigenschaft

(3.19)

erhalten wir im Inneren eines Leiters

(3.20)

Dies bedeutet, dass φ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters das Potential eines Potentialfeldes ist. Die Lösung von

(3.21)

ist durch die Randbedingungen

U = φ = const an den Elektrodenflächen (bei den Anschlüssen nach aussen)

i⊥ = 0 sonst (entlang des Leiters, Drahtoberfläche!)

gegeben² .

Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen Gleichung (3.17) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.2) bekommen wir

(3.22)

Wir ersetzen nun E und erhalten

(3.23)

Bei einem homogenen Leiter könnte σ(x,y, z) vor die Divergenz gezogen werden.

__________________________________________________________________________

Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter

_____________________________________________________________________

Wir verwenden die Definition des Stromes in Gleichung (3.8) und wenden Sie auf die Fläche A, beziehungsweise auf den Teil, der den Leiter durchschneidet a, an.

(3.24)

wobei a die durch A aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist

(3.25)

Wenn nun φ₁(x,y,z) eine Lösung von Gleichung (3.23) ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch

(3.26)

eine Lösung. Dabei kann k eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. Da E = −grad U auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch

(3.27)

eine Lösung sein. Nach Gleichung (3.24) ist dann auch

(3.28)

Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter

(3.29)

ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand R. Um den Widerstand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man E(x,y,z ) im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst.

Im statischen Falle ist E(x,y,z) = 0 im Inneren eines Leiters. Bei einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten.

Versuch zur Vorlesung:

Kombination von Widerständen (Versuchskarte Applet)

Aus den Gesetzen dieses Kapitels können die folgenden Berechnungen für Ersatzwiderstände abgeleitet werden:

Reihenschaltung von Widerständen

Wenn zwei Widerstände in Reihe oder Serie geschaltet werden, fliesst durch beide der gleiche Strom, aber die Spannungen teilen sich auf. Wenn wir uns Widerstände als Drähte mit gleichem Querschnitt A und gleichem spezifischen Widerstand ρ vorstellen, haben wir R₁ = ρ- Aℓ₁ und R₂ = -ρ Aℓ₂. Die Serieschaltung heisst, dass wir einen Draht der Länge ℓ = ℓ₁+ℓ₂ haben. Damit ist R = ρ- Aℓ₁+ρ- Aℓ₂ = ρ A-ℓ.

(3.30)

Mit N Leitwerten in Serie:

(3.31)

Parallelschaltung von Widerständen

Wenn zwei Widerstände parallel geschaltet werden, ist die anliegende Spannung bei beiden Widerständen gleich. Die Ströme addieren sich. Wenn wir uns Widerstände als Drähte mit gleicher Länge ℓ und gleichem spezifischen Widerstand ρ vorstellen, haben wir R₁ = ρℓ-1- A1 und R₂ = ρℓ1-- A2. Die Parallelschaltung heisst nun, dass die Flächen addiert werden. Die Rechnung ist einfacher mit Leitwerten G₁ = σ ℓA₁ und G₂ = σℓA₂ (mit σ = 1∕ρ). dann wird die Fläche addiert A = A₁ + A₂. Damit ist G = σℓA₁ + σℓA₂ = σℓA.

(3.32)

Mit N Widerständen in Serie:

(3.33)

3.3  Elektromotorische Kraft und Joulsche Wärme

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 85]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 756])

Ein elektrisches Feld im Inneren eines Leiters bewirkt einen Strom. Wird dieses elektrische Feld durch Ladungen erzeugt, bewirkt der resultierende Strom einen Ausgleich dieser Ladung. Durch Influenz werden die Oberflächenladungen so umgeschichtet, dass der Strom abnimmt und schliesslich verschwindet.

__________________________________________________________________________

Ladungstransport in einem mit einem Widerstand R kurzgeschlossenen van de Graaff-Generator.

_____________________________________________________________________

Nehmen wir an, dass im stationären Betrieb eine Spannung U zwischen der Kugel und dem Fuss des van-de-Graaff-Generators liegen. Das elektrische Feld entlang des Bandes ist dann, in erster Näherung,

(3.1)

Die Arbeit, eine Ladungseinheit dQ gegen dieses elektrische Feld zur Halbkugel zu bringen, ist³

(3.2)

Die Leistung des Motors, der hier als Spannungsquelle wirkt, ist

(3.3)

Das elektrische Feld leistet im Widerstand auf der anderen Seite in der Zeit dt die Arbeit

(3.4)

oder, mit Gleichung (3.1),

(3.5)

Damit ist die Leistung des E-Feldes

(3.6)

Die Energie des elektrischen Stromes wird im Widerstand in Joulsche Wärme umgesetzt, also ist die Leistung der Wärmequelle auch

(3.7)

Bei einem Ohmschen Leiter erhalten wir

(3.8)

Wenn wir eine Probeladung q₀ langsam um den Stromkreis herumführen, ist die geleistete Arbeit grösser als null. Diese Arbeit nennen wir elektromotorische Kraft der Stromquelle. Wir definieren also

(3.9)

Diese elektromotorische Kraft⁴ ist die Arbeit, die beim Herumführen einer kleinen Ladung q₀ von der Stromquelle geleistet wird. Beim van-de-Graaff-Generator besteht diese Arbeit aus zwei Teilen:

Auf dem Band wird an jedem Punkt die Kraft des elektrostatischen Feldes durch die Kraft des Motors kompensiert. Auf diesem Zweig ist die Arbeit null.

Die Arbeit, die im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt wird.

Die elektromotorische Kraft einer Stromquelle ist die Quelle der Energie (Arbeit), die einen konstanten Stromfluss in einem Stromkreis aufrecht erhält. Neben der elektromotorischen Kraft können auch magnetische Kräfte und andere Quellen einen Stromfluss in einem Leiter aufrecht erhalten.

Versuch zur Vorlesung:

EMK des Daniell-Elementes (Versuchskarte TH-44, Video)

3.4  RC-Stromkreise

Folien 3.4:
Folien zur Vorlesung vom 18. 05. 2009

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 88]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 761]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 790])

Versuch zur Vorlesung:

Entladen eines Kondensators (Versuchskarte EM-145, Video)

Ohne ein Verständnis von Stromkreisen sind moderne elektronische Schaltungen nicht verständlich. Wir betrachten deshalb Schaltungen aus Kondensatoren und Widerständen. Zur Erinnerung: die relevanten Gleichungen sind

U = R ⋅ I = R ⋅dQ- dt für Widerstände

Q = ∫ Idt = U ⋅ C für Kondensatoren

Wir betrachten die folgende Schaltung

__________________________________________________________________________

Aufladen und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand.

_____________________________________________________________________

Für die Zeit t < 0 soll der Schalter S in der gezeigten Stellung sein. Die Spannung am Kondensator ist UC = 0. Damit ist auch Q = 0 und I(t) = 0. Für t ≥ 0 wird der Kondensator C mit der Spannungsquelle U verbunden. Da Spannungen im quasistationären Falle sich wie potentielle Energien verhalten, kann man für

(3.1)

schreiben. Ebenso gilt

(3.2)

Zusammen erhalten wir die Differentialgleichung

(3.3)

oder

(3.4)

mit der Anfangsbedingung UC(0) = 0 = Q(0).

Zur Lösung dieser Differentialgleichung machen wir den Ansatz

Partikuläre Lösung

Q = C ⋅ U

Allgemeine Lösung

Q(t) = C ⋅ U ⋅ e−t∕(RC)

Die Lösung der Differentialgleichung ist

(3.5)

für UC(t) ist also

(3.6)

und

(3.7)

__________________________________________________________________________

Ladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind U = 10 V und R ⋅ C = 0.001 s.

_____________________________________________________________________

Die Differentialgleichung für das Entladen lautet

(3.8)

wobei die Anfangsbedingung nun UC(0) = U oder Q(0) = C ⋅ U ist. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

Partikuläre Lösung

Q = 0

Allgemeine Lösung

Q(t) = C ⋅ U ⋅ e−t∕(RC)

Damit erhalten wir

(3.9)

und

(3.10)

__________________________________________________________________________

Entladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind U = 10 V und R ⋅ C = 0.001 s.

_____________________________________________________________________

Die Grösse τ = R ⋅ C ist die Zeitkonstante der Schaltung. In der Zeit τ steigt UC beim Einschalten von 0 auf 63 %. Ebenso fällt beim Ausschalten die Spannung in der Zeit τ von 100 % auf 37 % ab.

Eine alternative Ableitung dieser Gleichung verwendet eine Leistungsbetrachtung. Die Leistung der Joulschen Wärme im Widerstand und die zeitliche Änderung der Energie im Kondensator müssen gleich der von der Batterie gelieferten Leistung sein.

(3.11)

oder

(3.12)

und damit

(3.13)

3.5  Schaltungen und Bauelemente

Wir kennen bis jetzt zwei Typen von Bauelementen, den Widerstand und den Kondensator. Beim Widerstand haben wir die Beziehung

_______________________________________________________________

Kennlinie eines 1000Ω-Widerstands.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5 zeigt die Kennlinie eines Widerstandes. Neben Widerständen und Kondensatoren gibt es andere passive und aktive Bauelemente. Die Kennlinien sind meistens nicht linear. Abbildung 3.5 zeigt verschiedene Bauelemente.

__________________________________________________________________________

Symbole für einen Widerstand (Zeichen: R), einen Kondensator (Zeichen: C), eine Diode (Zeichen: D), einen NPN-Transistor (Zeichen: T) und eine Lampe (Zeichen: L). Bei der Diode zeigt der Pfeil von der Anode zur Kathode (mit Querstrich). Beim Transistor heisst der Anschluss mit Pfeil Emitter, derjenige links Basis und der Anschluss oben Kollektor. Die Lampe, der Widerstand und der Kondensator sind symmetrische Objekte.

_____________________________________________________________________

Diese Bauelemente sind sowohl linear wie nichtlinear. Wenn man die genaue physikalische Funktionsweise eines Bauelementes nicht kennt, dann helfen Kennlinien, trotzdem mit dem Bauelement Schaltungen zu berechnen.

__________________________________________________________________________

Messung der Kennlinie eines Widerstandes.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5 zeigt wie die Messung geht. Die Spannung U wird über das Potentiometer RV , ein gebräuchlicher Name für einen veränderbaren Widerstand, an den zu testenden Widerstand R angeschlossen. Mit einem (idealen) Voltmeter wird die Spannung UR am Widerstand R gemessen. Das ideale Ampèremeter misst den Strom durch IR durch den Widerstand R. Diese beiden Grössen werden denn wie in Abbildung 3.5 aufgezeichnet.

__________________________________________________________________________

Messschaltung zur Bestimmung der Kennlinie einer Diode vom Typ 1N4148.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Kennlinie einer Diode vom Typ 1N4148 gemessen mit der Schaltung nach Abbildung 3.5.

_____________________________________________________________________

Als Beispiel eines nichtlinearen Bauelementes zeigt Abbildung 3.5 die Messschaltung und Abbildung 3.5 die Kennlinie der Diode 1N4148. Für positive Spannungen U ist die Diode in Durchlassrichtung gepolt. Deshalb sind die Ströme bei kleinen Spannungen sehr gross. In der Sperrrichtung Sind die Ströme viel kleiner. Diese können an der rechten Skala abgelesen werden.

Versuch zur Vorlesung:

Dioden-Kennlinie: Halbleiterdiode, Germanium (Versuchskarte EM-024, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

3.5.1  Grafische Methode zur Bestimmung von Arbeitspunkten

Versuch zur Vorlesung:

Potentiometerschaltung (Versuchskarte Applet)

_______________________________________________

Spannungsteiler.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5.1 zeigt einen Spannungsteiler bestehend aus den Widerständen R₁ und R₂. Die Spannung an R₁ und die Spannung an R₂ sind in Serie. Es muss gelten

(3.1)

Andererseits fliesst der gleiche Strom durch R₁ und R₂ und durch den Ersatzwiderstand R = R₁ + R₂. Also hat man

(3.2)

und daraus

Die Spannung an der Batterie U ist vorgegeben. Wenn die Spannung UR₂ an R₂ steigt, muss die Spannung UR₁ an R₁ um den gleichen Betrag sinken. Wenn UR₁ = 0 ist, ist UR₂ = U, und umgekehrt. Dies bedeutet, dass

(3.5)

ist. Wir können also beide Kennlinien in einem Diagramm aufzeichnen.

__________________________________________________________________________

Gemeinsame Auftragung der Kennlinien zweier in Reihe geschalteter Widerstände R₁ = 1 kΩ und R₂ = 4 kΩ mit einer Batteriespannung U = 10 V.

_____________________________________________________________________

Die beiden Kennlinien in Abbildung 3.5.1 schneiden sich bei UR₁ = 2 V und UR₂ = 8 V. Nur an diesem Punkt stimmt an beiden Widerständen die Beziehung zwischen Strom und Spannung (Ohmsches Gesetz) und gleichzeitig ist die Summer der Spannungsabfälle gleich der Batteriespannung. Setzt man in Gleichung (3.3) und Gleichung (3.4) die Werte für U, R₁ und R₂ ein, erhält man das gleiche Ergebnis. Das Verfahren zur Bestimmung des Arbeitspunktes ist unabhängig von der Tatsache, dass Widerstände lineare Bauelemente sind. Es funktioniert auch mit Dioden und jeglichen anderen nichtlinearen Bauelementen.

Um grafisch die Spannungsabfälle an zwei in Serie geschalteten Bauelementen zu bestimmen, trägt man die Kennlinien einmal mit zunehmender und für das andere Bauelement mit abnehmender Spannung übereinander auf. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Arbeitspunkt. Die Spannungen an den zwei Bauelementen können an der entsprechenden Skala direkt abgelesen werden.

________________________________________________________________

Serieschaltung einer Diode D mit einem Widerstand R.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Arbeitspunkt einer Diode vom Typ 1N4148 in Serie mit einem Widerstand R₁ = 1 kΩ (Schaltung nach Abbildung 3.5.1).

_____________________________________________________________________

Aus der Abbildung 3.5.1 liest man ab, dass am Arbeitspunkt der Schaltung nach Abbildung 3.5.1 die Spannung UD = 0.376 V und an dem Widerstand die Spannung UR₁ = 9.624 V abfällt. Durch beide Bauteile fliesst der Strom I = 9.57 mA. Das Verfahren nach Abbildung 3.5.1 ist universell anwendbar.

3.5.2  Transistoren

Ein Transistor hat drei Anschlüsse, den Emitter (E), den Kollektor (C) und die Basis (B). Im Schaltschema ist der Anschluss mit dem Pfeil der Emitter, derjenige auf der gleichen Seite ohne Pfeile der Kollektor und derjenige auf der anderen Seite die Basis.

__________________________________________________________________________

Links: Basis-Emitter-Kennlinie des Transistors BC107, rechts: Kollektor-Kennlinie des Transistors BC107 mit dem Basisstrom IB.

_____________________________________________________________________

Die Basis-Emitter-Kennlinie in Abbildung 3.5.2 ist die gewöhnliche Diodenkennlinie. Die rechte Seite von Abbildung 3.5.2 zeigt das Kollektor-Kennlinienfeld des Transistors. Dieses Kennlinienfeld wird manchmal auch das Ausgangskennlinienfeld genannt. Beim Ausgangaskennlinienfeld wird der Basisstrom IB als Parameter verwendet. Die Abbildung 3.5.2 zeigt die Kennlinien bei festgehaltenem Basuisstrom, wobei die Basisströme von IB = 0.5 㯊 bis IB = 4 㯊 in Schritten von 0.5 㯊 variieren.

Bei vorgegebener Kollektor-Emitter-Spannung UCE kann man so den Ausgangsstrom am Kollektor bestimmen. Analog kann bei vorgegebenem Kollektorstrom die Spannung zwischen Emitter und Kollektor als Funktion des Basisstroms abgelesen werden. Dies ist wichtig, wenn der Transistor als Schalter verwendet werden soll.

__________________________________________________________________________

Schaltung zur Messung des Ausgangskennlinie des Transistors BC107 mit einem Kollektorwiderstand von 5kΩ.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Arbeitskennlinie des Transistors BC107 mit einem Kollektorwiderstand von 5 kΩ gemessen mit der Schaltung nach Abbildung 3.5.2.

_____________________________________________________________________

Die Abbildung 3.5.2 zeigt die Schaltung eines Transistorverstärkers. Der Strom in die Basis IB steuert den Strom im Kollektor IC.Der Kollektorstrom fliesst durch den Widerstand R. Die Summe der Spannungsabfälle an beiden Bauelementen muss der Batteriespannung U entsprechen. Wir können also analog wie bei der Diode vorgehen (siehe Abbildung 3.5.1): Wir zeichnen die Kennlinie des Widerstandes wie bei der Diode rückläufig ein. Die Schnittpunkte der Kennlinie des Widerstandes mit den verschiedenen, basisstromabhängigen Ausgangskennlinien des Transistors sind die Kurve, die die Storm- oder Spannungsverstärkung angibt.

__________________________________________________________________________

Verstärkung eines Transistors in der Emitterschaltung (Der Emitter wird sowohl vom Eingang wie vom Ausgang verwendet.)

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5.2 zeigt sowohl die Kolektor-Emitterspannung UCE(IB) wie auch den Kollektorstrom IC(IB). Die Verstärkung ist für den Basisstrombereich 0.5 㯊 < IB < 3 㯊 linear. Die Verstärkungswerte sind in Tabelle 3.5.2 angegeben.

___________________________________________________________________________

Stromverstärkung | IC IB = 0.252 mA 㯊⁻¹ = 252 㯊 㯊⁻¹ = 252 A A⁻¹
Spannungsverstärkung | UCE- IB = 1.28 V 㯊⁻¹

Verstärkungen der Schaltung 3.5.2.

_____________________________________________________________________

Wenn das Eingangssignal nicht ein Strom, sondern eine Spannung sein soll, muss die Spannung mit einem Widerstand in einen Strom umgewandelt werden.

__________________________________________________________________________

Verstärkerschaltung mit BC107.

_____________________________________________________________________

Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir die Schaltung nach Abbildung 3.5.2 besprechen. Wir verwenden die Daten aus Abbildungen 3.5.2 und 3.5.2. Der Widerstand R₂ ist der Arbeitswiderstand R aus Abbildung 3.5.2. Wir hatten immer eine Spannung von 5 V über dem Arbeitswiderstand R (oder R₂ hier) und dem Transistor. Wir wollen dies beibehalten und gleichzeitig einen Spannungsabfall von 0.2 V über R₃ haben. Bei unseren vorherigen Berechnungen war R₂ = 5 kΩ. Den Arbeitspunkt setzen wir in etwa in die Mitte des linearen Bereiches, bei IB = 2 㯊 und bei IC = 500 㯊. Damit ist

Die Grösse des Widerstandes R₁ finden wir, wenn wir aus Abbildung 3.5.2 ablesen UBE(2 㯊) ≈ 0.5 V. Die Spannung über R₁ ist dann 4.5 V und wir haben

Was ist die Funktion von R₃? R₃ stabilisiert die Schaltung gegen Temperaturänderungen und setzt gleichzeitig die Verstärkung fest. Wenn nämlich die Eingangsspannung Ue und damit die Basis-Spannung UB steigt, steigt der Basisstrom IB und der Kollektorstrom IC und damit die Spannung über R₃. Dieser Spannungsanstieg verringert aber den Anstieg der Basis-Emitter-Spannung, da UBE = Ue − UR₃ ist. Die Spannungsverstärkung der Schaltung ist

Die Kondensatoren werden so gewählt, dass die tiefsten Frequenzen der zu verstärkenden Signale noch kaum geschwächt werden. Für Signale zwischen 100 Hz und 4 kHz (Telefonbandbreite klassischer Telefone) würde man erhalten C₁ > 0.7 pF und C₂ > 320 nF. Der so berechnete Wert für C₁ ist falsch: Wir habe vergessen, dass auch der Widerstand Basis-Emitter-Diode (grob abgeschätzt aus der Steigung rBE = 1 mV∕2 㯊 ≈ 500 Ω wechselspannungsmässig parallel zu R₁ ist. Zu rBE ist noch R₃ in Serie geschaltet. Die modifizierte Berechnung für C₁ ergibt dann C₁ > 2 nF. C₁ kann ohne Probleme 10 bis 100 mal grösser gewählt werden.

___________________________________________________________________________

U | R₁ | R₂ | R₃ | C₁ | C₂ | A
5.2 V | 2.25 MΩ | 5 kΩ | 400 Ω | 1 㯏 | 330 nF | 12

Dimensionierung der Schaltung nach Abbildung 3.5.2

_____________________________________________________________________

Weiterführende Informationen finden Sie im Skript Physikalische Elektronik und Messtechnik [Mar09].

3.6  Magnetfeld und Lorentzkraft

Versuch zur Vorlesung:

Kraft zweier stromdurchflossener Leiter (Versuchskarte EM-63, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Strom in zwei parallelen Leitern. Die Leiter haben die Länge ℓ und sind im Abstand r. Sie sind von den Strömen I₁ und I₂ durchflossen.

_____________________________________________________________________

Wenn in zwei parallelen Stromkreisen Ströme fliessen, so gibt es eine Kraft zwischen den beiden Leitern.

(3.1)

Die beobachtete Kraft hat die in der Gleichung (3.1) angegebene Form. Sie wird grösser, wenn längere Leiterstücke parallel sind. Sie nimmt ab, wenn der Abstand zunimmt. Sie hängt vom Produkt der beiden Ströme ab und ist anziehend, wenn die beiden Ströme in die gleiche Richtung fliessen.

Die Kraft FM ist nicht eine elektrostatische Kraft, da eine geerdete Metallplatte die Kraft, anders als bei der Coulomb-Kraft, nicht abschirmt.

Die Kraft FM wirkt auf bewegte Ladungen!

Die Kraft FM wirkt auch auf Elektronenstrahlen.

Versuch zur Vorlesung:

Lorentzkraft auf stromdurchflossenen Leiter (Versuchskarte Applet)

3.7  Die magnetische Kraft

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 812]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 91])

Um die Magnetische Kraft zu berechnen gehen wir in zwei Schritten vor:

Wir zeigen, dass elektrostatische Gesetze auch in bewegten Bezugssystemen gelten.

Wir berechnen mit den Gesetzen der Relativitätstheorie die magnetische Kraft.

3.7.1  Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 91])

__________________________________________________________________________

Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung.

_____________________________________________________________________

Mit zwei Gedankenexperimenten soll geklärt werden, ob die Ladung von der Geschwindigkeit abhängt. Zuerst schliessen wir eine grosse Menge H₂-Gas in den metallischen Tank ein, entladen ihn, und lassen das Gas ausströmen. Die Ladung des leeren Tanks ist unmessbar klein. Daraus schliesst man:

(3.1)

mit einer Genauigkeit von |qElektron|∕N = 10⁻²⁰q Elektron.

Dies folgt aus dem Gaussschen Gesetz Gleichung (2.3)

(3.2)

wobei q eine eventuell vor dem Ausströmen vorhandene Ladung, Q(H₂) die Ladung eines Wasserstoffmoleküls und N die Anzahl der eingeschlossenen Wasserstoffmoleküle ist. a ist die Ungenauigkeit der Ladungsmessung. Aus der Tatsache, dass der Metallbehälter nach dem Ausströmen im Rahmen der Messgenauigkeit ungeladen ist, folgt, dass das H₂-Molekül ungeladen ist.

Der Versuch wird mit He-Gas wiederholt. Das Resultat ist das gleiche. Nun bewegen sich aber die zwei Protonen im He-Atom mit sehr grosser Geschwindigkeit. Das bedeutet, dass die Ladung des Protons unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Die Ladung muss insbesondere in jedem Inertialsystem gleich sein. Wir betrachten zwei Inertialsysteme S und S′⁵

(3.3)

Diese Gleichung drückt die relativistische Ladungsinvarianz aus. Die Ladungsinvarianz ist nicht gleich der Ladungserhaltung. So ist zum Beispiel die Energie erhalten, zwischen zwei Inertialsystemen aber nicht invariant (m₀c²≠m(v)c²).

3.7.2  Relativistische Berechnung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 94])

__________________________________________________________________________

Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und rechts:im Bezugssystem S′, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S im Bezugssystem S′ ist. Die Ladung ist jedoch invariant.

_____________________________________________________________________

Den Strom I modellieren wir mit zwei Ketten aus Ladungsträgern, je eine positiv und negativ geladen. Ihre Linienladungsdichten λ sollen so sein, dass die beiden Ketten neutral sind. Im Ruhesystem S⁺ der positiven Ladungen ist

(3.4)

Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz

(3.5)

Wegen der Längenkontraktion gilt

(3.6)

Zusammengenommen erhalten wir

(3.7)

Die gleiche Beziehung kann für die negativen Ladungen abgeleitet werden. Das heisst, wenn in S die Linienladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich sind, dann auch in den jeweiligen Ruhesystemen. In den Ruhesystemen ist die Linienladungsdichte geringer als in bewegten Bezugssystemen. Da die beiden bewegten Ladungsketten die gleiche Linienladungsdichte im System S haben, ist E = 0.

Im Ruhesystem S′, in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch neutral. Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in S′ die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen⁶ . Die beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ geladen. Deshalb wird q angezogen, wenn q > 0 ist. Das E′-Feld in die z′-Richtung erzeugt in S′ die Kraft

(3.8)

Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch invariant!

Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist

(3.9)

Um das elektrische Feld E′ berechnen wir die Geschwindigkeiten v₊′ und v₋′ in S′.

Mit den üblichen Abkürzungen

bekommen wir

Mit γ₊′≡ γ(v₊′) und γ₋′≡ γ(v₋′) und mit λ₀ = λ₊′∕γ₊′ erhalten wir aus λ₀ = -λ γ0 = λ′i′ γi (i ∈{+,−}

Die Netto-Linienladung in S′ ist dann

(3.14)

Weiter erhalten wir

Also ist

(3.16)

Betrachten wir am Ort der Ladung q das von der Linienladung λ′ hervorgerufene Feld Er′. Für positives λ′ zeigt dieses in die −z′-Richtung. Also ist das elektrische Feld

Die Kraft im Ruhesystem S′ des Teilchens ist also

(3.18)

Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse pi und der Energie 𝔈

Der Vierervektor ( 𝔈-) px,py,pz,c2 transformiert sich wie der Vierervektor (x, y,z,ct). Die Kraft transformiert sich also wie

(3.20)

Der Strom in S ist

(3.21)

Damit bekommen wir

(3.22)

Multipliziert man Gleichung (3.22) mit der Dichte der Ladungsträger n (Einheit [n] = 1∕m), so erhält man die zu I₂ proportionale Kraft pro Länge 𝔉(r).

(3.23)

Aus 𝔉(r) bekommt man die Kraft auf ein Leiterstück der Länge ℓ

(3.24)

Die magnetische Kraft Fm im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S′. Die magnetische Kraft kann als relativistische Effekt der elektrostatischen Kraft in einem bewegten Bezugssystem verstanden werden.

3.7.3  Magnetisches Feld

In der Gleichung (3.24) können wir die Terme so sortieren, dass ein Leiter als Ursache eines Feldes und der Rest als Wirkung dasteht, analog wie beim elektrischen Feld.

( ) F (r,I,I ,ℓ) = I2-⋅ I ⋅-ℓ ⋅ 1-=---1---- ⋅ 2ℓII2 2 2π𝜀0 ⋅ c2 r 4π𝜀0 ⋅ c2 r μ0 2ℓII2 I = ---⋅------= μ0----(ℓI2) = μ0H (r)(ℓI2) 4π r 2πr

(3.25)

Wir haben den Vorfaktor zur Permeabilität des Vakuums zusammengefasst mit

(3.26)

Der Zahlenwert der Permeabilität des Vakuums ist im SI-System zur Definition des Ampères vorgegeben

(3.27)

Die Funktion

(3.28)

ist das magnetische Feld. Es hat für den Magnetismus die gleiche Funktion wie das elektrische Feld.

3.8  Eigenschaften des magnetischen Feldes

3.8.1  Eigenschaften der magnetischen Induktion B

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])

Versuch zur Vorlesung:

Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11, Video)

Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen, führen wir die magnetische Induktion, auch die magnetische Flussdichte oder B ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz

(3.1)

beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft FL heisst Lorentz-Kraft.

Durch den Vergleich von Gleichung (3.1) und Gleichung (3.22) kann man für die magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte einer linienförmigen Stromverteilung schreiben

(3.2)

Die Induktionskonstante

(3.3)

ermöglicht es Gleichung (3.2) kompakter zu schreiben

(3.4)

__________________________________________________________________________

Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.

_____________________________________________________________________

Die magnetische Induktion B bildet eine Rechtsschraube um den Strom I (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion).

Versuch zur Vorlesung:

Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom.

Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit

(3.5)

wobei q₂ eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit n₂ der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, ℓ die betrachtete Länge, A₂ der Querschnitt des Leiters und ⟨v2⟩ = |v2|, bekommt man

(3.6)

Der Strom im Leiter 2 ist nun aber

(3.7)

Damit ist

(3.8)

Wenn wir Gleichung (3.4) einsetzen, bekommen wir

(3.9)

Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.

(3.10)

Die Einheit der magnetischen Induktion ist

(3.11)

Manchmal wird die magnetische Induktion auch als magnetische Flussdichte bezeichnet.

Die magnetische Induktion wurde so definiert, dass in Gleichung (3.9) alle Faktoren bis auf den Strom I₂ und die Länge ℓ durch B(r) symbolisiert werden. Diese Wahl ist willkürlich. Wir hätten genau so gut ein Feld durch

(3.12)

definieren können. H heisst magnetisches Feld oder magnetische Feldstärke. Das magnetische Feld hat die Einheit

Das magnetische Feld H ist unabhängig von der Materie die den betrachteten Raum erfüllt. Die magnetische Induktion B hängt vom den Raum füllenden Material ab.

Die gesamte Kraft einer bewegten Ladung q in einer beliebigen Ladungs- und Stromverteilung ist

(3.13)

Dies ist das Kraftgesetz der Elektrodynamik

Das magnetische Feld ist kein fundamentales Feld, sondern eine relativistische Korrektur zu dem elektrostatischen Feld.

3.8.2  Das Biot-Savart-Gesetz

Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem empirisch gefundenen Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.

__________________________________________________________________________

Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.

_____________________________________________________________________

Der Betrag des Vektors dF, der senkrecht auf dℓ und senkrecht auf dB steht, ist

(3.14)

wobei n die Dichte der Ladungsträger und ϕ der Winkel zwischen B und dℓ ist. Mit der Stromdichte i = n ⋅⟨v⟩⋅ q erhalten wir

(3.15)

Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach

(3.16)

Das Gesetz von Biot-Savart ist nur in seiner integralen Form nach Gleichung (3.54) physikalisch sinnvoll anwendbar.

3.8.2.1. Kraft auf eine beliebig geformte geschlossene Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld

Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife s in einem homogenen Magnetfeld ist

(3.17)

Das Linienintegral im homogenen B-Feld kann wie folgt berechnet werden:

__________________________________________________________________________

Kräfte auf eine Leiterschlaufe im homogenen B-Feld

_____________________________________________________________________

Vom Linienelement dℓ aus Gleichung (3.17) trägt nur die Komponente dℓ⊥ senkrecht zu B zum Integral bei (wegen dem Kreuzprodukt in der Gleichung). Abbildung 1 zeigt auf der rechten Seite die Leiterschlaufe projiziert auf die Ebene senkrecht zu B.

Also kann Gleichung (3.17) umgeschrieben werden:

(3.18)

dℓ⊥ über s summiert oder integriert ergibt null, da damit eine geschlossene Kurve beschrieben wird, bei der anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, also durch einen Vektor der Länge Null verbunden sind.

dF steht immer senkrecht auf dℓ⊥ (wieder wegen dem Kreuzprodukt). Die Länge von dF ist um den konstanten Faktor I ⋅|B | gegenüber dℓ⊥ geändert. Damit beschreibt dF einen geometrisch ähnlichen geschlossenen Weg, um π∕2 gedreht und gedehnt. Damit ist für eine geschlossene Leiterschlaufe im homogenen magnetischen Feld

(3.19)

Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.

Link zur Vorlesung:

(Elektromotor)

Versuch zur Vorlesung:

Lorentz-Kraft, Leiterschaukel (Versuchskarte EM-046, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld

_____________________________________________________________________

Wir betrachten dazu die rechteckige Leiterschlaufe aus Abbildung 2. Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das infinitesimale Drehmoment

In Gleichung (3.20) enthält das Differential die Beiträge der oberen linken Seite plus die Beiträge der oberen rechten Seite plus die Beiträge der unteren linken Seite plus die Beiträge der unteren rechten Seite. Das gesamte Drehmoment bekommt man, indem man über die halbe Seite a integriert.

∫a∕2 a∫∕2 T = dT = (2 ⋅ r1 × dF 1 + 2 ⋅ r2 × dF 2) 0 0 a∫∕2 dF 1 ∫a∕2 dF 2 = 2 ⋅ r1 ×----ds + 2 ⋅ r2 ×----ds 0 ds 0 ds

(3.21)

Wenn F₁ die Kraft auf die ganze obere Seite ist (und F₂ entsprechend für die untere Seite), ist

(3.22)

Damit ist

(3.23)

Das Drehmoment T liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn ϕ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und B ist, gilt mit F₁ = a ⋅ I ⋅ B:

(3.24)

Wir definieren das magnetische Moment m so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass |m | = Fläche ⋅ Strom = a ⋅ b ⋅ I ist. Damit ist

(3.25)

Die Einheit des magnetischen Momentes ist

Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.

Bei einer beliebigen Leiterschlaufe kann das magnetische Moment berechnet werden, indem diese aus Einzelteilen zusammengesetzt wird.

__________________________________________________________________________

Links ist ein infinitesimales magnetisches Moment aufgezeichnet. Rechts daneben ein quadratisches infinitesimales Moment. Da alle vom gleichen Strom I umrundet werden, und im gleichen Drehsinn, kann eine endliche Fläche aus den infinitesimalen Flächen zusammengesetzt werden. Daraus folgt die Vorschrift zur Berechnung von m.

_____________________________________________________________________

Die Ströme im Inneren heben sich dabei jeweils auf (Siehe auch Abbildung 2). Aus der differentiellen Gleichung

(3.26)

erhält man deshalb

(3.27)

Die potentielle Energie Epot einer um den Winkel ϕ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von ϕ = 0 ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel ϕ dreht. Die Arbeit, um von ϕ′ nach ϕ′ + dϕ′ zu drehen ist

(3.28)

Damit erhalten wir

(3.29)

Wenn wir Epot(ϕ = π∕2) = 0 wählen haben wir

(3.30)

Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.

Versuch zur Vorlesung:

Barlowsches Rad (Versuchskarte EM-004, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Barlowsches Rad (Versuchskarte EM-004, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

3.8.3  Das Ampèresche Durchflutungsgesetz

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 104])

Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom I erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke B = -μ0 2πrI charakterisiert, wobei das B-Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises S, ergibt

(3.31)

Dieses Linienintegral ist unabhängig von r. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig ist.

Ampèresches Durchflutungsgesetz

(3.32)

Die Grösse

(3.33)

ist das allgemeine magnetische Moment der Stromverteilung i im Gebiet A(s).

Der Beweis des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes geht in mehreren Schritten:

Eine beliebige Kurve s′ um einen geraden Leiter

PIC
ds′ ist die Projektion des Weglängenelementes ds auf der Kurve s auf die in der xy-Ebene liegende Projektion der Kurve s′. Weiter ist B ⋅ ds′ = B cos(α)ds′ mit α dem Winkel zwichen B und ds′. Es ist

da B(r) keine Komponente in die z-Richtung hat. Es ist

und damit

Eine beliebige Kurve s′′, die den Leiter nicht umschliesst

Es ist

Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg s′′ umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.

Eine beliebige Kurve s um eine beliebige Stromverteilung

Wir betrachten
viele Ströme Ik, die von der Integrationskurve s umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt

wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von s eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind.

Eine kontinuierliche Stromverteilung

Hier wird die Summe durch ein Integral ersetzt:

3.8.3.1. Zylindrischer Leiter mit homogenem Strom

Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius R soll homogen vom Strom I durchflossen werden. Die Stromdichte i und der Strom I stehen dann betragsmässig wie

in Beziehung. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Wir betrachten einen zum Strom konzentrischen Integrationsweg s. Ausserhalb des Leiters (r > R) haben wir

und daraus

Innerhalb des Leiters (r ≤ R) gilt

und damit

______________________________________________________________________________________________________

Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.

_____________________________________________________________________

Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (C.1)) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben

(3.34)

Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen A(S) gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten

(3.35)

Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter

__________________________________________________________________________

Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.

_____________________________________________________________________

Wir definieren eine lineare Stromdichte

([j] = A m⁻¹). In unserem Falle hängt j und i über

zusammen. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der z-Richtung

(3.36)

Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von B parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.

Wir betrachten weiter die Komponenten Bx(x) und By(x) des Feldes B im Abstand x von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:

Wir drehen die Platte um π um die z-Achse. Die neue Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss

und damit

sein.

Wir drehen die Platte um π um die y-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um j →−j. Die Situation am Ende ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch

.

Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:

(3.37)

Um By zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt

Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 3.8.3.1, Mitte).

(3.38)

Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.

(3.39)

Die beiden Gleichungen sind einheitenmässig korrekt, da [j] = [ ] Ir = A m⁻¹ ist.

Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für eine Spule

3.8.4  Quellenfreiheit

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 111])

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.

__________________________________________________________________________

Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes

_____________________________________________________________________

Da überall auf der Integrationsfläche A gilt: B ⋅ da = 0, ist

(3.40)

Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass

ist.

__________________________________________________________________________

Integration über die Mantelfläche.

_____________________________________________________________________

An der Mantelfläche gilt mit da = h ⋅ ds (Höhe des Segmentes h)

und damit

Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen

(3.41)

Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1)) zeigt man

Quellenfreiheit des Magnetfeldes

(3.42)

oder in differentieller Form

(3.43)

Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.

3.8.5  Das B-Feld einer beliebigen Stromverteilung: das Vektorpotential A

Die Ausführungen hier folgen Leisi, Klassische Physik [Lei98, p. 114]. Für eine detailliertere Behandlung kann Landau and Lifschitz, Klassische Feldtheorie, [LL89, p. 121], Jackson, Classical elecrodynamics, [Jac75] oder Thidé, Electromagnetic Field Theory, [Thi11, p. 35] gelesen werden.

Versuch zur Vorlesung:

Magnetfelder von Leitern (Versuchskarte EM-050, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Magnetfelder von Leitern (Versuchskarte EM-050, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion B möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre (Siehe Abschnitt 2.5). Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential U(r) durch

eindeutig ein elektrisches Feld E(r) konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik

genügt. Grundlage war die Vektoridentität

die für beliebige zahlenwertige Funktionen 𝔘(r) gilt (siehe Gleichung (C.29)). Es gibt unter den Rechenregeln für Vektorableitungen (siehe Abschnitt C.8.4) eine weiter Identität mit dem Nullvektor, nämlich Gleichung (C.30).

für Vektorfunktionen 𝔉(r). Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot B = μ₀i und die Quellenfreiheit div B = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.4) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also nach Gleichung (C.30) ein beliebiges Vektorfeld A wählen und die magnetische Induktion B gleich der Rotation von A setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von B gewährleistet. Mit dem Vektorpotential A

(3.44)

werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität

(3.45)

ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität rot (rot A ) = grad (div A )−ΔA bekommen wir aus dem Ampèreschen Gesetz

(3.46)

Die Einheit des Vektorpotentials ist

Das Vektorpotential A kann immer so gewählt werden, dass div A = 0 gilt.

Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit div A = f≠0 existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld

mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren ein neues Vektorpotential

Wegen Gleichung (3.47c) gilt dann

Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Die Physik beschrieben durch A und durch A′ ist ununterscheidbar. Das bedeutet, wir haben eine Freiheit, A zu verändern, so dass Rehnungen effizienter werden, aber ohne dass sich ddas Physikproblem ändert. Wegen Gleichung (3.47c) gilt auch

Zu jedem Vektorpotential A kann ein Vektorpotential A′ gefunden werden, so dass div A′ = 0 ist.

Diese Eichung heisst Coulombeichung.

Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von B gehörenden Potentiale nennt man Eichung.

In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential.

Da div A = f eine beliebige zahlenwertige Funktion sein kann, kann diese zum Beispiel auch die zeitliche Ableitung des elektrischen Potentials sein, also auch

(3.48)

sein. Diese Lorentzeichung ist relativistisch invariant und wird deshalb gerne in der Relativitätstheorie und der Quantenfeldtheorie verwendet.

Folien 3.5:
Folien zur Vorlesung vom 08. 06. 2009

Aus der Gleichung (3.46) für das Vektorpotential einer Stromverteilung in der Coulombeichung (Gleichung (3.47c))

(3.49)

kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,

(3.50)

Aus der Beziehung rot A = B (Siehe Landau und Lifschitz, Klassische Feldtheorie [LL89, pp. 121]) bekommen wir

(3.51)

Nun bezieht sich die Rotation nur auf r, nicht aber auf r′. Deshalb kann sie unter das Integral gezogen werden.

(3.52)

Nun gilt für die Rotation eines Produktes (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 468])

Dabei ist f = f(r eine beliebige zahlenwertige Funktion und F = F(r) eine beliebige vektorwertige Funktion. Wir identifizieren in Gleichung (3.52) |r−1r′| → f und i(r ′) →F.

Weiter ist der Vektor i(r′) bezüglich der Rotation eine Konstante, da er nur von r′ und nicht von r abhängt. Weiter darf die Ableitung irgend eines Punktes nicht davon abhängen dass das Koordinatensystem um einen konstanten Vektor verschoben wurde. Wir rechnen deshalb die Ableitungen in der Rotation, beziehungsweise im Gradienten, nicht bezüglich r sondern bezüglich des verschobenen Koordinatensystems ρ = r −r′ aus. Es ergibt sich dann die Kette von Umwandlungen

Die letzte Zeile ergibt sich, da für die Zwecke der Integration r eine Konstante ist. Auch hier muss das Resultat der Integration unabhängig davon sein, dass wir das Koordinatensystem verschoben oder das Vorzeichen geändert haben. Deshalb darf man i(r′) = i(r −r′) = i(ρ) setzen.

Wir betrachten nun einen infinitesimal dünnen Strom dIeDraht(r′) = iDraht = Idℓ. Der Vektor eDraht ist ein Einheitsvektor entlang des Drahtes. Da iDraht überall null ist ausser auf dem eindimensionalen Draht, wird aus dem Volumenintegral ein eindimensionales Integral. Wieder ist es für die Integration egal, ob wir iDraht von r′ oder von ρ abhängen lassen.

(3.54)

Diese Gleichung ist bekannt als das Gesetz von Biot-Savart. Biot-Savart fand das Gesetz empirisch, Laplace fand die mathematisch korrekte Form. Mit dem gesetz von Biot-Saavrt kann man das Feld einer beliebigen Leiteranordnung berechnen.

Auch wenn sie physikalisch keine Bedeutung hat, kann es sinnvoll sein in Zwischenschritten die differentielle Formulierung zu verwenden,

(3.55)

Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung!

Beispiel:

Wir hatten in Abbildung 3.8.3.1 gesehen, dass ein homogener Strom in die +z-Richtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form

(3.56)

Für x = 0 ist By nicht definiert.

__________________________________________________________________________

Darstellung von B in einer (x = const)-Ebene. Die Strom-Ebene liegt bei x = 0.

_____________________________________________________________________

Das zu Gleichung (3.56) gehörige Vektorpotential ist

Wieder ist A für x = 0 nicht definiert. Aus B = rot A bekommt man

__________________________________________________________________________

z-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in z-Richtung in der (x = 0)-Ebene.

_____________________________________________________________________

Beispiel:

Das Vektorpotential

ergibt das magnetische Feld für einen in der z-Richtung laufenden Strom I

In Zylinderkoordinaten (r,𝜃,z) gehört zum Magnetfeld

das Vektorpotential

3.9  Hall-Effekt

Literatur

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 831]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 126])

Versuch zur Vorlesung:

Halleffekt (Versuchskarte EM-023, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Halleffekt (Versuchskarte EM-023, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Hall-Effekt

________________________________________________________________

Wenn Elektronen mit der Geschwindigkeit v durch ein Metall in einem Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B fliessen (in einer Geometrie wie im obigen Bild), werden sie von der Lorentzkraft

nach unten abgelenkt. Man kann sich dies klar machen, indem man annimmt, der gesamte Metallstreifen werde mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da der Leiter eine begrenzte Ausdehnung hat, laden sich die Grenzflächen auf. Das elektrische Feld bewirkt eine Kraft FE = eE nach oben auf die Elektronen. Im Gleichgewicht gilt FL + FE = 0, oder

(3.1)

Eine Einheitsladung, die langsam von A nach B herumgeführt wird, erfährt vom elektrischen Feld eine Arbeit h⋅E, so dass diese elektromotorische Kraft als Spannung am Voltmeter abgelesen werden kann. Durch Kombination mit der Gleichung (3.1) bekommt man für die Hallspannung

(3.2)

Die Hallspannung für ein einzelnes Teilchen ist unabhängig vom Material. Bei vielen Ladungsträgern muss die Geschwindigkeit v durch die Driftgeschwindigkeit ⟨v⟩ der Ladungsträger ersetzt werden. ⟨v⟩ ist materialabhängig. Strom I und Driftgeschwindigkeit ⟨v⟩ hängen über

zusammen. b ist hier die Dicke des Leiters und n die Ladungsträgerdichte.

Die Hallspannung hängt dann wie

(3.3)

von Strom und Spannung ab. Für Elektronen (q = −e) erhalten wir dann

Bemerkung: Die Hallspannung kann zur Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration verwendet werden.

3.10  Die Lorentztransformation der Felder E und B

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])

Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt (Siehe Abschnitt 3.9), nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.

__________________________________________________________________________

Bewegte magnetische Induktion und elektrische Felder.

_____________________________________________________________________

Die obige Abbildung zeigt homogene magnetische Induktionen und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit v₀ bewegt werden ergibt sich auch eine magnetische Induktion.

Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist

(3.1)

wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Die magnetische Induktion ist

(3.2)

Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S′ müssen nun berechnet werden. Auch in S′ sind die Platten homogen geladen. Also haben wir

(3.3)

und

(3.4)

Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ′ und v₀

wenn σ₀ das Ruhesystem der Ladungen und γ₀ = ( v2) 1 − -0c2−1∕2 ist. Wir bekommen

(3.6)

und damit

Mit

berechnet man

Damit ist

(3.9)

und

(3.10)

Damit sind die transversalen Felder Bx′ und Ez′ in S′ Linearkombinationen der Felder Bx und Ez in S.

Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem man die obige Anordnung um π∕2 um die y-Achse dreht. Dann gehen

über. Die Transformationsgleichungen sind dann

__________________________________________________________________________

Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des B-Feldes (rechts).

_____________________________________________________________________

Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das elektrische Feld eines Plattenkondensators⁷ nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist

Dann ist auch

(3.16)

Die Transformationseigenschaften der magnetischen Induktion können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Die magnetische Induktion in der Spule ist

(3.17)

wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = Q ist

(3.18)

Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann

(3.19)

Mit der Längenkontraktion L′ = γL und der Zeitdilatation dt′ = dt∕γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit

(3.20)

ist.

Bei einer Bewegung in die y-Richtung mit v = (0,vy,0) (γ = 1∕∘ --------- 1 − v2y∕c2) werden die elektrischen und magnetische Induktion wie

transformiert.

Im Vakuum gilt B = μ₀H = -H-- 𝜀0c2. Die Lorentztransformation für elektrische und magnetische Felder ist dann

Setzen wir noch D = 𝜀₀E erhalten wir

3.11  Lorentztransformation für allgemeine Felder und Geschwindigkeiten

Die oben genannten Transformationen in den Gleichungen (3.21) können für beliebige Richtungen verallgemeinert werden [Wik20b]. Dabei müssen die Feldkomponenten von E und B senkrecht zur Geschwindigkeit v und parallel dazu getrennt betrachtet werden.

Die Parallel- und die Senkrechtkomponente bekommen wir mit

Die Transformationsgleichungen mit den Feldkomponenten nach Gleichungen (3.1) sind dann

Wenn wir die transformierten Felder aus den Gleichungen (3.2) wieder zusammensetzen erhalten wir

Nun setzen wir die Senkrecht- und Parallelkomponenten aus den Gleichungen (3.1) wieder ein und erhalten aus den Gleichungen (3.3)

Die Gleichungen (3.4) können noch kompakter geschrieben werden

Mit den Gleichungen (3.5) können nun die Lorentztransformationen für beliebig ausgerichtete Felder und Geschwindigkeiten berechnet werden.

3.12  Zusammenfassung: Ströme

Makroskopischer Strom

Gleichung (3.1)

Mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger

Gleichung (3.5)

Stromdichte

Vektorfeld Gleichung (3.6)

Gesamtstrom

Gleichung (3.8)

Strom bei mehreren Ladungsträgern

Gleichung (3.9)

Kontinuitätsgleichung

Integralform Gleichung (3.15)

Differenzialform Gleichung (3.16)

Ohmsches Gesetz

lokal Gleichung (3.2)

integral Gleichung (3.4)

Stromdichte und Relaxationszeit

Gleichung (3.14)

Leitfähigkeit und Relaxationszeit

Gleichung (3.15)

Potential und Leitfähigkeit

Gleichung (3.23)

Serienschaltung von Widerständen

Gleichung (3.30)

Serienschaltung von Leitwerten

Gleichung (3.31)

Parallelschaltung von Widerständen

Gleichung (3.33)

Parallelschaltung von Leitwerten

Gleichung (3.32)

Leistung und Strom

Gleichung (3.8)

Magnetische Kraft zweier paralleler Leiter

Gleichung (3.1)

Magnetische Kraft auf eine sich parallel zu einem Strom bewegende Ladung

Gleichung (3.22)

Lorentz-Kraft

Gleichung (3.1)

Induktionskonstante

Gleichung (3.3)

Magnetfeld eines geraden Leiters mit dem Strom I

Gleichung (3.4)

Kraftgesetz der Elektrodynamik

Gleichung (3.13)

Biot-Savart-Kraft

Gleichung (3.16)

Ampèresches Durchflutungsgesetz, Integralform

Gleichung (3.32)

Magnetisches Moment

Gleichung (3.33)

Ampèresches Durchflutungsgesetz, differentielle Form

Gleichung (3.35)

Quellenfreiheit von B, Integralform

Gleichung (3.42)

Quellenfreiheit von B, differentielle Form

Gleichung (3.43)

Ampèresches Durchflutungsgesetz und Quellenfreiheit(Vektorpotential)

Gleichung (3.49)

Berechnung des Vektorpotentials

Gleichung (3.50)

Integralform des Gesetzes von Biot-Savart

Gleichung (3.54)

Hall-Spannung

Gleichung (3.3)

Lorentztransformation der Felder

Gleichung (3.21)

Lorentztransformation der Felder

Gleichung (3.22)

Lorentztransformation für beliebige Geschwindigkeiten

Gleichung (3.5)

4  Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische Induktionen

Das allgemeine Kraftgesetz für statische Felder lautet

(4.1)

Bei zeitlich sich ändernden Feldern kommen neue Effekte hinzu, der Verschiebungsstrom und die Induktion.

4.1  Das Faradaysche Induktionsgesetz

4.1.1  Eine bewegte Leiterschleife in einem stationären B-Feld

__________________________________________________________________________

Induktion eines Stromes in einer in einer inhomogenen magnetischen Induktion bewegten Leiterschlaufe.

_____________________________________________________________________

Wir bewegen eine Leiterschlaufe mit der Geschwindigkeit v aus dem begrenzten Gebiet mit einer homogenen magnetischen Induktion heraus. Auf die beweglichen Ladungsträger, hier positiv angenommen, wirkt die Lorentzkraft FL. Auf den horizontalen Teilen der Leiterschlaufe kennen wir den Effekt: eine Hallspannung (Siehe Abschnitt 3.9) auf. Im vertikalen Teil im Magnetfeld bewirkt die Hallspannung eine Beschleunigung der Ladungsträger. Nach der Definition der elektromotorischen Kraft (Siehe Gleichung (3.9)) haben wir

(4.1)

Hat die Drahtschlaufe den Widerstand R, so fliesst der Strom

(4.2)

Versuch zur Vorlesung:

Induktion (Versuchskarte EM-025)

Versuch zur Vorlesung:

Induktion im Erdfeld (Versuchskarte EM-027, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Induktion im Erdfeld (Versuchskarte EM-027, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

4.1.2  Der magnetische Fluss

Literatur

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 138]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 876])

Im Zusammenhang mit den elektrischen Feldern E hatten wir den elektrischen Fluss ϕE (Siehe Abschnitt 2.3) eingeführt. Hier bewegen wir die Leiterschlaufe mit der Geschwindigkeit v, wir ändern damit die von der magnetischen Induktion ( auch magnetische Flussdichte genannt) durchflossene Fläche A um die Grösse da = −dℓ ⋅ b. Da die Geschwindigkeit v = dℓ∕dt ist, können wir auch schreiben

(4.3)

schreiben. Wir definieren den

magnetischen Fluss

(4.4)

durch die von der geschlossenen Kurve S berandete Fläche A.

Damit ist die induzierte EMK

(4.5)

Sie wird durch den zeitlich sich ändernden Fluss erzeugt.

Die Einheit des magnetischen Flusses ist Weber.

(4.6)

Das Minuszeichen in den Gleichungen für den magnetischen Fluss rührt daher, dass eine Geschwindigkeit in die positive x-Richtung eine Verkleinerung der Fläche A bewirkt.

Die durch den Strom erzeugte magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion B ist so gerichtet, dass die Bewegung der Spule gebremst wird. Dieses Verhalten wird in der Lenzschen Regel zusammengefasst:

Die Induktionsspannung und der Strom, den sie bewirkt, sind stets so gerichtet, dass sie der Ursache entgegenwirken.

________________________________________________________________

Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. Der magnetische Nordpol ist üblicherweise rot, der Südpol grün markiert.

_____________________________________________________________________

Eine Spule erzeugt ein axiales Magnetfeld oder eine magnetisce Induktion. Die Richtung des Magnetfeldes (oder der magnetischen Induktion) wird mit der Rechten Hand-Regel aus der Stromrichtung abgeleitet. Ein Stabmagnet erzeugt ein gleiches Magnetfeld (oder magnetische Induktion) wie eine Spule.

Die Nord- und Südpole der Magnete sind so definiert: Die B-Feldlinien laufen vom Nordpol zum Südpol. Der Nordpol ist rot markiert, der Südpol grün.

________________________________________________________________

Induzierte Spannung

________________________________________________________________

Bewegt man einen Metallring mit der Geschwindigkeit v von einem Stabmagneten weg, so bewirkt die Lorentzkraft einen Strom I, der eine magnetische Induktion (magnetische Flussdichte) Bind induziert. Diese magnetische Induktion ist so gerichtet, dass sie gleichsinnig wie die magnetische Induktion des Stabes ist. Der Metallring wird also vom Stabmagneten angezogen und in seiner Bewegung nach rechts gebremst (Lenzsche Regel).

__________________________________________________________________________

Vorzeichen der magnetischen Induktion und der induzierten Spannung beim Ein- und Ausschalten.

_____________________________________________________________________

Hier wird eine magnetische Induktion (magnetische Flussdichte) eingeschaltet. Die Richtung der Feldlinien wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt. Eine zeitlich zunehmende magnetische Induktion in der rechten Spule ist äquivalent zu einer Bewegung der rechten Spule im inhomogenen Feld (links intensiver als rechts) nach links. Dabei zeigt die relevante Feldkomponente nach aussen. Aus der Rechten Hand-Regel ergibt sich die angegebene Stromrichtung. Nach dem Ausschalten des erregenden Stromes nimmt die Intensität der magnetischen Induktion ab. Dies ist äquivalent zu einer Bewegung der rechten Spule nach rechts, bei gleichbleibender Richtung der magnetischen Induktion. Entsprechend dreht sich die Richtung des Stromes um.

__________________________________________________________________________

Selbstinduktion

________________________________________________________________

Wenn eine Spule von einem Strom durchflossen ist, wird dadurch eine magnetische Induktion (oder Magnetfeld) erzeugt. Wenn nun der Strom durch die Spule geändert wird, wird eine Spannung induziert, die wie im vorigen Falle so gerichtet ist, dass sie der Änderung der magnetischen Induktion (oder des Magnetfeldes) entgegenwirkt, so also auch der Änderung des durch die Spule fliessenden Stromes. Im besonderen Falle, dass der Strom abgeschaltet wird, dass also der Widerstand im Stromkreis um viele Grössenordnungen steigt, bildet sich eine sehr hohe Spannung.

Anwendungen

Zündspule bei Benzinmotoren

Erzeugung der Beschleunigungsspannung in Fernsehröhren

Teslatransformator, siehe auch

Versuch zur Vorlesung:

Tesla-Transformator (Versuchskarte EM-064, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

4.1.3  Induktionsgesetz von Faraday, Integral- und Differentialform

Wir betrachten die Situation in der Abbildung 4.1.1 im Ruhesystem S′ der Schleife. Im Laborsystem S ist das Magnetfeld

in die z-Richtung gerichtet. Die Geschwindigkeit zeigt in die y-Richtung. Mit der Lorentztransformation (3.21) berechnen wir die Felder im System S′. Wir erhalten

Die Leiterschleife ist im System S′ in Ruhe. Also muss die EMK durch das elektrische Feld erzeugt werden.

(4.8)

Die Flussänderung ist

(4.9)

Somit lauten das Induktionsgesetz und das Ohmsche Gesetz

Somit gilt für die EMK die Transformation

(4.11)

Die Gleichungen (4.11) gelten in jedem Falle. Wenn v « c ist, kann man die Unterschiede im Strom I, in der EMK UEMK und im Magnetfeld B vernachlässigen.

Die Transformationseigenschaften zeigen, dass das Induktionsgesetz auch bei stationären Leiterschleifen und zeitlich ändernden Magnetfeldern gelten muss (wir begeben uns in das System S′). Die Wirkungen der Felder B und E sind unabhängig von ihrer Entstehung.

Versuch zur Vorlesung:

Magnetische Induktion (Versuchskarte EM-051, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Magnetische Induktion (Versuchskarte EM-051, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Für einen beliebig geformten ruhenden Leiter (gegeben durch die Kurve S) in einem zeitlich ändernden Magnetfeld gilt für die EMK

(4.12)

Da der Leiter in Ruhe ist, muss die EMK durch ein elektrisches Feld erzeugt sein.

(4.13)

und damit

(4.14)

Bei einer bewegten Leiterschlaufe kann der magnetische Fluss sich ändern,

weil sich der Fluss mit der Zeit ändert und/oder

weil sich die Berandung bewegt, sich ihr Ort also ändert.

Für eine bewegte Leiterschlaufe muss das elektrische Feld E′ im bewegten Bezugssystem und die magnetische Induktion B im Laborsystem berechnet werden[Jac75, p. 210]. ds′ ist das Linienelement im Ruhesystem, in dem E′ gemessen wird. Wir erhalten

(4.15)

Mit der Gleichung(C.40) für die Beziehung zwischen zeitlichen Ableitungen in Ruhesystemen und mitgeführten Systemen und dem Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.1)) erhalten wir

∮ ∬ U ′ = E ′ ⋅ ds ′ = −-d B ⋅ da EMK dt S[ A(S) ] ∬ ∂-- = − ∂tB + rot (B × v) ⋅ da A(S) ∬ ∂ ∮ ′ = − --B ⋅ da − (B × v) ⋅ ds A(S)∂t S

(4.16)

Dies kann auch so geschrieben werden:

(4.17)

Wenn man sich nach Jackson [Jac75, p. 212] alternativ vorstellt, dass der Weg S zu einem Zeitpunkt fix im Raum ist, gilt auch

(4.18)

Deshalb erhalten wir für das elektrische Feld E im Laborsystem

(4.19)

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist ds = ds′.

Damit ist

(4.20)

Weiter kann man daraus die Lorentzkraft ablesen:

(4.21)

Zurück zum Faradayschen Induktionsgesetz: Mit Gleichung (4.20) kann in Gleichung (4.17) E′ eliminiert werden. Das universelle Induktionsgesetz von Faraday lautet

(4.22)

Mit dem Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.1)) erhält man

(4.23)

Für zeitunabhängige Berandungen A(S) darf man Ableitung und Integral nicht vertauschen. Das Induktionsgesetz lautet dann

Da diese Integralgleichung für beliebige Kurven S gelten muss, also auch für infinitesimal kleine, erhalten wir die differentielle Form des Faradayschen Induktionsgesetzes

(4.24)

Bei der Ableitung des Faradayschen Induktionsgesetzes haben wir von der Kleinheit der Geschwindigkeiten Gebrauch gemacht, explizit und implizit. Eine relativistisch korrekte Rechnung führt auf die gleichen Ergebnisse.

4.1.4  Wirbelströme

Versuch zur Vorlesung:

Fallrohre (Versuchskarte EM-057, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Fallrohre (Versuchskarte EM-057, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Wirbelströme in Metallen

_____________________________________________________________________

Wenn sich ein Metallstück in einem inhomogenen Magnetfeld befindet, dann muss für jede Bahnkurve S das Faradaysche Induktionsgesetz gelten. Da der Leiter einen spezifischen Widerstand ρel hat, fliesst bei einer Änderung des Flusses durch S, zum Beispiel, indem man den Leiter bewegt, ein durch die induzierte Spannung getriebener Strom. Die Richtung des Stromes ist so, dass er sich einer Änderung des magnetischen Flusses widersetzt. Bei einem perfekten Leiter, müssten enorm grosse Kräfte aufgebracht werden, um das Metallstück mit einer minimalen Geschwindigkeit bewegen zu können. Durch die Dissipation im Ohmschen Leiter wird der induzierte Strom geschwächt, so dass die der Bewegung entgegengesetzte Kraft umso kleiner ist, je schlechter die Leitfähigkeit des Metalls ist.

Um die Grössenordnung des Wirbelstromes abzuschätzen betrachten wir lokal ein Stück Metall das mit der Geschwindigkeit vy durch eine magnetische Induktion in die x- Richtung, Bx, gezogen wird. Wir betrachten die Felder im Ruhesystem der Platte. Aus den Lorentz-Transformationen erhalten wir

da v²∕c² « 1 ist. Lokal gilt der Zusammenhang

(4.26)

Weiter können mit P = IU mit i = I∕A und Ez′ = U∕d und der Bezeichnung für das Volumen V = Ad schreiben

(4.27)

Andererseits hängt die dissipierte Leistung pro Volumen von der Volumenkraft FV und der Geschwindigkeit vy ab.

(4.28)

Die Volumenkraft ist also

(4.29)

Die Berechnung wurde anhand eines unendlich ausgedehnten Leiters in einem Magnetfeld gemacht. Endliche Leiter und endliche Magnetfelder bewirken, dass der Effekt nur an den Grenzen vorhanden ist.

__________________________________________________________________________

Bewegung eines Leiters aus einem Magnetfeld.

_____________________________________________________________________

Im Ruhesystem des Leiters bewirkt das elektrische Feld eine Bewegung der Ladungsträger an die Seiten des Leiters (analog wie beim Halleffekt). Dadurch wird ein Gegenfeld aufgebaut, bis die Bewegung der Ladungsträger zum Erliegen kommt (Siehe Abbildung 4.1.4, linke Seite). Wenn der Leiter den Bereich des Magnetfeldes verlässt (wir nehmen eine scharfe Grenze an, dann gleichen sich die Ladungen aus. Die Ströme erzeugen wegen der endlichen Leitfähigkeit σ eine Wärmeleistung, das heisst es gibt eine Gegenkraft. Kondensatoren werden exponentiell entladen, so dass die Wirkung des ändernden Feldes lokal begrenzt ist. Auf der anderen Seite des Magnetfeldes tauchen die gleichen Effekte auf, aber beim Laden des Kondensators. Auch dort nimmt der Strom exponentiell ab beim Entfernen von der Grenze. Warum heisst es dann doch Wirbelströme? Wir haben einen Stromkreis, bei dem die magnetische Induktion die elektromotorische Kraft bewirkt (wie beim van de Graaff-Generator). Während im Ruhesystem des Leiters die Effekte durch das elektrische Feld erklärt werden, müssen sie im Laborsystem mit Flussänderung und magnetischer Induktion beschrieben werden.

In Transformatoren ist die magnetische Induktion parallel zum Eisen, die Wirbelströme transversal dazu. Die Wirbelströme können vermindert werden, indem das Metall geschlitzt wird oder in Lagen mit Isolatoren dazwischen gebündelt wird.

Anwendungen

Wirbelstrombremse beim ICE

Retarder in LKWs

Dämpfung von Schwingungen in Rastertunnelmikroskopen

In Transformatoren und Motoren verwendet man geschlitzte Bleche

Beispielswerte

_________________________________________________________________

Cu

Al

Fe

Ti

Gd

B∕T →
0.1
1
0.1
1
0.1
1
0.1
1
0.1
1

v∕(m s⁻¹)

0.01
5.8 ⋅ 10⁻⁵
5.8 ⋅ 10⁻³
3.7 ⋅ 10⁻⁵
3.7 ⋅ 10⁻³
0.00001
0.001
2.56 ⋅ 10⁻⁶
0.000256
7.40 ⋅ 10⁻⁷
0.000074

0.1
5.8 ⋅ 10⁻⁴
5.8 ⋅ 10⁻²
3.7 ⋅ 10⁻⁴
3.7 ⋅ 10⁻²
0.0001
0.01
0.0000256
0.00256
7.40 ⋅ 10⁻⁶
0.00074

1
5.8 ⋅ 10⁻³
5.8 ⋅ 10⁻¹
3.7 ⋅ 10⁻³
0.37
0.001
0.1
0.000256
0.0256
0.000074
0.0074

10
5.8 ⋅ 10⁻²
5.8
3.7 ⋅ 10⁻²
3.7
0.01
1.
0.00256
0.256
0.00074
0.074

Wirbelstromkräfte in N m⁻³ von Magneten mit 0.1 T und 1 T auf Platten mit der Geschwindigkeit vaus verschiedenen Materialien.

__________________________________________________________________________________________________________________

4.1.5  Unendlich lange Spule

Eine unendlich lange Spule kann man sich aus kreisförmigen Leitern zusammengesetzt denken.

__________________________________________________________________________

Die magnetische Induktion am Punkt 0 auf der z-Achse kann berechnet werden, indem mit Gleichung (3.55) die magnetische Induktion eines Rings mit der Stromdichte I ⋅ n ⋅ dz berechnet wird und dann über alle Ringströme addiert wird.

_____________________________________________________________________

Wir berechnen zuerst die magnetische Induktion eines Kreisringes mit dem Radius r im Abstand z vom Nullpunkt (r′ = (x,y,z)) am Nullpunkt (r = (0, 0, 0)). Ausgehend von Gleichung (3.55) schreiben wir für einen Kreisring auf der Position z mit dem Radius r für ρ.

Da r konstant ist, schreiben wir x und y als Funktion des Winkels ϕ

Der Strom I soll im Gegenuhrzeigersinn umlaufen, also in positiver Richtung. Ein Längenelement entlang des Kreisringes ist

Das Vektorprodukt dℓ ×ρ ergibt

Mit dem Strom pro Windung I wird die magnetische Induktion am Punkte (0,0, 0)

Die x- und die y-Komponenten von dℓ ×ρ enthalten eine Winkelfunktion zur ersten Potenz und ergeben bei einer Integration von 0 nach 2π null. Die z-Komponente der magnetischen Induktion ist

(4.30)

Die magnetische Induktion einer unendlich langen Spule bekommt man, indem wir den Strom I durch das Produkt aus Strom I, der Windungszahl pro Länge (Windungsdichte) n und dem Längenelement dz ersetzen und integrieren.

(4.31)

Wird die unendlich lange Spule bei z = 0 geteilt, tragen beide Spulenhälften gleichviel zur magnetischen Induktion bei z = 0 bei. Wird nun eine Hälfte entfernt, so ist die magnetische Induktion auf der Spulenachse

(4.32)

Endlich lange Spulen der Länge ℓ » r verhalten sich wie unendlich lange Spulen. Wenn sich auf der Länge ℓ N Windungen befinden, haben wir

(4.33)

4.1.6  Transformator

Der magnetische Fluss in einer Spule entsteht durch Ströme in dieser Spule selber, oder in anderen Spulen. Nach dem Gesetz von Laplace oder Biot-Savart (Siehe Gleichung (3.55)) ist die magnetische Induktion proportional zum Strom. Somit ist auch der Fluss ϕB proportional zum Strom. Diese Proportionalität wird mit

(4.34)

ausgedrückt, wobei L die Selbstinduktivität der Spule ist.

Die Einheit der Induktivität ist

Folien 4.6:
Folien zur Vorlesung vom 22. 06. 2009

In den meisten Fällen ist es schwierig, die Selbstinduktivität einer Schaltung zu berechnen. Für eine lange, dicht gewickelte Spule ergibt Gleichung (4.33) die magnetische Induktion

(4.35)

Dabei ist N = n ⋅ ℓ die Anzahl Windungen auf der Länge ℓ. Die magnetische Induktion B hängt von der Dichte der Windungen ab, nicht aber von der Länge der Spule. Für den Fluss ΦB brauchen wir die magnetische Induktion und die gesamte eingeschlossene Fläche. Die Spule habe den Querschnitt A. Diese gesamte eingeschlossene Fläche ist dann N mal die Fläche A einer einzelnen Windung, also N ⋅ A. Deshalb ist der Fluss

(4.36)

Damit ist die Induktivität der Spule

(4.37)

Die magnetische Permeabilität μ₀ kann also auch als

(4.38)

Die Änderung der Stromstärke bedingt eine Änderung des magnetischen Flusses.

(4.39)

Somit wird mit Gleichung (4.5)

(4.40)

Mit dieser Gleichung wird die Funktionsweise des Funkeninduktors klar.

Versuch zur Vorlesung:

Funkeninduktor (Versuchskarte EM-017, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Funkeninduktor (Versuchskarte EM-017, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Zwei gekoppelte Stromkreise

_____________________________________________________________________

Der magnetische Fluss am Punkt P₂ hängt sowohl vom Strom I₂ wie auch vom Strom I₁ ab:

(4.41)

Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P₁ von beiden Strömen ab

(4.42)

Neben der Selbstinduktivität Li müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten Mij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab.

__________________________________________________________________________

Symbolische Darstellung eines Transformators

________________________________________________________________

Im allgemeinen ist es schwierig, die Gegeninduktivitäten zu berechnen. Bei zwei ineinander gewickelten Spulen, einem Beispiel für einen Transformator, gelingt dies. Wir wollen das Beispiel verwenden, um zu zeigen, dass M₁₂ = M₂₁ ist. Durch die Spule 1 (Länge ℓ, Radius r₁, Windungsdichte n₁ = N₁∕ℓ) fliesst der Strom I₁, durch die zweite Spule 2 (Länge ℓ, Radius r₂, Windungsdichte n₂ = N₂∕ℓ) soll der Strom I₂ fliessen. Da wir lange Spulen betrachten, ist das Magnetfeld im Inneren der Spulen homogen. Also ist

(4.43)

Ausserhalb der Spule 1 ist das Magnetfeld B₁ = 0 (Annahme einer langen Spule). Deshalb ist der Fluss durch den Strom I₁ für die Spule 2 gegeben durch

(4.44)

Die Gegeninduktivität M₁₂ ist also

(4.45)

Im entgegengesetzten Falle beginnen wir mit

(4.46)

Der für die Spule 1 relevante Fluss ist durch die von der Spule 1 umschlossene Fläche, also N₁(πr₁²) gegeben.

(4.47)

Damit wird die Gegeninduktivität

(4.48)

Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein (ohne Beweis).

__________________________________________________________________________

Schematischer Aufbau eines Transformators

________________________________________________________________

Die in einem Transformator induzierte Spannung kann wie folgt berechnet werden. In der Spule 1 fällt die Spannung

(4.49)

ab. Diese Spannung muss durch die Wechselspannungsquelle U erzeugt werden, so das

(4.50)

ist. Durch die Anordnung des Eisens wird erreicht, dass der gesamte durch die erste Spule erzeugte magnetische Fluss durch die zweite Spule fliesst. Dort haben wir die induzierte Spannung

(4.51)

und somit

(4.52)

N₂∕N₁ heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators.

Wird der Ausgang des Transformators mit dem Ohmschen Widerstand R belastet, fliesst der Strom I₂, der zu U₂ in Phase ist. Dieser Strom erzeugt einen magnetischen Fluss ϕB′∝ N₂I₂, der den ursprünglichen Fluss ϕB durch die Spule 2 schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der Strom I₁ auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass ϕB′∝ N₁I₁ gilt. Da die Proportionalitätsfaktoren bis auf das Vorzeichen gleich sind, gilt dann auch

(4.53)

Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit

(4.54)

sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen also verlustfrei Leistung.

Versuch zur Vorlesung:

Hochspannungsleitung (Versuchskarte EM-161, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Hochspannungsleitung (Versuchskarte EM-161, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Versuch zur Vorlesung:

Transformatorenversuche, Teil Hochspannung (Versuchskarte EM-066, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Transformatorenversuche, Teil Hochstrom (Versuchskarte EM-066, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Transformatorenversuche (Versuchskarte EM-066, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

4.1.7  Kirchhoffsche Gesetze

__________________________________________________________________________

Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel.

_____________________________________________________________________

In einer komplizierten elektrischen Schaltung betrachtet man eine einzelne Masche. Nach der Definition der EMK muss eine Probeladung langsam um die Masche herumgeführt werden. Dies führt auf die Maschenregel

(4.55)

wobei die Vorzeichen entsprechend dem Umlaufsinn einzusetzen sind. In unserem Beispiel bedeutet dies:

Die Knotenregel ist ein Ausdruck für die Ladungserhaltung. Wenn wir zum Beispiel alle zufliessenden Ströme positiv und alle wegfliessenden Ströme negativ zählen (oder umgekehrt), gilt an jedem Knoten

(4.56)

Mit diesen beiden Regeln sowie der Kenntnis der Charakteristika der Bauelemente kann jede statische oder quasistatische elektronische Schaltung berechnet werden.

Versuch zur Vorlesung:

Berechnung von Spannungen in einem Netzwerk (Versuchskarte Applet)

4.1.8  Wechselstromkreise, Impedanzen

Versuch zur Vorlesung:

Einfache Wechselstromkreise (Versuchskarte Applet)

In diesem Abschnitt betrachten wir die Wirkung von cosinusförmigen Wechselspannungen

(4.57)

Alternativ können die Spannungen und Ströme auch als komplexe Zahlenwerte geschrieben werden

(4.58)

Diese Rechnung mit komplexen Zahlen ist oft einfacher. Sie wird häufig in der Elektrotechnik verwendet.

Vorsicht: Die komplexe Schreibweise gilt nur bei linearen Gleichungen. Wenn nichtlineare Funktionen vorhanden sind, muss anstelle von U (t) mit 1 ∗ 2 (U (t) + U (t)) verwendet werden. Für andere Grössen gilt dies analog.

4.1.8.1. Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Die Zeitskala für die Wechselspannung wird so gewählt, dass φ = 0 ist. Weiter setzen wir voraus, dass die zeitliche Änderung aller Grössen so gering sind, dass wir wie im stationären Falle rechnen können, dis ist der quasistationäre Fall.

__________________________________________________________________________

Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen

_____________________________________________________________________

Da bei Wechselspannungen a priori keine Stromrichtung vorgegeben ist, definiert man, zum Beispiel wie in der Abbildung oben, die Stromrichtung zu einem bestimmten Zeitpunkt, hier für t = 0. Zu jedem Zeitpunkt muss die Spannung im Stromkreis insgesamt null sein. Also ist

(4.59)

und mit dem Ohmschen Gesetz

(4.60)

oder

(4.61)

Der Strom und die Spannung erreichen immer dann einen Extremwert, wenn ωt ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Der durch einen Widerstand fliessende Strom ist in Phase mit der Spannung.

Die momentane Leistung am Widerstand ist

(4.62)

Der Mittelwert der Leistung ist (⟨cos2ωt ⟩ t = 1∕2)

(4.63)

Unter dem Effektivwert der Spannung (des Stromes) versteht man diejenige Gleichspannung, die an einem Ohmschen Widerstand die gleiche Verlustleistung erzeugt. Also ist für sinusförmige Spannungen

(4.64)

beziehungsweise

(4.65)

Für beliebige Spannungsverläufe (Stromverläufe) ist der Effektivwert (auch Root-Mean-Square (RMS)-Wert von «Root Mean Square »)

(4.66)

wobei T eine Zeit ist, die bei periodischen Signalen der Periodendauer entspricht und bei zufälligen Signalen lang gegenüber der charakteristischen Zeitdauer der Schwankungen sein muss. Für Ströme gilt die analoge Formel

(4.67)

Versuch zur Vorlesung:

Wechselstromwiderstand (Versuchskarte EM-053, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Wechselstromwiderstand (Versuchskarte EM-053, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

4.1.8.2. Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis, komplexe Rechnung

Wieder wird die Zeitskala für die Wechselspannung wird so gewählt, dass φ = 0 ist. Und wieder setzen wir voraus, dass die zeitliche Änderung aller Grössen so gering sind, dass wir wie im stationären Falle rechnen können. Wir dies den quasistationären Fall. Wir verwenden wieder die Bedingungen und die Anordnung von Abbildung 4.1.8.1. Zu jedem Zeitpunkt muss die Spannung im Stromkreis insgesamt null sein. Wir setzen U = U0 exp (iωt ) mit U0 ∈ ℝ . Dann ist

(4.68)

und mit dem Ohmschen Gesetz

(4.69)

oder

(4.70)

Komplexe Zahlen sind nicht direkt messbar, unsere Welt ist reell. Messbar sind dann

Entweder wird konsistent überall ℜ (der Realteil) oder ℑ (der Imaginärteil) verwendet.

Der durch einen Widerstand fliessende Strom ist als in Phase (δφ = 0) mit der Spannung.

Wie in Abschnitt 4.1.8 erwähnt, müssen wir bei der nichtlinearen Rechnung «momentane Leistung» mit konjugiert komplexen Werten rechnen. am Widerstand ist

(4.72)

oder schneller

P (t) = ℜ (U (t)) ⋅ ℜ (I(t))) 2 = U cos(ωt)⋅ U0-cos(ωt ) = U0-cos2(ωt) = I2R cos2(ωt) 0 R R 0

(4.73)

Wir erhalten also die gleiche Leistung P (t) wie im Abschnitt 4.1.8.1. Die weitere Rechnung geht wie in diesem vorherigen Abschnitt.

4.1.8.3. Impedanz einer Spule

__________________________________________________________________________

Spule (Induktivität) mit Wechselspannung

_____________________________________________________________________

Wir verwenden Gleichung (4.40) um die Spannung über der Spule zu berechnen. Die induzierte Spannung ist der Flussänderung entgegengesetzt. Sie wirkt so, dass die Zunahme des Stromes bei zunehmender Anregungsspannung gebremst wird. Deshalb ist

(4.74)

Setzen wir U = U₀ cos(ωt) ein, erhalten wir

(4.75)

und damit

(4.76)

Der Strom hat also den Scheitelwert

(4.77)

wobei XL = ωL die Impedanz oder der induktive Widerstand der Spule ist. Die Einheit der Impedanz ist gleich wie die Einheit des Widerstandes, das Ohm. Der Strom folgt der Spannung mit einer Phasenverschiebung von −π∕2. Für die Effektivwerte gilt Ieff = Ueff∕XL, da für sinusförmige Spannungen und Ströme der gleiche Faktor zur Umrechnung von Scheitelwerten zu Effektivwerten verwendet werden muss.

Die momentan dissipierte Leistung an einer Spule ist

(4.78)

Die dissipierte Leistung kann sowohl positiv wie auch negativ sein. Die mittlere dissipierte Leistung ist

(4.79)

Im Mittel wird also keine Leistung an einer Spule dissipiert.

4.1.8.4. Impedanz einer Spule: komplex

Dieser Abschnitt zeigt die gleiche Rechnung wie in Abschnitt 4.1.8.3, aber mit komplexen Zahlen gerechnet. Die Bezeichnungen beziehen sich auf Abbildung 4.1.8.3.

Wir verwenden wie in Abschnitt 4.1.8.3 die Gleichung (4.40) um die Spannung über der Spule zu berechnen. Alles dort gesagte gilt auch hier.

Setzen wir U (t) = U0eiωt ein, erhalten wir

(4.80)

Das ergibt

(4.81)

Der Realteil des Stromes hat also den Scheitelwert

(4.82)

wobei XL = |iωL | die Impedanz oder der induktive Widerstand der Spule ist, wie vorher.

Üblich ist hier aber mit der komplexen Impedanz

(4.83)

zu rechnen. Dies vereinfacht gewaltig die Berechnung von Netzwerken aus Induktivitäten, Kapazitäten und Widerständen nach Abschnitt 4.1.7. In der Elektrotechnik wird bevorzugt mit komplexen Impedanzen gerechnet, ja es gibt sogar Messgeräte dafür, die Impedanzanalysatoren [Wik20a].

Der Phasenfaktor − π∕2 in Gleichung (4.76) ist äquivalent zum Faktor 1∕i = − i in Gleichung (4.81).

Die momentan dissipierte Leistung an einer Spule ist mit komplexen Impedanzen gerechnet

(4.84)

wie im Abschnitt 4.1.8.3. Natürlich hätten wir auch

( ) ( ) P (t) = ℜU (t) ⋅ ℜI (t) = ℜ (U0eiωt ⋅ ℜ U0--eiωt iωL U0 U 20 = U0 cos(ωt) ⋅---sin(ωt) = --- cos(ωt)sin(ωt) ωL ωL

(4.85)

rechnen können. Der Rest ist dann wie in Abschnitt 4.1.8.3.

4.1.8.5. Impedanz eines Kondensators

__________________________________________________________________________

Kondensator mit Wechselspannung

_____________________________________________________________________

Beim Kondensator ist UC = q∕C. Diese Spannung muss gleich der treibenden Spannung sein.

(4.86)

Wir setzen U ein und erhalten

(4.87)

Der Strom ist dann

(4.88)

Wir nennen

(4.89)

die Impedanz des Kondensators. Der Scheitelwert des Stromes ist

(4.90)

Analog wie bei der Spule gilt die Gleichung Ieff = Ueff∕XC mit der gleichen Begründung auch für Kondensatoren. Die momentan dissipierte Leistung ist

(4.91)

Sie ist, analog wie bei der Spule, positiv oder negativ. Deshalb ist die mittlere dissipierte Leistung

(4.92)

4.1.8.6. Impedanz eines Kondensators: komplex

Dieser Abschnitt zeigt die gleiche Rechnung wie in Abschnitt 4.1.8.5, aber mit komplexen Zahlen gerechnet. Die Bezeichnungen beziehen sich auf Abbildung 4.1.8.5. Alles dort gesagte gilt auch hier.

Setzen wir U (t) = U eiωt 0 ein, erhalten wir

(4.93)

Der Strom ist dann

(4.94)

Wir nennen

(4.95)

die komplexe Impedanz des Kondensators. Der Realteil des Stromes hat den Scheitelwert

(4.96)

Die momentan dissipierte Leistung ist mit einer analogen Rechnung wie bei der komplexen Impedanz der Spule in Gleichung (4.84)

(4.97)

Sie ist, analog wie bei der Spule, positiv oder negativ. Deshalb ist auch hier die mittlere dissipierte Leistung null.

4.1.8.7. Idealer elektrischer Schwingkreis

Versuch zur Vorlesung:

Elektrischer Schwingkreis (Versuchskarte SW-022, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Versuch zur Vorlesung:

Elektrischer Schwingkreis (Versuchskarte Applet)

Versuch zur Vorlesung:

Elektrischer Schwingkreis (Versuchskarte Applet)

_______________________________________________

Schwingkreis

________________________________________________________________

Der Kondensator soll zur Zeit t = 0 auf die Spannung UC,0aufgeladen sein. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter geschlossen. Die Differentialgleichung dieser Schaltung lautet:

(4.98)

Wir differenzieren einmal und bekommen

(4.99)

Dies ist die aus der Mechanik bekannte Schwingungsdifferentialgleichung. Durch Analogieschluss sieht man, dass die Resonanzkreisfrequenz

(4.100)

ist.

4.1.8.8. Idealer elektrischer Schwingkreis: komplex

Dieser Abschnitt bezieht sich auf den vorherigen Abschnitt 4.1.8.7. Hier betrachten wir einen getriebenen Schwingkreis. Die treibende Spannung sei U = U0 exp (iωt). Wir interessieren uns für den resultierenden Strom I(t) = I0exp (iωt + φ). Anders gesagt, wir suchen die komplexe Impedanz Z der Schaltung, dann kann I (t) = U (t)∕Z leicht berechnet werden.

__________________________________________________________________________

LC-Parallelschwinkreis komplex. A stellt ein Ampèremeter zur Messung des Stromes dar.

_____________________________________________________________________

In Abbildung 4.1.8.8 haben wir eine Parallelschaltung der Impedanzen ZC und ZL. Die resultierende Impedanz ist dann

(4.101)

Damit ist das Problem kurz und schmerzlos gelöst. Wenn wir Gleichung (4.101) analysieren, realisieren wir, dass

(4.102)

ist. Wir nennen die Kreisfrequenz

(4.103)

die Resonanzkreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises, ein Resultat, das wir in Abschnitt 4.1.8.7 über die Lösung einer Differenzialgleichung bekommen haben.

4.1.8.9. Gedämpfter elektrischer Schwingkreis

__________________________________________________________________________

Schwingkreis mit Widerstand

________________________________________________________________

Der gedämpfte Schwingkreis enthält neben dem Kondensator und der Spule auch einen Widerstand. Die Differentialgleichung des gedämpften Schwingkreises ist

(4.104)

Wir differenzieren einmal und bekommen

(4.105)

Analog zur Mechanik ist die R- L der Dämpfungsterm. Das in der Mechanik berechnete Verhalten eines schwingungsfähigen Systems gilt auch für den elektrischen Schwingkreis.

Wenn der elektrische Schwingkreis von einer Wechselspannungsquelle getrieben wird, ergeben sich die gleichen Phänomene wie bei einem getriebenen Pendel, also auch eine Resonanz.

Anwendungen

Schwingkreise zur Signalfilterung in Radioempfängern

Verhalten von langen Leitungen

Verhalten elektrischer Maschinen

4.1.8.10. Gedämpfter elektrischer Schwingkreis: komplex

Dieser Abschnitt bezieht sich auf den vorherigen Abschnitt 4.1.8.9. Hier betrachten wir einen getriebenen Schwingkreis. Die treibende Spannung sei U = U0 exp (iωt). Wir interessieren uns für den resultierenden Strom I(t) = I0exp (iωt + φ). Anders gesagt, wir suchen die komplexe Impedanz Z der Schaltung, dann kann I (t) = U (t)∕Z leicht berechnet werden.

__________________________________________________________________________

RLC-Parallelschwingkreis komplex. Der Widerstand R gibt eine Dämpfung der Schwingung. A stellt ein Ampèremeter zur Messung des Stromes dar.

_____________________________________________________________________

In Abbildung 4.1.8.10 haben wir eine Parallelschaltung der Impedanzen ZC, ZL und R. Die resultierende Impedanz ist dann

(4.106)

Damit ist das Problem kurz und schmerzlos gelöst. Wenn wir Gleichung (4.106) analysieren, haben wir anders als beim ungedämpften Parallelschwingkreis (4.101) keine Nullstelle mehr im Nenner. Analog zum gedämpften harmonischen Oszillator ist

(4.107)

die Resonanzkreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises und

(4.108)

die frequenzproportionale Dämpfung.

Ein mechanischer gedämpfter harmonischer Oszillator kann mit einem RLC-Parallelschwingkreis elektrisch simuliert werden.

________________________________________________________________

Zweite Möglichkeit eines RLC-Parallelschwingkreises. Der Widerstand R gibt eine Dämpfung der Schwingung. A stellt ein Ampèremeter zur Messung des Stromes dar.

_____________________________________________________________________

In Abbildung 4.1.8.10 haben wir eine Parallelschaltung der Impedanzen ZC und ZL + R. Die resultierende Impedanz ist dann

(4.109)

Damit ist das Problem kurz und schmerzlos gelöst. Wenn wir Gleichung (4.109) analysieren, haben wir anders als beim ungedämpften Parallelschwingkreis (4.101) keine Nullstelle mehr im Nenner. Analog zum gedämpften harmonischen Oszillator ist

(4.110)

die Resonanzkreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises und

(4.111)

die frequenzproportionale Dämpfung. Der Unterschied zur Schaltung in Abbildung 4.1.8.10 ist die Impedanz bei ω → 0. Diese ist hier gleich R und damit ungleich null.

__________________________________________________________________________

Dritte Möglichkeit eines RLC-Parallelschwingkreises. Der Widerstand R gibt eine Dämpfung der Schwingung. A stellt ein Ampèremeter zur Messung des Stromes dar.

_____________________________________________________________________

In Abbildung 4.1.8.10 haben wir eine Parallelschaltung der Impedanzen ZC + R und ZL. Die resultierende Impedanz ist dann

(4.112)

Damit ist das Problem wieder kurz und schmerzlos gelöst. Wenn wir Gleichung (4.112) analysieren, haben wir anders als beim ungedämpften Parallelschwingkreis (4.101) keine Nullstelle mehr im Nenner. Analog zum gedämpften harmonischen Oszillator ist

(4.113)

die Resonanzkreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises und

(4.114)

die frequenzproportionale Dämpfung. Der Unterschied zur Schaltung in Abbildung 4.1.8.10 ist die Impedanz bei ω → ∞. Diese ist hier gleich R und damit ungleich null.

4.1.9  Elektromotoren

__________________________________________________________________________

Bestandteile eines Elektromotors. Links der Stator, rechts der Rotor mit dem Kommutator.

_____________________________________________________________________

Ein Elektromotor besteht aus zwei Teilen, dem Stator, der das Magnetfeld H erzeugt und dem Rotor, der in diesem Magnetfeld rotiert. Die Richtung des Stromflusses im Rotor wird durch den Kommutator gesteuert.

Versuch zur Vorlesung:

Elektromotor und -generator (Versuchskarte EM-101, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Elektromotor und -generator (Versuchskarte EM-101, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Versuch zur Vorlesung:

Simulation Elektromotor (Versuchskarte Applet)

Versuch zur Vorlesung:

Simulation von Gleich- und Wechselstromgeneratoren (Versuchskarte Applet)

4.1.9.1. Rotierende Leiterschlaufe als Generator

__________________________________________________________________________

Dieses Bild zeigt einen aufgebauten Elektromotor.

_____________________________________________________________________

Wenn in Abbildung 4.1.9.1 das Feld des Stators existiert und der Rotor durch einen externen Antrieb bewegt wird, wirkt die Einrichtung auch als Generator. Wir betrachten also zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch die Leiterschlaufe mit N Windungen, einer Fläche A und einem Widerstand R ist

(4.115)

wobei Θ der Winkel zwischen der Normalen der Fläche der Leiterschlaufe und der Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt + δ wird der zeitabhängige Fluss durch eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe

(4.116)

Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung

(4.117)

Die induzierte effektive Spannung ist

(4.118)

4.1.9.2. Rotierende Leiterschlaufe als Nebenschlussmotor

Wenn die Leiterschlaufe mit N Windungen mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie als Motor. Die Leiterschlaufe habe, wie oben erwähnt, den Widerstand R. Die angelegte Spannung sei U₀ und konstant. Für die folgende Rechnung setzen wir δ = 0.

Durch den Strom I(t) wird nach Gleichung (3.24) mit dem magnetischen Moment m = NAI ein Drehmoment

(4.119)

erzeugt¹ . Während in Gleichung (4.115) der Winkel Θ(t) der Winkel zwischen der Flächennormale und der Richtung der magnetischen Induktion B ist, ist hier der gleiche Winkel der Winkel zwischen dem magnetischen Moment der Leiterschleife m(t) und der magnetischen Induktion B. Das Drehmoment ist nach Gleichung (3.25) durch TNSM = m×B gegeben. Das momentane magnetische Moment hängt vom momentanen Strom ab, und damit auch das momentane Drehmoment. Beide hängen damit von der wirkenden Spannung Ur(t) = U₀ − Ui(t) ab

(4.120)

Unser Motor hat einen Kommutator, der nach einer halben Umdrehung das Vorzeichen der angelegten Spannung invertiert. Wir müssen also mit den Strömen

rechnen. Das Drehmoment wird dann

(4.122)

Dabei muss für I(t) die beiden Teilströme eingeteilt werden. Das Drehmoment als Funktion der Zeit ist dann

N 2A2B2 ω TNSM (t) = − ----------sin2(ωt) { R + N-AB--sin (ωt) U0, wenn 2jπ ≤ ωt < (2j + 1)π; (j ∈ ℤ) R − U0, wenn (2j + 1)π ≤ ωt < 2(j + 1 )π.

(4.123)

Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist bei ω = 2π∕T, T die Dauer einer Umdrehung.

(4.124)

Im Mittel ist das Drehmoment des ruhenden Motors

(4.125)

Die maximale Drehzahl ist (wenn TNSM,eff(ωmax) = 0)

(4.126)

Diese Charakteristik (Nebenschlussmotor) hat man immer dann, wenn das erregende Feld B unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn die Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will man die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächen.

Gemittelte Betrachtung Die vorherige Betrachtung kann auch gemittelt durchgeführt werden.

(4.127)

Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist

(4.128)

Mit dem Widerstand des Ankers R kann man den mittleren Strom aus der wirkenden Spannung U₀ − Ueff,i berechnet werden

(4.129)

Die angelegte Spannung U₀ ist eine Gleichspannung, deshalb darf kein Effektivwert berechnet werden. Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab

(4.130)

Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also

(4.131)

und die maximale Drehzahl (mit Teff(ωmax) = 0) ist

(4.132)

Verglichen mit Gleichung (4.126) hat sich nur der Vorfaktor geändert, von 4∕π ≈ 1.273 zu √ -- 2 ≈ 1.414. Mit der gemittelten Betrachtung überschätzen wir die maximale Drehzahl!

4.1.9.3. Rotierende Leiterschlaufe als Hauptschlussmotor

__________________________________________________________________________

Links ist die Schaltung des Nebenschlussmotors, rechts die des Hauptschlussmotors gezeigt.

_____________________________________________________________________

Ist wie beim Hauptschlussmotor die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung geschaltet, gibt es keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge ℓ, Windungszahl N) hat das Magnetfeld

(4.133)

sofern der Einfluss der Induktivität vernachlässigt werden kann. Diese würde für eine Änderung der Amplitude und der Phase sorgen. Für andere Geometrien gilt das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K′.

Im statischen Falle ist der Strom nur vom Gleichstromwiderstand RE der Erregerspule abhängig. Sonst müsste R = RE + ZLE verwendet werden.

(4.134)

wobei alle Vorfaktoren in den Faktor K zusammengezogen wurden. Spannung und Strom an der Feldspule oder Erregerspule hängen über

(4.135)

zusammen.

Der durch den Anker fliessende Strom ist mit Ui(t) = −ddt(N B (t)A sin(ωt)) und I(t) = IE(t) sowie dem Resultat von Gleichung (4.135) gegeben.

U0-−-UE-(t) −-Ui(t) I(t) = R [ ] = U0-− I(t)RE-− LE- dI(t)− 1- − -d (N B (t)A sin(ωt)) R R R dt R dt

(4.136)

Eingesetzt mit Gleichung (4.133) und I(t) = IE(t)

(4.137)

und umgestellt

(4.138)

Wenn der Kommutator den Stromfluss im Anker umstellt, bekommt man

(4.139)

Die Lösungen dieser beiden Differentialgleichungen müssen beim Umschalten des Kommutators jeweils gleich sein. I(t) kommt nur linear vor, das heisst, man kann die Gleichungen als komplexe Gleichungen schreiben, indem sin(ωt) → i exp(iωt) gesetzt wird. Weiter kann

(4.140)

gesetzt werden. Dies führt zu einer Rekursion für die Koeffizienten ak. Noch unbekannt ist der Phasenwinkel zwischen den beiden

Die weitere Rechnung ist kompliziert. Man müsste auch die Induktivität der Spulen berücksichtigen.

Gemittelte Betrachtung Der durch den Anker fliessende Strom ist mit Ueff,i = NB(UE)Aω∕√ -- 2 durch

(4.141)

gegeben.

Da Ieff = IE,eff und UE = RE ⋅ IE,eff sind, gilt

(4.142)

oder

(4.143)

Damit wird das Drehmoment

(4.144)

Eingesetzt bekommt man

(4.145)

THSM,eff(ω) ist für alle ω grösser als null. Dieser Motor hätte, ohne Lagerreibung, eine unendlich grosse maximale Drehzahl. Das Startdrehmoment für ω = 0 ist

(4.146)

__________________________________________________________________________

Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren aus der gemittelten Betrachtung. Die Kurven wurden mit N = 1000, A = 0.001 m², U = 5 V, R = 0.1 Ω und B = 0.1 T. Die beiden Motoren sind so berechnet, dass sie das gleiche Startdrehmoment und dass RE = R∕2 ist (eine vernünftige Annahme).

_____________________________________________________________________

Versuch zur Vorlesung:

Drehstromgenerator (Versuchskarte Applet)

Versuch zur Vorlesung:

Asynchroner Drehstrommotor (Versuchskarte Video)

Versuch zur Vorlesung:

Schleifring-Drehstromasynchronmotor für Fahrstühle usw. (Versuchskarte Video)

Versuch zur Vorlesung:

Einphasen-Asynchronmotor (Versuchskarte Video)

Versuch zur Vorlesung:

Linearmotor (Versuchskarte EM-113)

4.1.10  Betatron

Versuch zur Vorlesung:

Betatron (Versuchskarte EM-167, Video)

Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen B-Feld nach rot E = −∂B∕∂t auch ein zeitabhängiges E-Feld existiert.

__________________________________________________________________________

Skizze eines Betatrons

_____________________________________________________________________

Nach dem Induktionsgesetz rot E = −∂B∕∂t hat das durch ein in die z-Richtung zeigende Magnetfeld induzierte elektrische Feld keine z-Komponente. Nehmen wir an, dass das E-Feld eine Radialkomponente hätte. Sie könnte zum Beispiel in die y-Richtung zeigen. Rotieren wir die ganze Anordnung um π um die y-Achse und kehren die Richtung des B-Feldes um, haben wir wieder die Ausgangsanordnung. Mit der Richtungsumkehr von B hat aber auch E die Richtung geändert (Induktionsgesetz). Dies ist aber im Widerspruch zur Ausgangssituation. Deshalb kann es kein radiales E-Feld geben: das E-Feld ist tangential und beschleunigt die geladenen Teilchen. Damit die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben, muss

(4.147)

oder

(4.148)

Das zweite Newtonsche Axiom in tangentialer Richtung angewandt bedeutet

(4.149)

Mit der Integralform des Induktionsgesetzes erhält man mit einer stationären Kreisbahn S(R) mit dem Radius R

(4.150)

wobei B das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld ist. Durch Kombination der obigen Gleichungen und unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir

(4.151)

Die Integration mit den Anfangsbedingungen p(0) = 0 und B(0) = 0 liefert

(4.152)

Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung

(4.153)

Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden.

4.1.11  Skineffekt

__________________________________________________________________________

Berechnung des Skin-Effektes

_____________________________________________________________________

Bei Gleichstrom in einem zylindrischen Leiter ist das elektrische Feld konstant über dem Querschnitt. Nach dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz (Siehe Gleichung (3.32)) ist das Magnetfeld proportional zum Abstand.

Für den Fall eines Wechselstroms mit niedriger Frequenz müssen wir das Induktionsgesetz berücksichtigen. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die zeitunabhängige Kurve S, die auf einer Ebene, in der auch die Zylinderachse liegt, liegt

(4.154)

Für die eingezeichnete Schlaufe gilt (da ist antiparallel zu B)

(4.155)

wobei wieder B das über die Fläche Δr ⋅ h gemittelte Magnetfeld ist. Als Zwischenresultat bekommen wir:

Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das E-Feld ortsabhängig sein. Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom ist bei einem Ohmschen Leiter nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. Die Taylorentwicklung von Gleichung (4.154) liefert die betragsmässige Bedingung

(4.156)

Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand vom Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte an der Oberfläche konzentriert. Dies ist der Skineffekt.

Anwendung

Bei Überlandleitungen wird um ein Stahlseil Kupfer (Luxusausführung) oder Aluminium (das Übliche) gewickelt. Dies erhöht den Widerstand kaum, da der Skin-Effekt die Stromleitung bei 50 Hz auf etwa 1 cm Tiefe beschränkt.

Die Berechnung der Skintiefe kann nach Jackson [Jac75, pp. 334-338]² aus dem Ampèreschen Gesetz Gleichung (3.32), dem Faraday’schen Gesetz Gleichung (4.24) und dem mikroskopischen Ohm’schen Gesetz (3.2) abgeleitet werden.

Wir beginnen mit den drei Gleichungen

Wir nehmen mit Jackson eine harmonische Welle an, also B = B₀ exp (iωt) und E = E₀ exp (iωt). Damit können die obigen Gleichungen umgeschrieben werden

Wenn n der nach aussen zeigende Normalenvektor auf die Grenzfläche Vakuum-Metall ist und ξ die nach innen zeigende Koordinate ist, kann in der Nähe der Oberfläche der Nabla-Operator als

(4.163)

geschrieben werden. Gleichungen (4.161) und (4.162) lauten dann

Um die beiden Gleichungen zu kombinieren, multiplizieren wir mit dem Kreuzprodukt oder Vektorprodukt von links mit −n∂- ∂ξ und verwenden weiter, dass nach (C.1) a ×(b × c ) = (a ⋅ c) b −(a ⋅ b ) c ist.

Diese Gleichung hat zwei Komponenten. Es gibt Summanden, die in die Richtung von B₀ zeigen und Summanden, die in die Richtung von n zeigen. Die Summanden für die beiden Richgtungen ergeben die folgenden zwei Gleichungen, da das Resultat ja unabhängig von den einzelnen Vektoren sein muss.

Gleichung (4.167) ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Deshalb machen wir den Lösungsansatz B₀(ξ) = B0,0 exp (aξ) und setzen

(4.169)

und erhalten über

(4.170)

die charakteristische Gleichung

(4.171)

die Lösungen

(4.172)

Das Vorzeichen + ist physikalisch sinnvoll (es gibt keine zunehmende Amplitude). Damit ist besteht die Lösung aus einem exponentiellen Abfall mit der Abfalllänge δ und einem örtlich oszillierenden Teil, also

(4.173)

Damit ist

(4.174)

die Skintiefe bei der Frequenz ω eines Metalls mit der relativen Permeabilität μ und der Leitfähigkeit σ. Aus Gleichung (4.174) kann abgelesen werden, dass

die Skintiefe mit zunehmender Leitfähigkeit abnimmt,

mit zunehmender relativer Permeabilität abnimmt und

mit zunehmender Frequenz abnimmt.

___________________________________________________________________________

1 Hz
16.67 Hz
50 Hz
100 Hz
1 kHz
10 kHz
100 kHz
1 MHz

Kupfer
66  mm
16  mm
9.3  mm
6.6  mm
2.1  mm
660  μm
21  μm
66  μm

Aluminium
83 mm
20 mm
12 mm
8.3 mm
2.6 mm
830 μm
26 μm
8.3 μm

Eisen (μ = 10⁴)
1.6 mm
390 μm
230 μm
160 μm
50 μm
16 μm
5.0 μm
1.6 μm

Edelstahl (μ = 300)
25 mm
6.0 mm
3.5 mm
2.5 mm
780 μm
250 μm
78 μm
25 μm

Meerwasser
230 m
55 m
32 m
23 m
7.1 m
2.3 m
710 mm
23 mm

Leitungswasser
7.1  km
1.7  km
1.0  km
712  m
230  m
71  m
23  m
7.1  m

Skintiefen verschiedener Materialien (nach [Wik16a; Wik16b])

_______________________________________________________________________________________________

4.2  Energie des Magnetfeldes

__________________________________________________________________________

Berechnung der Energie im Magnetfeld

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle U(t) = U₀ sin(ωt) verbundene reale Spule. Diese Spule wird modelliert durch einen Widerstand R und eine ideale Spule L. Die Differentialgleichung dieses Kreises lautet

(4.1)

Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form

(4.2)

Für den Fall, dass R « ωL ist, bekommt man

(4.3)

Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist

(4.4)

Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des B-Feldes ändern, da wir keine dissipativen Elemente haben (R = 0). Wenn man die Differentialgleichung für den Fall mit I(t) multipliziert, bekommt man

(4.5)

Nun ist aber P = dE∕dt. Damit ist die Energie des Magnetfeldes

(4.6)

Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule

(4.7)

mit der Selbstinduktivität

(4.8)

wobei A der Querschnitt der Spule und ℓ ihre Länge ist. Eingesetzt in die Gleichung für die Energie EL bekommt man

(4.9)

Deshalb ist die Energiedichte des B-Feldes

(4.10)

4.3  Magnetische Eigenschaften der Materie

Wir haben bei Magnetfeldern wie bei elektrischen Feldern zwei Grössen, die diese Felder beschreiben. Bei elektrischen Feldern haben wir einerseits die materieunabhängige Grösse elektrisches Feld E und die materieabhängige Grösse dielektrische Verschiebung D. Die beiden Grössen sind bei isotropen Materialien parallel, müssen es aber nicht sein. Der Zusammenhang ist:

(4.1)

Dabei ist 𝜀 = 1 + χe die relative elektrische Permittivität, eine Materialkonstante. Sie wird auch relative Dielektrizitätszahl genannt und manchmal als 𝜀r geschrieben. χE ist die elektrische Suszeptibilität und auch eine Materialkonstante. Beide, 𝜀 und χE können Tensoren sein.

Bei den magnetischen Feldern haben wir die materialunabhängige Grösse magnetisches Feld H und die materialabhängige Grösse magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion B. Analog zu den elektrostatischen Grössen hängen diese über

(4.2)

zusammen. Dabei ist μ = 1 + χ die relative elektrische Permeabilität, eine Materialkonstante. χ ist die (magnetische) Suszeptibilität und auch eine Materialkonstante. Beide, μ und χ können Tensoren sein.

4.3.1  Kugeln im inhomogenen Magnetfeld

__________________________________________________________________________

Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.

_____________________________________________________________________

Versuch zur Vorlesung:

Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM-177, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM-177, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM-177, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Materie im inhomogenen Magnetfeld zeigt drei verschiedene Verhalten:

diamagnetisches Verhalten

Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt (χ < 0).

paramagnetisches Verhalten

Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen (χ > 0).

ferromagnetisches Verhalten

Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist (χ(H )).

Es gibt alle möglichen Zwischenzustände in Materialien, so zum Beispiel

ferrimagnetisch

2 ferromagnetische Gitter mit antiparalleler Orientierung, die sich aber nicht komplett kompensieren.

antiferromagnetisch

Je nach Ausrichtung, permanente magnetische Momente kompensieren sich (Spinwellen)

__________________________________________________________________________

Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus

_____________________________________________________________________

Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu B. Beim Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische Moment in die Richtung von B. Der Kreisstrom ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von B abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft (Siehe Gleichung (3.16)). Sie ist proportional zum Produkt B × dℓ. Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch dℓ umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als unabhängig von der Richtung von B.

Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist

(4.3)

wobei mz das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist.

4.3.2  Der Satz von Larmor

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 162])

__________________________________________________________________________

Illustration zum Satz von Larmor

_____________________________________________________________________

Wir hatten postuliert, dass das Verhalten der Materie in einem Gradienten eines Magnetfeldes durch atomare Kreisströme gegeben ist. Wenn wir ein Modell (nach der Quantenphysik nicht realistisch) eines Atoms betrachten, bei dem ein einzelnes Elektron auf einer Bahn mit dem Radius r sich um den positiv geladenen Kern bewegt, ist der resultierende Strom

(4.4)

Der Betrag des magnetischen Momentes ist dann

(4.5)

Die Wirkung eines äusseren Magnetfeldes wird berechnet, indem man betrachtet, wie ein einzelnes Atom auf ein von null anwachsendes äusseres Feld reagiert.

__________________________________________________________________________

Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert.

_____________________________________________________________________

Im Ausgangszustand ist die Zentripetalkraft F₀ = −mev²∕r die Coulombanziehung zwischen dem Elektron und dem Kern sowie durch die gemittelte Coulombabstossung durch die anderen Elektronen gegeben. Das anwachsende Magnetfeld hat die gleiche Wirkung wie beim Betatron: es entsteht ein tangentiales E-Feld, das das Elektron beschleunigt. Wir setzen die z-Achse nach oben an. In einem rechtshändigen System ist dann

das Magnetfeld: −B, Betrag: B

die Geschwindigkeit: −v, Betrag: v

die Zentripetalkraft: −F₀, Betrag: F₀

das induzierte elektrische Feld: E, Betrag: E

Wir setzen diese Grössen ein, um vorzeichenrichtig zu rechnen. Aus dem Induktionsgesetz (Siehe Gleichung (4.22)) folgt

(4.6)

Dabei ist ϕB = (−B) ⋅ A. Wir erhalten also

(4.7)

Die Beschleunigung des Elektrons (nicht-relativistisch) ist durch das zweite Newtonsche Gesetz gegeben

(4.8)

Hier ist me die Ruhemasse des Elektrons. Die Geschwindigkeitsänderung hängt also mit der Magnetfeldänderung wie folgt zusammen

(4.9)

Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist also

(4.10)

wenn B das Feld im Endzustand ist. Der Betrag der Geschwindigkeit hat also zugenommen. Nun bewirkt das äussere B-Feld die Lorentzkraft

(4.11)

die, nach der rechten Hand-Regel, zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft ist im Endzustand durch

(4.12)

Da v » Δv ist, können wir nach Taylor entwickeln

Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Die Larmorwinkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zunahme der Bahngeschwindigkeit und der magnetischen Induktion ist

(4.14)

und vektoriell geschrieben

Larmorwinkelgeschwindigkeit

(4.15)

In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert.

Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus.

__________________________________________________________________________

Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel

_____________________________________________________________________

Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist, bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den Drehimpuls

(4.16)

Das magnetische Moment des Kreisstromes ist nach Gleichung (4.5)

(4.17)

Der Kreisel erfährt ein mechanisches Drehmoment (Siehe Gleichung (3.25))

(4.18)

Der Drehimpulssatz bedeutet, dass

(4.19)

Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung des Drehimpuslvektors L um B mit der Winkelgeschwindigkeit Ω (siehe auch [Mar14, Seite 190, Gleichung (6.3.30)])

(4.20)

Wir erhalten die

vektorielle Schreibweise der Larmorkreisfrequenz

(4.21)

Bemerkung:

In der Physik wird manchmal auch der Ausdruck «Frequenz» für die «Kreisfrequenz» gebraucht, eine ungenaue Ausdrucksweise.

4.3.3  Diamagnetismus

__________________________________________________________________________

Berechnung des Diamagnetismus

_____________________________________________________________________

Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.

(4.22)

Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von zwei gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne äusseres B-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit ausmitteln.

Wenn ein B-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment mA, das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte

(4.23)

wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.

__________________________________________________________________________

Ein einzelner Kreisstrom

_____________________________________________________________________

Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit

(4.24)

Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom

(4.25)

mit

(4.26)

Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment mA entgegengesetzt zu Ω und entgegengesetzt zu B, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist

(4.27)

oder

Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über r und φ Er ist

Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment

(4.30)

Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.

4.3.4  Magnetisierung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 170])

__________________________________________________________________________

Atomare Kreisströme

_____________________________________________________________________

Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit

(4.31)

Dabei ist mA₁ das magnetische Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe, wobei ΔV ein geeignetes Volumenelement ist. Eine Probe heisst homogen magnetisiert, wenn M(r) unabhängig vom Probenort ist.

Die Einheit der Magnetisierung ist [M ] = A m⁻¹.

Das externe Magnetfeld soll senkrecht zur Bildebene des obigen Bildes sein. Die atomaren Kreisströme müssen dann in der Bildebene liegen. Betrachten wir ein Flächenelement da, das senkrecht zur Bildebene liegt, dann stellen wir fest, dass alle Kreisströme zweimal durch dieses Ebenenelement gehen, einmal in positiver und einmal in negativer Richtung. Bis auf die Ströme an den Rändern heben sich alle Ströme auf. Das heisst, dass das mittlere Stromdichtefeld

(4.32)

ist, da dI(a) = i ⋅ da. Nur die Ströme am Rand, die Oberflächenströme mit der Stromdichte j, können deshalb die Quelle der beobachteten makroskopischen Magnetisierung sein. Für eine Probe der Höhe Δz ist der gesamte Strom an der Oberfläche

(4.33)

Diese makroskopischen Oberflächenströme erklären die experimentellen Beobachtungen. Da für ein diamagnetisches Atom m entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, und da damit auch die makroskopische Magnetisierung M entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, wird diese Probe wie beobachtet vom Magnetfeldgradienten abgestossen.

Das magnetische Feld aller Kreisströme muss identisch mit dem externen Feld B sein. Nun ist aber das magnetische Moment eines Kreisstromes in genügender Entfernung nicht von der Fläche dieses Stromes abhängig. Deshalb muss die Summe aller einzelner atomarer magnetischer Momente dem magnetischen Moment des Oberflächenstromes gleich sein.

(4.34)

wobei n die Volumendichte der Atome ist. Die Oberflächenstromdichte

(4.35)

ist gleich der Magnetisierung.

4.3.5  Das magnetische Moment des Elektrons: Spin

Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls s (Spin) herrührt.

__________________________________________________________________________

Elektronenspin

_____________________________________________________________________

Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment ms. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert

(4.36)

hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch

(4.37)

oder mit 2πℏ = h

ist. Nach der Quantenmechanik gilt

(4.38)

Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre ms,klass = −(1∕2)eme-s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist

(4.39)

auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Das magnetische Moment des Elektrons ist dann

(4.40)

Hier ist g der Landé-Faktor, der für die klassische Quantenmechanik und das Elektron g = −2 und gemessen g = −2.00231930436182(52) ist[Cod17a]. (52) ist die Unsicherheit der letzten zwei Stellen. Dieser Wert ist in Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik. g-Faktoren können auch für Atome und andre Objekte definiert werde. Für das Proton erhält man gp = 5.585694702(17) [Cod17b].

4.3.6  Paramagnetismus

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 262])

Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.

(4.41)

Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton 1μB. Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.

Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an

Die Energie des magnetischen Dipols m im Magnetfeld H hängt nur von Θ ab. Wir machen eine Koordinatentransformation auf u = cos Θ. Die Energie ist dann

(4.43)

Die Magnetisierung Mz in der z-Richtung, der Richtung des Magnetfeldes H ist

(4.44)

Hier ist n = N- V die Zahlendichte der magnetischen Momente. Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien Epot nach der Boltzmannstatistik verteilt sein, also

(4.45)

mit x = μ₀mH∕kBT. In der Koordinate u und nach Ausführen der trivialen Integration über ϕ lautet die Gleichung

(4.46)

Wir wechseln auf û = −u und erhalten

(4.47)

wobei L(x) die Langevin-Funktion ist. Also ist

wobei n die Zahlendichte der Spins ist.

Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also kT » mAB verifizierbar. Da für x « 1 die Reihenentwicklung L(x) = x∕3 + O(x²) gilt, bekommen wir das Curie-Gesetz

(4.49)

Hier ist C die volumenbezogene Curie-Konstante

(4.50)

Alternativ kann die Curie-Konstante auch mit molaren Grössen ausgedrückt werden, indem wir mmol = NAmA setzen.

(4.51)

__________________________________________________________________________

Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine B). MS ist die Sättigungsmagnetisierung.

_____________________________________________________________________

Die magnetische Induktion B ist durch das Magnetfeld H und die Magnetisierung M gegeben

(4.52)

Für ein homogenes Material zeigt Abbildung 4.3.6 den Zusammenhang zwischen dem Magnetfeld |H |, der Magnetisierung |M | und der magnetischen Induktion |B ∕μ0|. Während die Magnetisierung M für grosse Magnetfelder H sättigt (alle Dipole sind ausgerichtet), steigt die magnetische Induktion B weiter an, aber mit kleinerer Steigung.

__________________________________________________________________________

Beispielhafter Zusammenhang zwischen dem Magnetfeld |H |, der Magnetisierung |M | und der magnetischen Induktion |B | für ein isotropes Material

_____________________________________________________________________

4.3.7  Ferromagnetismus

Versuch zur Vorlesung:

Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM-175)

Ferromagnetische Atome haben genau so wie paramagnetische Atome ein permanentes magnetisches Moment mA. Im Gegensatz zu den Paramagneten bleibt jedoch auch ohne äusseres Magnetfeld ein magnetisches Moment übrig. Die Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes kann mit der unten stehenden Apparatur gemessen werden.

__________________________________________________________________________

Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis.

_____________________________________________________________________

Versuch zur Vorlesung:

Hysterese des Ferromagneten (Versuchskarte EM-205, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Hysterese des Ferromagneten (Versuchskarte EM-205, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Versuch zur Vorlesung:

Hysterese des Ferromagneten (Versuchskarte EM-205, Video)

Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis

(4.53)

Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung.

(4.54)

Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I₁(t), der die Frequenz ω hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)∕dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1∕RC « ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt

(4.55)

und damit für die Spannung am Kondensator

(4.56)

Der Ausgangsstrom I(t) selber erzeugt das anregende Feld.

__________________________________________________________________________

Hysteresekurve eines Ferromagneten

_____________________________________________________________________

Diese Abbildung zeigt das skizzierte Resultat des obigen Versuches. Interessant ist, dass bei I = 0, also ohne anregendes Magnetfeld, trotzdem ein Feld B≠0 gemessen wird. Diese Feld kann nur von einer nichtverschwindenden Magnetisierung ohne äusseres Feld herrühren. Diese nichtverschwindende Magnetisierung M≠0 ist das Kennzeichen eines Ferromagneten.

Andererseits gibt es zwei Punkte, bei denen das resultierende Magnetfeld null ist, obwohl ein äusseres Magnetfeld angelegt wurde. Dies kann nur sein, wenn die Magnetisierung im Material das äussere Feld gerade kompensiert.

Weiter nimmt für sehr grosse anregende Felder das resultierende Magnetfeld kaum mehr zu. Man spricht von einer Sättigung der Magnetisierung.

Versuch zur Vorlesung:

Magnetische Bezirke (Versuchskarte EM-178, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Ferromagnetische Domänen

_____________________________________________________________________

Das beobachtete Verhalten kann mit ferromagnetischen Domänen, auch Weisssche Bezirke genannt, erklärt werden. Das Material besteht, wie oben skizziert, aus einer grossen Zahl kleiner Bereiche, die jeder seine eigene Orientierung der Magnetisierung haben. Die gemittelte Magnetisierung hängt davon ab, wie zufällig die Domänen verteilt sind.

__________________________________________________________________________

Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld

_____________________________________________________________________

Wird ein äusseres Magnetfeld angelegt, beginnen die Domänen, die bezüglich des externen Feldes richtig orientiert sind, zu wachsen, die anderen schrumpfen. Die makroskopische Magnetisierung wächst, hinkt aber hinter der Anregung zurück.

Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse.

Bei der Änderung der Grösse der Domänen müssen Domänenwände verschoben werden. Dies kostet Energie und zeigt sich als Hysterese. Dieser Energieverlust bei der Grössenänderung stabilisiert aber auch die Domänen.

__________________________________________________________________________

Löschen des remanenten Magnetismus

_____________________________________________________________________

Um die makroskopische Orientierung der Domänen zum Verschwinden zu bringen, muss man die ferromagnetische Substanz langsam aus einem Wechselfeld entfernen. Das Bild oben zeigt die resultierenden Hysteresekurven. Die Hystereseschlaufe wird so quasikontinuierlich auf einen Punkt, den Ursprung des Koordinatensystems zusammengezogen.

Anwendung: Entmagnetisieren von Schraubenziehern, Löschen von Tonbändern.

4.4  Zusammenfassung: Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder

Magnetischer Fluss

Gleichung (4.4)

Lorentztransformation der EMK

Gleichung (4.11)

Induktionsgesetz von Faraday

Gleichung (4.22)

Differentielle Form des Induktionsgesetzes von Faraday

Gleichung (4.24)

Magnetfeld einer langen Spule

Gleichung (4.35)

Fluss einer langen Spule

Gleichung (4.36)

Selbstinduktivität einer langen Spule

Gleichung (4.37)

Selbstinduktionsspannung

Gleichung (4.40)

Übersetzungsverhältnis eines Transformators

Gleichung (4.52)

Übersetzungsverhältnis eines Transformators

Gleichung (4.53)

Übersetzungsverhältnis eines Transformators für Leistungen

Gleichung (4.54)

Maschenregel

Gleichung (4.55)

Knotenregel

Gleichung (4.56)

Effektivspannung

Gleichung (4.66)

Reelle Impedanz einer Spule

Gleichung (4.76)

Komplexe Impedanz einer Spule

Gleichung (4.83)

Reelle Impedanz eines Kondensators

Gleichung (4.89)

Komplexe Impedanz eines Kondensators

Gleichung (4.95)

Berechnung nichtlinearer Gleichungen mit komplexen Impedanzen

Beispiel Leistung, Gleichung (4.84)

Schwingkreis

Gleichung (4.105)

Induzierte Spannung in Generator

Gleichung (4.118)

Drehmomentkurve eines Nebenschlussmotors

Gleichung (4.124)

Drehmomentkurve eines Hauptschlussmotors

Gleichung (4.145)

Wideroe-Beziehung für das Betatron

Gleichung (4.153)

Skin-Effekt

Gleichung (4.156)

Skin-Tiefe

Gleichung (4.174)

Energiedichte des Magnetfeldes

Gleichung (4.10)

Larmorfrequenz

Gleichung (4.21)

Diamagnetisches Moment

Gleichung (4.30)

Magnetisches Moment des Elektrons

Gleichung (4.38)

Langevin-Funktion

Gleichung (4.47)

Curie-Gesetz

Gleichung (4.49)

Curie-Kontante

Gleichung (4.50)

molare Curie-Konstante

Gleichung (4.51)

Magnetisierung und magnetische Induktion

Gleichung (4.52)

5  Die Maxwellschen Gleichungen

5.1  Was wissen wir?

Folien 5.7:
Folien zur Vorlesung vom 06. 07. 2009

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 251])

Maxwellgleichungen werden gebraucht, um die Funktionsweise von

Radiowellen

Mikrowellen

Mobiltelefonen

zu erklären.

Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu beschreiben:

Gausssches Gesetz (2.9) |      div D | = | ρel |      I
Induktionsgesetz (4.24) |      rot E | = | −∂B- ∂t |      II
Quellenfreiheit (3.43) |      div B | = | 0 |      III
Durchflutungsgesetz (3.35) |      rot H | = | i |      IV

5.2  Auflösung des Widerspruchs zur Kontinuitätsgleichung, Maxwellgleichungen

Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen gelten

(5.1)

Diese Kontinuitätsgleichung ist im Widerspruch zum Durchflutungsgesetz. Dies sieht man, indem man die Divergenz auf das Durchflutungsgesetz anwendet.

(5.2)

im Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung. Dieser Widerspruch wurde von Maxwell aufgelöst, indem er das Durchflutungsgesetz ergänzt hat.

(5.3)

Die Grösse ∂D- ∂t hat die Dimension einer Stromdichte. Diese Maxwellsche Verschiebungsstromdichte macht das Durchflutungsgesetz mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel. Der Strom ist bei dem modifizierten Durchflutungsgesetz durch

(5.4)

Die Divergenz davon ist (mit div rot X ≡ 0)

(5.5)

Damit ist gezeigt, dass die Gleichungen I-III zusammen mit dem modifizierten Durchflutungsgesetz auch die Kontinuitätsgleichung beinhalten.

5.3  Maxwellgleichungen

Dieser Satz Gleichungen wird die

Maxwell-Gleichungen

genannt. (Ursprüngliche Ableitung der Gleichungen: (2.9), (4.24), (3.43) und (5.3))

Zusammen mit dem Kraftgesetz (siehe (4.21))

(5.2)

hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik für isotrope Materialien.

Die Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, die eingeführt wurde um die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen elektromagnetische Wellen vorhersagen kann.

Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der Galilei-Transformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.

Die Integralform des modifizierten Durchflutungsgesetzes lautet

(5.3)

wenn man den Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.1)) anwendet. S ist eine beliebige Kurve und A(S) die durch sie berandete Fläche.

Das Gausssche Gesetz liefert

(5.4)

Damit wird die Kontinuitätsgleichung

(5.5)

Damit ist das Integral über die Fläche in Gleichung (5.3) unabhängig von S.

Die Integralformeln der Maxwellgleichungen lauten (ursprüngliche Ableitungen: (2.7), (4.22), (3.42) und (5.3))

Der Unterschied zwischen der zweiten und der dritten Maxwellgleichung ist, dass in der zweiten Gleichung über eine einfache, von der Kurve S aufgespannte Fläche A(S) integriert wird, während in der dritten Gleichung über die das Volumen V einschliessende Fläche A(V ) integriert wird.

Die angegebenen Maxwellgleichungen gelten für alle Medien, auch mit tensoriellen Eigenschaften. Dort benötigt man die beiden Materialgleichungen

um das elektrische Feld und die dielektrische Verschiebung, bzw. das magnetische Feld und die magnetische Induktion miteinander zu verknüpfen, wobei 𝜀 und μ Tensoren sind.

Die Maxwellgesetze mit explizit eingesetzen Materialgesetzen lauten für beliebige Materialien

in der differentiellen Schreibweise und

in der Integralschreibweise. Beachten Sie, dass sowohl 𝜀 wie auch μ sowohl von der Zeit wie auch vom Ort abhängen können!

5.4  Maxwellgleichungen in isotropen zeitunabhängigen Medien

Die Maxwellgesetze beliebige isotrope und zeitunabhängige Materialien

in der differentiellen Schreibweise und

in der Integralschreibweise.

5.5  Anwendung der Maxwellgleichungen

Beispiel: Anwendung

Wir betrachten einen langen kreiszylindrischen Leiter mit dem Durchmesser R, aus dem eine Scheibe mit der Dicke d « R herausgeschnitten wurde. Dieser Leiter werde an eine Gleichstromquelle mit I(t) = I₀ angeschlossen. Die Endflächen beim herausgeschnittenen Stück wirken wie ein Kondensator. Also ist

(5.1)

Da wir eine zeitlich konstante Situation haben, sind alle zeitlichen Ableitungen null. Mit der Integralform des Gaussschen Gesetzes bekommt man mit einer geschlossenen Fläche A, die eine Kondensatorplatte beinhaltet

wobei wir berücksichtigt haben, dass innerhalb des Leiters sowie ausserhalb des herausgeschnittenen Stückes E = 0 gilt. Damit erhalten wir

(5.3)

Dabei ist i₀ die Stromdichte im Draht, nicht in der Lücke. Das Vektorfeld

ist homogen im ganzen Zylinder, einschliesslich des herausgeschnittenen Stückes. Im Leiter ist E = 0, also

(5.4)

Im herausgeschnittenen Stück ist i = 0 und damit

(5.5)

Deshalb muss B über den ganzen Leiter, inklusive des herausgeschnittenen Stückes, tangential und translationsinvariant entlang des Leiters sein.

(5.6)

sowie

(5.7)

Der Maxwellsche Verschiebungsstrom bewirkt also, dass die Stromverteilung im Leiter in den Zwischenraum verschoben wird. Das modifizierte Ampèresche Durchflutungsgesetz ist die physikalische Rechtfertigung für den umgangssprachlichen Ausdruck der Strom fliesst durch den Kondensator.

6  Elektromagnetische Wellen

6.1  Die Wellengleichung im Vakuum

Im Vakuum gibt es keine Teilchen, also auch keine geladenen Teilchen. Wir können also setzen:

Damit lauten die Maxwellgleichungen [Max73] in der Integralform

oder in der differentiellen Form

Im Vakuum ist B = μ₀H sowie D = 𝜀₀E sowie μ = 1 und 𝜀 = 1. Zur Ableitung der Wellengleichung sind die differentiellen Maxwellgleichungen besser als die integralen geeignet. Wir verwenden μ₀𝜀₀ = 1∕c² und erhalten also

Die Maxwellgleichungen im Vakuum (Gleichung (6.3)) sind symmetrisch bezüglich E und B. Wir nehmen die Rotation der zweiten Maxwellgleichung.

(6.4)

Indem wir die Austauschbarkeit von Ableitungen verwenden. Nun setzt man die vierte Maxwellgleichung in die zweite Gleichung ein. Wir erhalten eine Differentialgleichung für E allein.

(6.5)

Nun gilt die Vektoridentität

(6.6)

Wegen der ersten Maxwellgleichung verschwindet der erste Term auf der rechten Seite. Also lauten die Wellengleichungen

(6.7)

sowie nach einer analogen Ableitung für B

(6.8)

Die nicht-trivialen Lösungen der Wellengleichungen heissen elektromagnetische Wellen. Dieses Phänomen ist implizit in den Maxwellgleichungen enthalten, die aus makroskopischen Experimenten abgeleitet wurden. Die Wellengleichung beschreibt alle Wellenphänomene aus der Kommunikationstechnik, der Optik und der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen untereinander, für Abstände von 1nm oder mehr. Die Maxwellgleichungen sind invariant unter der Lorentz-Transformation, nicht aber unter der Galilei-Transformation. In jedem Inertialsystem im Vakuum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit

(6.9)

Damit haben die Maxwellgleichungen implizit schon 1864 die spezielle Relativitätstheorie vorweggenommen.

In Medien ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit entsprechend

(6.10)

wobei μ die relative Permeabilität und 𝜀 die relative Permittivität ist.

6.2  Allgemeine Lösung der Wellengleichung

Es gibt eine grosse Klasse von Funktionen (skalar oder vektoriell), die die Wellenleitergleichung lösen. Im Folgenden besprechen wir skalare Funktionen, die aber auch als eine Vektorkomponente aufgefasst werden können. Alle Funktionen, die nur von einer skalaren Variablen

(6.1)

abhängen lösen die Wellengleichung, wenn sie genügend oft stetig differenzierbar sind. Wir betrachten die Funktion f(u) = f(u(r,t)). und setzen sie in c²Δf(u(r,t)) = (∂²∕∂t²)f(u(r,t)) ein. Die Kettenregel der Differentiation ergibt für u = k⋅r−ωt = kxx + kyy + kzz −ωt

Die letzte Umformung in Gleichung (6.2b) beruht auf

Da (∂∕∂t)u = −ω ist, ist auch

(6.3)

Analog erhalten wir für die Raumkomponente x

Also ist wieder mit d2u dx2 = 0 und zyklisch für x,y,z

Damit lautet die Wellengleichung mit Gleichung (6.2b), Gleichung (6.4b), Gleichung (6.3) und Gleichung (6.5)

Damit können wir sagen:

Jede Funktion E(u) mit u = k ⋅r − ωt ist eine Lösung der Wellengleichung

(6.7)

sofern

(6.8)

gilt.

Aus den Gleichungen (6.3) kann die Orientierung von k, E und B berechnet werden. Wir verwenden die Gleichungen (6.7) und (6.8) und schreiben alle Ableitungen nach x, y, z und t als Kettenableitungen zuerst nach u. Wenn E(u) aus der Wellengleichung bekannt ist, verwenden wir die II. Maxwellgleichung aus (6.3) und erhalten

Wir haben dabei verwendet, dass du∕dx = kx, du∕dy = ky, du∕dz = kz und du∕dt = −ω. Damit ist auch (du∕dx,du∕dz,du∕dz)T = (k x,ky,kz)T = k. Integrieren wir die Gleichung (6.9) nach u erhalten wir

(6.10)

k, E und B bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Dreibein. Die drei Vektoren stehen paarweise rechtwinklig aufeinander.

Hätten wir die Wellengleichung für B gelöst, hätten wir die Beziehung

(6.11)

bekommen. Diese Beziehung (6.11) ist aber unter Verwendung von (6.8) identisch mit (6.10).

Betragsmässig haben wir im Vakuum weiter die Beziehung

(6.12)

6.3  Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem

Wir untersuchen die Wellenphänomene an 3 Testsystemen,

Doppelleitung oder Lecher-Leitung, die besonders einfach auszumessen ist

Der Doppelleitung aus parallelen Ebenen, die wichtig für die Printplattentechnologie ist und besonders einfach zu berechnen ist

dem Koaxialkabel, der technisch wichtigen Anwendung für Verbindungen.

Versuch zur Vorlesung:

Lecherleitung (Versuchskarte SW-025, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Versuch zur Vorlesung:

Koaxialleitung (Versuchskarte SW-085, Video)

_______________________________________________

3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in der Mitte eine Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich ist und rechts ein Koaxialkabel

_____________________________________________________________________

Wenn man das Doppelleitersystem mit elektromagnetischen Wellen mit einer Wellenlänge von etwa λ = 1 m speist, beobachtet man folgendes

Das am Ende offene Doppelleitersystem zeigt Knoten und Bäuche des E- und des B-Feldes in Richtung des Wellenleiters. Der Abstand der Intensitätsmaxima beträgt λ∕2 für beide Felder. Die Maxima der E-Feldes sind gegen denen des B-Feldes verschoben. Wir haben stehende Wellen.

Das am Ende mit einem Kurzschlussbügel versehene System zeigt das gleiche Verhalten wie vorher. Die Maxima sind jedoch verschoben. Wieder haben wir stehende Wellen.

Wenn das Doppelleitersystem mit einem Widerstand von etwa 400Ω abgeschlossen ist, verschwinden die Maxima. Es gibt keine stehenden Wellen.

Die Richtungen von E und B sind analog wie beim Kondensator.

__________________________________________________________________________

Ansicht von oben

Ansicht von unten

Bestückungsseite

Seite mit Wellenleitern

800 MHz-Breitbandverstärker für Fernsehsignale. Auf der Unterseite sind die Wellenleiterstrukturen sichtbar (Mittlere Struktur in Abbildung 6.3)

_____________________________________________________________________

Abbildung 6.3 zeigt beispielshaft eine Hochfrequenzschaltung. Die Wellenlänge der verstärkten Signale ist zwar einiges grösser als die Schaltung. Die auf der Unterseite sichtbaren Wellenleiterstrukturen verhindern eine unkontrollierte Abstrahlung elektromagnetischer Energie.

__________________________________________________________________________

Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Doppelleitung aus parallelen Platten

_____________________________________________________________________

Wir setzen für die E-Welle in der Geometrie der obigen Zeichnung an

Dieses Feld erfüllt die Wellengleichung. Wir behaupten, dass das B-Feld durch

gegeben ist. Auch diese Gleichung erfüllt sie Wellengleichung. Wir verwenden die zweite Maxwellgleichung, um zu zeigen, dass die Kopplung richtig ist. Wir schreiben rot E = −(∂∕∂t)B in Komponenten

(6.3)

Die x- und die z-Komponenten sind null, nach der Voraussetzung. Die y-Komponente lautet

(6.4)

Mit c = ω∕k ist diese Kopplungsgleichung, die zweite Maxwellgleichung erfüllt. Die vierte Maxwellgleichung ist ebenfalls erfüllt. Aus ihr erhält man

(6.5)

__________________________________________________________________________

Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen

_____________________________________________________________________

Diese elektromagnetischen Wellen im Innenraum zwischen den beiden Leitern müssen auch in den angrenzenden Leitern Ladungswellen und Stromwellen erzeugen, die mit den Maxwellgleichungen kompatibel sind. Für die Ladungen gilt mit der ersten Maxwellschen Gleichung für die Oberflächenladungsdichte

(6.6)

Die Oberflächenladungsdichte ist eine fortlaufende Welle. Die Erhaltung der elektrischen Ladung bedingt für die Oberflächenladungsdichte in einem Abschnitt der Breite b

(6.7)

und damit

(6.8)

Die Integration über z und die Verwendung von c = ω∕k ergibt

(6.9)

__________________________________________________________________________

Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen Gesetzes

_____________________________________________________________________

Mit dem vierten Maxwellschen Gesetz ∮ SB ⋅ ds = ∬ A(S)μ₀( ) i + 𝜀 ∂E-- 0 ∂t⋅ da erhalten wir mit dem eingezeichneten Integrationsweg, da der Term mit E keinen Beitrag gibt (er liegt in der Integrationsebene)

(6.10)

Mit 𝜀₀ ⋅ μ₀ = 1∕c² folgt

(6.11)

eine identische Gleichung zu der im Zwischenraum abgeleiteten. Die Lösung für die auf dem Zweileitersystem transportierten Wellen ist also kompatibel mit den Maxwellgleichungen. Ladungen und Ströme bewegen sich als Wellen auf der Innenseite der Leiter.

6.3.1  Wellenwiderstand

Durch die in Abschnitt 6.3 abgeleiteten Gleichungen sind an jedem Ort z entlang des Doppelleitersystems und zu jeder Zeit t die lokal fliessenden Ströme I(z,t) und die elektromotorische Kraft (Spannung) UEMK(z,t) gegeben. Wenn wir nun an einer festen Stelle z in Gedanken einen ohmschen Widerstand zwischen den beiden Leitern einfügen, so muss dieser Widerstand einen vom Wellenleitersystem gegeben Wert haben, dass die elektromotorische Kraft UEMK(z,t) genau den Strom I(z,t) durch den Widerstand treibt. UEMK und I sind dabei von der Wellengleichung gegeben. Nur wenn der Widerstand angepasst ist, also wenn

(6.12)

gilt, wird aller Strom verbraucht. In allen anderen Fällen bleibt Strom übrig, der an der Stelle reflektiert werden kann, oder die elektromotorische Kraft treibt zusätzlichen Strom durch den Widerstand: dieser wird mit umgekehrtem Vorzeichen reflektiert.

Der gesamte Oberflächenstrom auf der oberen Platte an der Stelle z ist

(6.13)

Wenn man an einer beliebigen Stelle das Doppelleitersystem entzweischneidet und dort den Widerstand

(6.14)

den Wellenwiderstand, anschliesst, gibt es einen reflexionsfreien Abschluss, wir haben eine reine fortlaufende Welle. Das gleiche gilt für jede beliebige fortlaufende Welle, auch wenn sie nicht harmonisch ist.

Das Zweidraht-Doppelleitersystem hat den Wellenwiderstand

(6.15)

Die Grösse

(6.16)

ist der Wellenwiderstand des Vakuums.

Der Wellenwiderstand ist wichtig für das korrekte Arbeiten von Hoch- und Höchstfrequenzschaltungen.

__________________________________________________________________________

Pulse in einem Koaxialkabel. Oben links: korrekter Abschlusswiderstand, Oben Mitte zu kleiner und rechts zu grosser Abschlusswiderstand. Unten links ein Kurzschluss und rechts ein offenes Ende.

_____________________________________________________________________

Wellenleiter (Koaxialkabel, Lecherleitungen, Hohlleiter) erzeugen nur dann keine Reflexionen, wenn sie mit einem Abschlusswiderstand mit dem Wert ihres Wellenwiderstandes abgeschlossen werden (Siehe Abbildung 6.3.1).

6.3.2  Stehende Wellen

Versuch zur Vorlesung:

Stehende Wellen (Versuchskarte SW-032, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Stehende Wellen (Versuchskarte SW-032, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Stehende Wellen werden aus zwei fortlaufenden Wellen mit entgegengesetztem Wellenvektor k zusammengesetzt. Dabei müssen E, B und k in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden¹ . Die nach rechts laufende Welle wurde schon berechnet (hier sind nur die von null verschiedenen Komponenten angegeben)

Die nach links laufende Welle ist dann gegeben durch (Rechtssystem!)

Die Superposition der beiden Wellen ergibt die folgenden nicht verschwindenden Komponenten

Im Gegensatz zu laufenden Wellen sind bei stehenden Wellen die Orte der Extrema (Maxima oder Minima) der E- Felder und der B-Felder gegeneinander um λ∕4 verschoben.

Sensoren, die auf elektrische Felder empfindlich und Sensoren, die auf magnetische Induktionen empfindlich sind, zeigen Extrema im Abstand einer halben Wellenlänge. Die Extrema von E und B sind dann um λ∕4 gegeneinander örtlich verschoben.

6.4  Poynting-Vektor und Energiefluss

__________________________________________________________________________

Berechnung des Poynting-Vektors

_____________________________________________________________________

Wir hatten gesehen, dass das elektrische wie das magnetische Feld eine Energiedichte haben. Da sich bei Wellen diese Felder mit der Geschwindigkeit c ausbreiten, muss es einen Energiefluss geben. Wir betrachten einen Rechteckpuls auf einem Zweileitersystem. Der Energiefluss durch eine raumfeste Fläche A = b⋅d bezeichnen wir mit Sz, dem Energiefluss pro Flächen- und Zeiteinheit. Die in der Zeit dt transportierte Energie ist

(6.1)

Für beliebige fortlaufende Wellen im Vakuum gilt

(6.2)

Wir können damit die Gleichung (6.1) symmetrisch schreiben

Mit H = -1- μμ0B = -1-- cμμ0E = ∘-𝜀𝜀0- μμ0E bekommen wir

(6.4)

Damit ist auch klar, dass das E-Feld und das B-Feld je zur Hälfte zum Energiefluss beitragen.

Die allgemeine Form des Energieflusses im Vakuum ist

(6.5)

In Medien muss der Energiefluss wie

(6.6)

geschrieben werden. |S| gibt die in Richtung S fliessende Energie pro Flächeneinheit und Zeit wieder. Die Einheit von S ist J m⁻² s⁻¹. Da H und B über einen Tensor verbunden sein können, muss der Energiefluss nicht unbedingt in die Richtung des Wellenvektors zeigen. Dieses Verhalten ist die Grundlage von optisch doppelbrechenden Materialien.

Ein ähnliches Verhalten zeigen Wasserwellen am Strand. Die Energie der Wellen fliesst zum Strand, aber die Wellen können sich durchaus schräg dazu bewegen.

6.4.1  Energiefluss bei stehenden Wellen

Wir können nun den Poynting-Vektor einer stehenden Welle (siehe Abschnitt 6.3.2 berechnen. Wir verwenden die Gleichungen (6.19) und (6.5). Ausgeschrieben und mit Vektoren erhalten wir

Das Zeitintegral über eine Zeitperiode 2π∕ω ergibt den Nullvektor! Bei einer stehenden Welle wird keine Energie transportiert.

6.5  Elektromagnetische Wellen im Raum

Hier soll mit einer beschleunigten Ladung erklärt werden, wie Wellen im Raum entstehen.

Versuch zur Vorlesung:

Hertzscher Dipol (Versuchskarte SW-099, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Hertzscher Dipol (Versuchskarte SW-099, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Hertzscher Dipol (Versuchskarte SW-099, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

_______________________________________________

Wellenausbreitung

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine Ladung q, die die folgende Geschwindigkeit hat

Die Beschleunigungszeit Δt sowie die Beschleunigung a sollen so gewählt sein, dass

gilt. Die Behauptung ist, dass das elektrische Feld E für t » Δt wie in der Zeichnung oben aussieht. In der Beschleunigungsphase soll eine elektromagnetische Welle erzeugt worden sein. Ausserhalb der Kugel mit dem Radius

muss das elektrische Feld das Feld einer im Ursprung ruhenden Ladung sein, da nach der Relativitätstheorie die Information über die Beschleunigung diesen Raum noch nicht erreicht haben kann.

Innerhalb der Kugel mit

haben wir das Feld der Ladung q, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegt, denn in diesem Bereich ist die noch unbekannte Welle erzeugt durch die Beschleunigung einer Ladung schon wieder vorbei. Die Feldlinien im Laborsystem können wir erhalten, indem wir das elektrische Feld im Ruhesystem der Ladung (radiale Feldlinien) in das Laborsystem transformieren. Wenn v « c ist, haben wir auch im Laborsystem radiale Feldlinien, die von der momentanen Position der Ladung weggehen. Die Maxwellgleichung im Vakuum div E = 0 bedingt, dass die Feldlinien geschlossen und stetig sind. Die Vermutung ist, dass die Feldlinien in der Wellenzone linear die beiden Feldlinienmuster miteinander verbinden.

__________________________________________________________________________

Berechnung der Wellenausbreitung

_____________________________________________________________________

Da t » Δt ist, kann die Beschleunigungsphase für die Bestimmung der Position der Ladung zur Zeit t vernachlässigt werden. Wir haben also

(6.1)

Wegen v « c ist dann auch

(6.2)

sowie wegen t » Δt auch

(6.3)

Wir bezeichnen mit ⊥ die Richtung senkrecht zum Radiusvektor r. Wir erhalten dann, unter der Annahme, dass das E-Feld in der Wellenzone linear sei,

(6.4)

Mit

(6.5)

sowie mit t = r∕c bekommen wir

(6.6)

Wenn wir die Integralform der ersten Maxwellgleichung auf den kleinen Zylinder an der Stelle r anwenden, erhalten wir andererseits

(6.7)

und damit mit dem Coulombgesetz

(6.8)

Dies bedeutet, dass das radiale Er-Feld sich stetig durch die Kugelschale hindurch fortsetzt. Die Komponente E⊥ existiert nur in der Wellenzone. Das E⊥-Feld ist das gesuchte Feld der elektromagnetischen Feldes, das Strahlungsfeld. Seine Grösse ist

(6.9)

Vektoriell geschrieben lautet diese Gleichung

(6.10)

Das elektrische Feld E an der Stelle r ist proportional zur senkrechten Komponente der Beschleunigung, aber zur retardierten Zeit t′ = t − r∕c. Zum Strahlungsfeld gehört auch ein B-Feld, das so gerichtet ist, dass E, B und k ein Rechtssystem bilden. k ist die Ausbreitungsrichtung. Das Magnetfeld ist, in vektorieller Schreibweise,

(6.11)

Wenn wir Δt halbieren, bleibt der äussere Teil der des Strahlungsfeldes konstant, der innere Teil liegt dann in der Mitte der Verbindungslinie durch die Wellenzone. Durch fortgesetzte Anwendung dieses Verfahrens wird die Linearität des elektrischen Feldes in der Wellenzone gezeigt.

Wenn a ⊥ b ist, gilt die Vektoridentität a ×b ×a = (a ⋅ a ) b = |a |²b. Also ist im Vakuum

(6.12)

Also ist S kollinear zur Ausbreitungsrichtung k. Mit √ ----- 𝜀0μ0 = 1∕c erhalten wir auch im Vakuum

(6.13)

Diese Gleichung kann auf lokal isotrope Medien erweitert werden (𝜀 und μ sind Zahlen!)

(6.14)

Beispiel: Ein Elektron in einem Atom führe in die z-Richtung die harmonische Bewegung

(6.15)

aus. Dabei ist t′ die retardierte Zeit. Die Beschleunigung ist

(6.16)

Aus dem Wellenvektor k und der Beschleunigung a kann mit k ( k ) a⊥ = k × a × k die Senkrechtkomponente von a genannt a ⊥ berechnet werden. Das linke Kreuzprodukt mit der Klammer dreht den Vektor in die richtige Richtung, da die Klammer und k schon senkrecht sind. Das eingeklammerte Produkt ergibt dann den Zwischenwinkel sin(Θ ). Durch die Normierung von k kann dieser Zwischenwinkel direkt in die Gleichung für den Betrag des elektrischen Feldes

|| ( ) || E (r,Θ, t) = ---e---⋅1⋅|a ⊥(t′)| = ---e--⋅1-⋅||k-× a (t′) × k- || 4 π𝜀0c2 r 4π𝜀0c2 r |k k | e 1 ez ω2 1 [ ( r) ] = -----2-⋅-⋅|a(t′)|sin Θ = --0--2⋅-⋅sin ω t − -- sinΘ 4π 𝜀0c r 4π𝜀0c r c

(6.17)

eingetragen werden. Das Magnetfeld ist

(6.18)

Der Poynting-Vektor oder Energiefluss ist

(6.19)

Mit ⟨sin2(ωt − kr)⟩ t = 1∕2 wird die Intensität

(6.20)

Damit haben wir gezeigt, dass die Annahme eines harmonischen Oszillators das Strahlungsfeld eines Atoms erklären kann. Die abgeführte Energie dämpft dabei den Oszillator. Je stärker die Dämpfung ist, das heisst, je kürzer die Lebensdauer ist, desto breiter wird das Frequenzspektrum sein.

6.5.1  Ebene Wellen

Folien 6.8:
Folien zur Vorlesung vom 13. 07. 2009

_______________________________________________

Bild einer ebenen Welle

_____________________________________________________________________

Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Wellengleichung dadurch, dass die Amplitude und der Wellenvektor nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle des elektromagnetischen Feldes ist durch

(6.21)

gegeben. Der Vektor k, der , gibt die Ausbreitungsrichtung an, der Betrag |k | = k = 2π λ heisst die Wellenzahl. Bei elektromagnetischen Wellen im Sichtbaren kann man alternativ auch von Lichtstrahlen sprechen. Zum Vergleich, eine Longitudinalwelle ist eine örtliche Schwankung einer skalaren Funktion, zum Beispiel, des Druckes, gegeben durch

(6.22)

6.5.2  Kugelwellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 48, 710]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 287])

Versuch zur Vorlesung:

Wellenwanne (Versuchskarte O-021, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Wellenwanne (Versuchskarte O-021, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Wir können die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten.

Wir denken uns eine Kugeloberfläche um die Quelle, wobei die Quelle im Mittelpunkt der Kugel sein soll.

Der Energiefluss pro Zeit, die Leistung, die durch die gesamte Kugeloberfläche fliesst ist konstant, unabhängig vom Radius der Kugel.

Damit diese Gleichung für alle r gilt muss E(r) = 𝔈₀r -0r sein.

__________________________________________________________________________

Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der Distanz r von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.

_____________________________________________________________________

Bei elektromagnetischen Wellen gilt

(6.23)

Wenn im Abstand r0 von der Quelle der Kugelwelle der Betrag der Amplitude des elektrischen Feldes E0 oder die Intensität I0 ist, können der ortsabhängige Betrag der Amplitude E (r) oder die ortsabhängige Intensität I0 vereinfacht geschrieben werden.

Bei einer Kugelwelle ist

die Betrag der Amplitude: E(r) = E₀r0 r

die Intensität I(r) = I₀r20- r2

E 0 beziehungsweise I 0 enthalten die Details der Physik und kapseln diese.

6.6  Lichtgeschwindigkeit im Medium und Intensität

In einem Medium bewegen sich elektromagnetische Wellen langsamer. Die einfallende Welle regt die polarisierbaren Atome zum Schwingen an. Diese schwingen mit der gleichen Frequenz, aber mit einer frequenzabhängigen Phasenverschiebung. Die Resonanzfrequenz des Elektron-Atomrumpfsystems liegt im Ultravioletten. In der Summe wird die elektromagnetische Welle durch diese mit der zunehmenden Frequenz zunehmenden Phasenverschiebung verlangsamt. Mit dem (frequenzabhängigen) Brechungsindex n = √ 𝜀μ- bekommt man

(6.1)

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Die Brechzahl oder der Brechungsindex n gibt an, um wieviel langsamer elektromagnetische Wellen in einem Medium sind als im Vakuum. Die Intensität ist gegeben durch den Mittelwert des Poynting-Vektors S(r) = S₀(r) sin ²(k ⋅ r − ωt). Für harmonische Schwingungen erhält man für die auf die Fläche mit der Flächennormale a einfallende Intensität

wenn E das elektrische Feld, d.h. eine der beiden möglichen Amplituden der elektromagnetischen Welle ist. 𝜀₀ = 8.8542 ⋅ 10⁻¹²AS V-m ist die Vakuumpermittivität und c = 2.9979 ⋅ 10⁸ms die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Der Vorfaktor 1 2 entsteht durch die Mittelung über viele Perioden. Bei nichtmagnetischen Materialien (μ = 1) kann man auch schreiben:

Gleichung (6.2) kann auch so geschrieben werden:

(6.4)

6.7  Polarisation

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 475]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Versuch zur Vorlesung:

Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator (Versuchskarte SW-048, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Elektromagnetische Wellen (auch Licht) sind transversale Wellen. Das heisst,
dass das elektrische und das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Die Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für die elektromagnetischen Wellen sind durch E(x,t) = E₀(x) cos(k(x) ⋅x − ωt) und B(x,t) = B₀(x) cos(k(x) ⋅x − ωt)gegeben. Die Tatsache, dass wir eine Transversalwelle haben erfordert, dass E₀ der Bedingung

(6.1)

gilt.

Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind

der Wellenvektor k = (k; 0; 0)

und die Amplitude E₀ = (0; Ey; Ez)

Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.

Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von E₀ sowie die daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die E₀ zeigt ist die Polarisationsrichtung.

6.7.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 323]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 487]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

__________________________________________________________________________

Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator

_____________________________________________________________________

Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.

Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen π-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.

__________________________________________________________________________

Elektromagnetische Wellen durchstrahlen durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um π∕4 gedreht.

_____________________________________________________________________

Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator die elektromagnetische Welle. Der Analysator lässt nur die Projektion des E-Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt

(6.2)

wobei 𝜃 der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und Analysator ist. Da die Intensität der elektromagnetischen Welle durch I = n𝜀0c 2E² ist und somit proportional zum Quadrat der Amplitude I ∝ E², gilt

(6.3)

(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren eine Substanz eingebracht wird, die die Polarisationsebene der elektromagnetischen Welle dreht (eine „optisch aktive Substanz”) eingebracht wird, kann mit dieser Anordnung die Grösse der optischen Aktivität gemessen werden² .

__________________________________________________________________________

Dichroismus in einem Kristall von NaV O₄Mn (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla, verwendet mit Erlaubnis des Fotografen).

_____________________________________________________________________

6.8  Die Fresnelschen Formeln

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])

__________________________________________________________________________

Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.

_____________________________________________________________________

Die beiden Aufnahmen in Abbildung 6.8 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Aus den Abschnitten 2.9, 6.5 und 6.7.1 wissen wir, dass Licht vom Himmel polarisiert ist. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.

Versuch zur Vorlesung:

Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)

_______________________________________________

Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

________________________________________________________________

Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen

Der einfallende und der reflektierte Strahl elektromagnetischer Wellen definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.

Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heissen s-polarisiert. Die Polarisationsebene gibt die Richtung des elektrischen Feldes an.

Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heissen p-polarisiert.

Für die Intensität der elektromagnetischen Wellen in nichtmagnetischen Medien gilt I ∝√ 𝜀-E2 , wobei 𝜀 = n² ist.

Genauer gilt für die Intensität: I = ∘ ---- 𝜀μ𝜀μ00E² = n𝜀0c 2μE² für sinusförmige Wellen mit der Amplitude E.

Wir betrachten eine Welle Ee, die aus dem Medium mit μ₁ und 𝜀₁ auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ₂ und 𝜀₂ fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle

Gegeben sind 𝔈e, μ₁, 𝜀₁, μ₂, 𝜀₂, ke und ωe(|ke |). An den Grenzflächen gilt

Die tangentiale Komponente von E ist stetig.

Die tangentiale Komponente von H ist stetig.

Sei en der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes von Ee mit en liegt senkrecht zu en und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Um den Tangentialvektor in die ursprüngliche Richtung zurück zu drehebn, wenden wir nochmals ein Kreuzprodukt mit en an. Unabhängig von der Richtung von Ee bekommt man mit dieser Operation immer die Komponente von Ee tangential zur Grenzfläche

(6.2)

Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren Er und Et in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden

(6.3)

Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir

Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

wobei r nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist, also mit en ⋅r = 0. Damit Gleichung (6.5) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen gleich sein

(6.6)

Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

r zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche. Da der Ursprung des Koordinatensystems nicht in der Grenzfläche liegen muss, ist r im Allgemeinen nicht parallel zur Grenzfläche. Aus der ersten Gleichung in (6.7) folgt

(6.8)

Eine Gleichung vom Typ a ⋅r = ϖ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von r liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor a. ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke −kr liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke −kr. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst |ke| = ke = |kr | = kr. Wir können also schreiben

(6.9)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

(6.10)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der reflektierten Welle kr.

Das Reflexionsgesetz besagt, dass

(6.11)

(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)

Aus Gleichung (6.7) folgt weiter

(6.12)

Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke −kt liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke −kt. Wir können also schreiben

(6.13)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

(6.14)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der transmittierten Welle kt. Aus der Wellengleichung folgt

(6.15)

Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (6.14) auch als

(6.16)

oder

(6.17)

Mit der Definition (6.1) (n = √ --- μ𝜀) bekommt man auch

(6.18)

Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.

Schliesslich können wir noch eine Beziehung der Tangentialkomponenten aller Felder erhalten. Analog zur Gleichung (6.3) können wir die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren angeben:

Wir subtrahieren Gleichung (6.19a) von Gleichung (6.19b), beziehungsweise von Gleichung (6.19c) erhalten wir die Beziehungen

Gleichungen (6.9) und (6.13) sagen, dass kt −ke und kt −ke parallel zu en sind. Damit können wir kr −ke = Γreen und kt −ke = Γteen schreiben. Wir könne die Gleichungen (6.20a) beziehungsweise (6.20b) umformen

Damit gilt für die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren

Die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen sind gleich.

(6.22)

Die Änderung der Ausbreitungsrichtung bei Reflexion und Brechung stammt alleine von den Komponenten der Wellenvektoren, die parallel zum Normalenvektor der Grenzfläche liegen.

6.8.1  s-Polarisation

Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.

Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten 𝜀₁ und 𝜀₂ sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

(6.23)

wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen en sind, 𝔈e ist die Amplitude der E-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), 𝔈r die Amplitude der reflektierten und 𝔈t die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

(6.24)

Die Komponente von E parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.3)

(6.25)

Wir beachten, dass a² − b² = (a − b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten

(6.26)

Aus der Kombination der Gleichungen (6.25) und (6.26) erhalten wir die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation.

Die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation lauten

Mit den Brechungsindizes n₁ = √ ----- μ1𝜀1 und n₂ = √ ----- μ2𝜀2 erhält man

Nach dem Brechungsgesetz ist

Wir setzen dies ein und erhalten

Wir setzen 𝔈e + 𝔈r = 𝔈t ein und bekommen

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation

Dabei ist

Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation bei nichtmagnetischen Materialien

Dabei ist

Wenn α > γ, wenn also die elektromagnetische Welle aus dem schnelleren Medium auf das langsamere Medium trifft, haben 𝔈e und 𝔈r unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um π bei der Reflexion auf.

Bei der Reflexion am schnelleren Medium α < γ ist sin(α−γ) negativ und 𝔈r positiv. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion. Dies erklärt zum Beispiel, warum Seifenlamellen in Reflexion schwarz werden, wenn die Dicke gegen null geht.

Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl 𝜀₁ und der relativen magnetischen Permeabilität μ₁.

Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man 𝔈r ≈ −𝔈esinα-−sinγ sinα+sinγ = −𝔈en2−-n1 n2+n1

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien

Wir haben die einfallende Intensität Ie = n₁𝜀02c𝔈e² als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor nn2 1 für It. Im Medium mit dem Brechungsindex n₂ wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex n₁. Ist n₂ grösser als n₁. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I₂ muss grösser werden.

6.8.2  p-Polarisation

__________________________________________________________________________

Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die k-Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die E-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

_____________________________________________________________________

Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von E durch

(6.33)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)

(6.34)

Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten

(6.35)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit ∘ 𝜀1- μ1

und addieren

(6.37)

Um 𝔈r zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in (6.36) mit cos γ und die untere mit ∘ 𝜀2- μ2

subtrahieren und erhalten

(6.38)

Damit erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

Mit den Brechungsindizes n₁ = √ ----- μ1𝜀1 und n₂ = √ ----- μ2𝜀2 erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

Die Brechungsindizes n₁ und n₂ können mit dem Snelliusschen Gesetz n₁ sin α = n₂ sin γ eliminiert werden

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

Mit sin(α ± γ) cos(α ∓ γ) = sin α cos α ± sin γ cos γ werden die obigen Gleichungen

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

Die Quotienten aus sin und cos können zu tan zusammengefasst werden

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:

Wir haben die einfallende Intensität Ie = n₁𝜀02c𝔈e² als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor n2 n1 für It.

6.8.3  Grenzfall des senkrechten Einfalles

__________________________________________________________________________

Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die s- und p-Polarisation.

_____________________________________________________________________

Im Grenzfall α → 0 müssen die Resultate für die s- und p-Polarisation übereinstimmen. Wir betrachten den Fall kleiner Winkel. Dann lautet das Snelliussche Brechungsgesetz

(6.46)

Weiter gilt

(6.47)

Lässt man in Gleichung (6.44) α gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte und das transmittierte elektrische Feld in der p-Polarisation

und damit 𝔈r,p > 0. Andererseits hat der Grenzwert des elektrischen Feldes 𝔈r,s für α gegen Null bei der s-Polarisation in Gleichung (6.31)

einen negativen Wert. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.8.3 und Abbildung ?? die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen.

__________________________________________________________________________

Richtungen der Felder bei senkrechtem Einfall. Links ist die s-Polarisation gezeigt, rechts die p-Polarisation. Die Wellen und Felder aus Abbildung 6.8.3 sind hier zu senkrechtem Einfall gedreht. Die gestrichelten Pfeile zeigen die Richtung der k aus Abbildung 6.8.3.

_____________________________________________________________________

Wenn wir die einfallende Welle als Rechtssystem betrachten, dann muss das ganze Vektordreibein (k,E, B) gedreht werden. Dies führt bei der p-Polarisation zu einer Situation, die mit der Lage der elektrischen Felder kompatibel ist. 𝔈r,p zeigt in die zu 𝔈e,p entgegengesetzte Richtung. Bei der s-Polarisation zeigen 𝔈r,s und 𝔈e,s in die gleiche Richtung. Deshalb existiert das Minuszeichen in Gleichung (6.49a). Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen 𝔈r,p und 𝔈s,p in identische Richtungen.

Für die Intensitäten können wir die gleiche Rechnung durchführen, z.B. für die Gleichungen (6.45).

Diese Gleichungen gelten sowohl für die s-Polarisation wie auch für die p-Polarisation. Die Summe der reflektierten und transmittierten Intensität ist

( )2 2 Itot = Ir+It = Ie n2-−-n1- +Ie --4n1n2---= Ie(n2 −-n1)-+-4n1n2-- n2 + n1 (n2 + n1 )2 (n2 + n1)2 2 = Ie(n2-+-n1)- = Ie (n2 + n1)2

(6.51)

Sie ist gleich der eingestrahlten Intensität.

6.8.4  Brewster-Winkel

Wenn bei der p-Polarisation in der Gleichung (6.44) für 𝔈r der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner. Wir erhalten also 𝔈r(α = π∕2 − γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.

Beim Brewsterwinkel gegeben durch

(6.52)

ist 𝔈r,p für die p-Polarisation gleich null. Die elektromagnetische Welle ist s-polarisiert!

Gleichung (6.52) kann mit dem Brechungsgesetz (6.18) nach αBrewster aufgelöst werden

(6.53)

__________________________________________________________________________

Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Links ist der Analysator so gestellt, dass dass das an der Wasseroberfläche reflektierte Licht durchgelassen wird. Rechts die gleiche Szene, aber der Analysator blockt das an der Wasserfläche reflektierte Licht.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Die beiden Bilder aus Abbildung 6.8.4 sind hier übereinandergelegt.Die Trennlinie läuft entlang des Baumstammes.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Linkes und rechtes Bild wurden mit zwei Stellungen des Polarisationsfilters aufgenommen.

_____________________________________________________________________

Versuch zur Vorlesung:

Brewsterwinkel (Versuchskarte O-115, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Brewsterwinkel (Versuchskarte O-115, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Brewsterwinkel (Versuchskarte O-115, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

6.8.5  Beispielkurven für die Fresnelformeln

__________________________________________________________________________

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n₁ = 1) in das langsamere (n₂ = 1.5) eintreten.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n₁ = 1) in das langsamere (n₂ = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE² berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n₁ = 1.5) Medium in das schnellere (n₂ = 1)eintreten.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n₁ = 1.5) Medium in das schnellere (n₂ = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE² berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

_____________________________________________________________________

Folien zur Vorlesung vom 20. 07. 2009

6.8.6  Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Wir betrachten hier die p-Polarisation. Der einfallende Energiefluss ist

(6.54)

Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

(6.55)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

(6.56)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation

gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

berechnen.

Wir setzen A = cos[2α − 2γ] und B = cos[2α + 2γ] und schreiben die Gleichung um

Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.

__________________________________________________________________________

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren (n₁ = 1) Medium in das langsamere (n₂ = 1.5) eintreten.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n₁ = 1.5) Medium in das schnellere (n₂ = 1) eintreten.

_____________________________________________________________________

Für beide Bilder wurde die Intensität mit I = niE² cos(α i) berechnet, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von 𝜀E = D liefert das Snelliussche Gesetz.

6.8.7  Felder und Intensitäten bei senkrechtem Einfall

Da bei senkrechtem Einfall s- und p-Polarisation ununterscheidbar sind, können die Gleichungen am einfachsten aus Gleichung (6.41) abgeleitet werden. Aus dem Brechungsgesetz folgt, dass mit α = 0 auch γ = 0 ist. Setzen wir diese beiden Werte in Gleichung (6.41) ein, erhalten wir

Die Intensitäten bei senkrechtem Einfall ist über

(6.61)

gegeben. Also haben wir (wir lassen die gleichen Faktoren in allen Intensitätsgleichungen weg)

In beiden Fällen ist nur das Verhältnis der Brechungsindizes wichtig. Mit an = n₂∕n₁ erhalten wir

Aus den beiden Gleichungen (6.63c) und (6.63d) ersieht man leicht, das die Summe aus transmittierter und reflektierter Intensität

(6.64)

ist. Wesentlich war dabei der Faktor n₂∕n₁ bei der Berechnung der transmittierten Intensität. Die folgende Abbildung 6.8.7 zeigt das Verhalten der refelktierten und transmittierten feldamplituden und Intensitäten als Funktion von an = n₂∕n₁.

__________________________________________________________________________

Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n₂∕n₁.

_____________________________________________________________________

Abbildung 6.8.7 zeigt die gleichen Kurven in logarithmischer Darstellung.

__________________________________________________________________________

Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n₂∕n₁, mit logarithmischer Abszisse.

_____________________________________________________________________

6.8.8  Evaneszente Wellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 193, 196])

Versuch zur Vorlesung:

Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)

Versuch zur Vorlesung:

Tunneleffekt mit Mikrowellen (Versuchskarte O-079, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Tunneleffekt mit Mikrowellen (Versuchskarte O-079, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Tunneleffekt mit Mikrowellen (Versuchskarte O-079, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium (n₁) in das schnellere n₂ < n₁ eintreten, es Winkel γ gibt ((n₁∕n₂) sin α = sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist dann in die z-Richtung rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch die z-Komponente des k-Vektor der elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikzz mit k z = iκz der exponentielle Dämpfungsfaktor e−κzz, wobei κ z vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter in die z-Richtung bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

__________________________________________________________________________

Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Intensitätsverteilung einer total reflektierten Welle und der dazugehörigen evaneszenten Welle.

_____________________________________________________________________

Wir suchen nun eine Beziehung zwischen dem Wellenvektor kt der transmittierten Welle und dem Welllenvektor ke der einfallenden Welle für den Fall, dass n₁ sin(α) ≥ n₂ ist, also dass dass Snelliussche Brechungsgesetz (6.18) keine reelle Lösung hat.

Aus der Definition der Brechzahl n in Gleichung (6.1) und der Gleichung (6.15) folgt mit λvac der Vakuumwellenlänge und c = 1∕√ ----- 𝜀0μ0 der Vakuumlichtgeschwindigkeit

(6.65)

Der Betrag der Tangentialkomponente ke,tangential des Wellenvektors der einfallenden Welle kann mit dem Einfallswinkel berechnet werden:

(6.66)

Der Betrag des Wellenvektors der transmittierten Welle ist andererseits

(6.67)

Wir stellen Gleichung (6.67) um und isolieren kt,senkrecht², und setzen dann Gleichungen (6.22) und (6.66) ein

Im Falle der Totalreflexion ist n₁ sin(α) ≥ n₂ und damit n₂² −n 1² sin ²(α) ≤ 0. Damit erhalten wir für den Betrag von kt,senkrecht

(6.69)

Die physikalisch sinnvolle Lösung für einen unendlich ausgedehnten Halbraum mit dem Brechungsindex n₂ ist die exponentiell abfallende Lösung

(6.70)

Die resultierende Welle im Medium hat dann die zeitgemittelte Intensität

(6.71)

Wir erhalten also für die Intensität einen exponentiellen Abfall mit einer Abfalllänge

(6.72)

Wenn eine Welle mit der Vakuumwellenlänge λvac = 500 nm und dem Einfallswinkel α = 5π∕12 = 75° von einem Medium mit dem Brechungsindex n₁ = 1.55 in Luft n₂ = 1 übertritt, ist λ₀ = 35.71 nm.

6.9  Zusammenfassung

Maxwellgleichungen im Vakuum

Gleichung (6.3)

Wellengleichung für E

Gleichung (6.7)

Wellengleichung für B

Gleichung (6.8)

Wellenwiderstand eines Zweidrahtsystems

Gleichung (6.15)

Wellenwiderstand des Vakuums

Gleichung (6.16)

Energiefluss im Vakuum, Poynting-Vektor

Gleichung (6.5)

Energiefluss in Materie, Poynting-Vektor

Gleichung (6.6)

Elektrisches Strahlungsfeld eines Atoms

Gleichung (6.17)

Magnetisches Strahlungsfeld eines Atoms

Gleichung (6.18)

Energiefluss des Strahlungsfeldes eines Atoms

Gleichung (6.19)

Intensität des Strahlungsfeldes eines Atoms

Gleichung (6.20)

Ebene Welle

Gleichung (6.21)

Kugelwelle

Gleichung (6.23)

Lichtgeschwindigkeit im Medium

Gleichung (6.1)

Intensität, Poynting-Vektor und Richtung

Gleichung (6.2)

S0: Richtung des Energieflusses, a: Beobachtungsrichtung

Polarisation

Gleichung (6.1)

Tangentialvektor zu einer Ebene

Gleichung (6.2)

Reflexionsgesetz

Gleichung (6.11)

Brechungsgesetz nach Snellius

Gleichung (6.18)

Fresnelsche Gleichungen für die s-Polarisation

Gleichung (6.27)

Gleichung (6.28) (mit n₁ = √ ----- μ1𝜀1 und n₂ = √ ----- μ2𝜀2 )

Fresnelsche Gleichungen für s-Polarisation: Amplitude

Gleichung(6.31)

mit√ -- √ -- 𝜀1sin α = 𝜀2sinγ und nichtmagnetischen Materialien

Fresnelsche Gleichungen für s-Polarisation: Intensität

Gleichung (6.32)

mit√ -- √ -- 𝜀1sin α = 𝜀2sinγ und nichtmagnetischen Materialien

Fresnelsche Gleichungen für die p-Polarisation

Gleichung (6.39)

Gleichung (6.40) (mit n₁ = √ μ1𝜀1- und n₂ = √ μ2𝜀2- )

Fresnelsche Gleichungen für p-Polarisation: Amplitude

Gleichung (6.44)

mit√ 𝜀1sin α = √ 𝜀2sinγ und nichtmagnetischen Materialien

Fresnelsche Gleichungen für p-Polarisation: Intensität

Gleichung (6.45)

mit√ 𝜀1sin α = √ 𝜀2sinγ und nichtmagnetischen Materialien

Reflexion bei senkrechtem Einfall (polarisationsunabhängig)

Gleichung (6.48a)

Transmission bei senkrechtem Einfall (polarisationsunabhängig)

Gleichung (6.48b)

Brewster-Winkel

Gleichungen (6.52) und (6.53)

Evaneszente Welle

im Medium mit dem kleineren n. Gleichung (6.70)

Evaneszente Welle

im Medium mit dem kleineren n. Gleichung (6.71)

Abfalllänge der evaneszenten Welle

Gleichung (6.72)

A.  Literaturhinweise

Den Stoff der Vorlesung finden Sie in ähnlicher Form in den Werken von Giancoli „Physik”[Gia06], Gerthsen/Meschede „Physik”[Mes06], Tipler „Physik”[TM04], Leisi „Klassische Physik”[Lei98], Alonso-Finn „Physik”[AF00] und, als leichtere Einführung im Buch von Halliday „Physik”[HRW03].

Eine gut strukturierte (und leicht tragbare Übersicht bieten Lindström/Langkau „Physik kompakt: Elektrodynamik”[LL96] und Langkau/Lindström/Scobel „Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen”[LLS96]

Zusätzliche Übungsaufgaben finden Sie in „Tutorien zur Physik”[MS09] oder im „Prüfungstrainer Physik”[Tur07]. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[Kne78] „Repetitorium der Physik” empfohlen werden. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[Bro+08] zusammengefasst. Arfken/Weber „Mathematical methods for Physicists”[AW95] und sowie Weltner „Mathematik für Physiker”[Wel94] können beim Bewältigen von mathematischen Problemen helfen.

Dieses Skript gibt es auch als PDF-Datei und als Web-Site.

Unter Applets von Walter Fendt können Sie einige Gesetze der Elektrizitätslehre selber ausprobieren.

Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.

Historische wissenschaftliche Arbeiten bieten oftmals einen guten Einblick in die Gedanken hinter den physikalischen Gesetzen. Dazu gehören die Arbeiten von Michael Faraday [Far32a; Far32b; Far33b; Far33a; Far33c; Far34a; Far34b; Far34c; Far35a; Far35b; Far38b; Far38a; Far38a; Far38a; Far38a; Far38a; Far39; Far40; Far40; Far43; Far46; Far46; Far46; Far49a; Far49b; Far50; Far51b; Far51c; Far51a; Far51a; Far52a; Far52b; Far56], James Clerk Maxwell [Max65; Max73] und anderen.

B.  Begriffe

Symbol

Name

Einheit

Bemerkungen

Mittelung über f

−

α

atomare Polarisierbarkeit

C2 m N = C m2 V = F m2 = 2 A sVm-

α

Winkel (z.B. zwischen Geschwindigkeit und der Oberflächennormalen der Referenzfläche

1

a

Abstand einer Ladung zur Oberfläche, Radius

m

a

Dicke eines Dielektrikums

m

a

Länge einer Leiterschlaufe in einem Motor

m

da

Oberflächenelement in Integralen

m²

a

Beschleunigung

m- s2 = N- kg

A

Fläche

m²

A

Fläche des Plattenkondensators

m²

A

Vektorpotential

T m = N- A = m-kg2 A s = V s- m

β

reduzierte Geschwindigkeit

1

da β = v c

b

Breite eines Dielektrikums

m

b

Breite einer Leiterschlaufe in einem Motor

m

h

Breite des Leiters in einer Hall-Anordnung

m

B

magnetische Induktion

T = AN m-- = kg-- A s2 = V-s m2

c

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Wert (Definition): c = 299 792 458 ms-

C

Kapazität

F = C- V = A s- V = J-- V2 = C2 J-

C

Curie-Konstante

AT K m- = A2 K N = A m-K V s

cij

Kapazität zwischen den Körpern i und j

F

δ(t)

Delta-Funktion für die Zeit

δ(x)

Delta-Funktion für den Ort

δx

Längenelement

m

andere Schreibweise zu dx

Δ

Laplace-Operator

Δf = ∂2f2- ∂x +∂2f2 ∂y + ∂2f ∂z2

dA

Flächenelement

m²

d

Abstand

m

d

Abstand der Platten im Plattenkondensator

m

div 

Divergenz-Operator

div f =(-∂ ) |∂x∂ | (∂y ) ∂∂z ⋅ (f ) | x| (fy) fz = ∂fx ∂x + ∂fy ∂y + ∂fz ∂z

D

Dielektrische Verschiebung

C-- m2 = V N m- = N V-m-

e

Elementarladung

C

Wert (Definition): e = 1.602 176 634 ⋅ 10⁻¹⁹ C

e

Basis des natürlichen Logarithmus

1

e = 2.7182818284590

𝜀

relative Permittivität

1

Im Allgemeinen ist 𝜀 ein Tensor. (heisst auch relative Dielektrizitätskonstante)

𝜀₀

Permittivität des Vakuums

C2-- N m2 = C V m- = J V2-m

𝜖₀ = 8.854 187 812 8(13) ⋅ 10⁻¹² C2 N-m2

E(r)

elektrisches Feld

NC- = Vm-

Elokal

lokales elektrisches Feld

N- C = V- m

E₀

elektrisches Feld ohne Dielektrikum

N- C = V- m

Verwendet bei Berechnungen mit dielektrischen Materialien

Epot

potentielle Energie

J = N m

Et

spezifische Haftenergie

ϕ

eine der Koordinaten bei Kugelkoordinaten

1

Winkel gemessen von der x-Achse in der xy-Ebene (Längengrad)

φ

elektrostatisches Potential

J- C = V

φ

Phase

1

Φ

Fluss eines Vektorfeldes F

N m²

Einheit hängt von der Einheit des Vektorfeldes ab

ΦB

magnetischer Fluss

Wb = T m² = N-m- A = kg m2 -A-s2- = V s

f(x)

Funktion

−

x ist ein Platzhalter

F

Kraft

N

FL

Lorentzkraft

N

FM

magnetische Kraft

N

FV

Kraftdichte

FV = lim ΔV →0ΔF-V ΔV

γ

relativistischer Korrekturfaktor

1

γ = ( v2) 1 − c2−1∕2

grad 

Gradienten-Operator

grad f =( -∂) | ∂x∂| ( ∂y∂) ∂zf = ( ∂f) | ∂∂xf| ( ∂∂yf) ∂z

G

Leitwert

S = AV- = 1Ω-

G

Gravitationskonstante

Wert: G = 6.674 30(15) ⋅ 10⁻¹¹ -m3- kg s2

h

Höhe der Mantelfläche

m

h

Höhe des Leiters in einer Hall-Anordnung

m

h

Plancksches Wirkungsquantum

J s

h = 6.63 ⋅ 10⁻³⁴ J s

ℏ

reduziertes Plancksches Wirkungsquantum

Js

h ≈ 10⁻³⁴Js

H

Magnetfeld

i

Stromdichte

I

Strom

A

Ieff

effektiver Strom

A

Irms

RMS-Strom

A

Leistungsgewichteter Strom, «Root Mean Square »-Strom

j

lineare Stromdichte

j = lim Δy→0I(Δy)- Δy

k

Federkonstante

k

beliebige, auch komplexe Zahl

1

kB

Boltzmann-Konstante

K

Vorfaktor

1

λ

mittlere freie Weglänge

m

λ

Linienladungsdichte

ℓ

Abstand von −q zu +q im Dipol

m

ℓ

Drehimpuls

L

Länge

m

L

Selbstinduktion oder Selbstinduktivität einer Spule

H = W-b A = 2 TmA-- = Nm2- A = kgm2- A2s2 = VAs- = Ωs

μ₀

Induktionskonstante

2 NCs2- = N2- A = H- m

μ₀ = 4π ⋅ 10⁻⁷AN2-

m

Masse

kg

m

magnetisches Moment

Am²

mz

magnetisches Moment in z-Richtung

Am²

M

Gesamtmasse aller Ionen

kg

M₁₂

Gegeninduktivität zwischen zwei Spulen

H = W-b A = 2 TmA-- = Nm2- A = kgm2- A2s2 = VAs- = Ωs

MMol

Molmasse

M

makroskopische Magnetisierung

ν

Frequenz

Hz = 1 s

n

Ladungsträgerdichte

n

spezifische Windungszahl einer Spule

n = N- ℓ

n

Normalenvektor auf ein Flächenelement

1

N

Dichte der induzierten Dipole

N

Windungszahl einer Spule

1

NA

Avogadrozahl

NA = 6.02 × 10²³Mo1l-

p

Dipolmoment

Cm

p

Impuls (mechanisch)

kgm-- s = Ns

pind

induziertes Dipolmoment

Cm = Asm = 2 NmV--

P

Leistung

W = J- s = Nm- s = m2kg s3

z.B. Verlustleistung am Widerstand

P

Polarisation

C-- m2 = As- m2 = NVm-

PM

Leistung des Motors

W = Nm- s = m2kg s3

q

Ladung

C = As = NVm-

Q

Ladung

C = As = Nm- V

andere Schreibweise für q

ρ

Massedichte

ρel

elektrische Ladungsdichte

C-- m3 = P-a V

Siehe auch Gleichung (2.4)

ρ

spezifischer Widerstand

Ωm = Vm- A = m- S

ρ

Abstand

m

r

Abstand, Ortsvektor

m

r₀

Referenzradius

m

rot 

Rotations-Operator

rot f =( ∂-) | ∂∂x| ( ∂y) ∂∂z×( ) |fx| (fy) fz = ( ∂fy− ∂fz-) | ∂∂zfz ∂∂yfx | |( ∂x-− ∂z-|) ∂∂fyx− ∂∂fyx-

R

Widerstand

Ω = V- A

R∗

Wellenwiderstand

Ω = V- A

R

Radius

m

σ

Oberflächenladungsdichte

σ

Influenzladungsdichte an der Oberfläche

σ

(spezifische) Leitfähigkeit

S- m =-A-- V m = -1-- Ω m

Im Allgemeinen ist die Leitfähigkeit ein Tensor

σMaxwell

Maxwellspannung (mechanische Spannung)

σMaxwell = lim ΔA→0ΔF- ΔA

s

Schlaufe, ein Weg

m

s

Spin

J s

ds

Längenelement

m

S

Bezugssystem für relativistische Rechnung

−

S′

Bezugssystem für relativistische Rechnung

−

S⁺

Bezugssystem für relativistische Rechnung

−

S⁻

Bezugssystem für relativistische Rechnung

−

S

Poynting-Vektor

-J- m2 = N-- m s

Θ

eine der Koordinaten bei Kugelkoordinaten

1

Winkel gemessen von der z-Achse (Breitengrad, von Norden gemessen)

τ

Mittlere Zeit zwischen zwei Stössen, Relaxationszeit

s

τ

Abklingzeitkonstante eines RC-Gliedes

s

τ

Zeit unter Integralen

s

t

Zeit

s

Δt

kleine Zeitdifferenz

s

T

Drehmoment

N m

T

Periodendauer einer periodischen Grösse

s

T

Temperatur

K

U

Spannung, auch elektrostatisches Potential

-J C = V

Ugrav

Gravitationspotential

kJg = 2 ms2-

UC

Spannung am Kondensator

V = N-m-s A

Ueff

effektive Spannung

V

Urms

RMS-Spannung

V

Leistungsgewichtete Spannung, «Root Mean Square»-Spannung

UEMK

elektromotorische Kraft

V = N-m-s A

UHall

Hallspannung

V = N-m-s A

UR

Spannung am Widerstand

V = NmAs

vj

Geschwindigkeit des j-ten Ladungsträgers

vs

Abziehgeschwindigkeit Klebestreifen

V

Hilfsvektorpotential

T m = ßnewton/A = mAk sg2

dV

Volumenelement

m³

ω

Kreisfrequenz

ω = 2πν

Ω

Larmorwinkelgeschwindigkeit

wel

elektrische Energiedichte

J m3- = N m2-

wB

Energiedichte des Magnetfeldes

mJ3- = mN2-

W

Arbeit

J = N m

Wel

elektrische Arbeit

J = N m

Wmech

mechanische Arbeit

J = N m

WBatt

Arbeit der Batterie

J = N m

ξ

Ersatz für x in Integralen

m

χ

magnetische Suszeptibilität

1

Im Allgemeinen ist χ ein Tensor

χe

dielektrische Suszeptibilität

1

Im Allgemeinen ist χe ein Tensor

x

Ortsvektor

m

x

Koordinate im kartesischen Koordinatensystem

m

XC

Impedanz der Kapazität oder kapazitiver Widerstand

Ω

XL

Impedanz der Spule oder induktiver Widerstand

Ω

y

Koordinate im kartesischen Koordinatensystem

m

z

Koordinate im kartesischen Koordinatensystem

m

Z

Kernladungszahl

1

C.  Mathematische Sätze

C.1  Ableitung

__________________________________________________________________________

Berechnung der Ableitung

_____________________________________________________________________

d.h. die Steigung einer Kurve oder die Änderung finden

(C.1)

Gesetze beim Ableiten:

(C.2)

(C.3)

s

___________________________________________________________________________

f(x)
f′(x)

sin (x )
cos (x)

cos (x)
− sin (x)

ln(x)
1x

ex
ex

Beispiele für Ableitungen

_____________________________________________________________________

C.2  Differentiationsregeln

Einige Differentiationsregeln sind

___________________________________________________________________________

Definition der Ableitung
u = f(t)

u′ = ddut = f′(t) =
lim Δt→0f(t+Δt)−f(t)- Δt

Partielle Ableitung
u = f(x,y,z,…,t)

∂u ∂x =
lim Δx→0f(x+Δx,y,z,...,t)−-f(x,y,z,...,t) Δx

Andere Schreibweise
u = f(t)
du dt = d- dtu = -d dtf(t)

Konstanter Faktor
u = f(x),c = const
dcu- dx = cdu dx

Summenregel
u = f(t),v = g(t)
d(u+v)- dt = du dt + dv dt

Produktregel
u = f(t),v = g(t)
dudvt- = uddvt + vddut

Bruch
u = f(t),v = g(t)
-d dt( ) u v = du dv vdt−u2-dt- v

Kettenregel
u = f(v),v = g(t)
df(g(t)) dt = df(v dvdv dt = df(v dvdg(t) dt

logarithmische Ableitung
u = f(x)
dlnu- dx = ddyx y

Differentiationsregeln

_____________________________________________________________________

C.3  Differentiation einfacher Funktionen

___________________________________________________________________________

Funktion
n-te Ableitung

xm
m(m − 1)(m − 2)…(m − n + 1)xm−n

bei ganzzahligem m und n und

m > n ist die n-te Ableitung null

ln x
(−1)n−1(n − 1)!x−n

log a(x)
(−1)n−1(n−-1)! lnax−n

ekx
knekx

akx
(k lna) nakx

sin(kx)
kn sin ( nπ) kx + 2

cos(kx)
kn cos ( nπ) kx + 2-

Ableitung einiger Funktionen

_____________________________________________________________________

Beispiel:

soll differenziert werden. Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

C.4  Taylorreihe und Reihen

Definition

andere Schreibweise

Beispiel

Spezialfall: x = 0

C.5  Einige Reihen

___________________________________________________________________________

Funktion
Potenzreihe
Konvergenz

(1 ± x)m
1 ± mx + m(m-−1) 2!x² ±m(m−1)(m-−2) 3! + …
|x|≤ 1

+(±1)nm(m−1)...(m− n+1 ) ------n!-------xn + …

sin(x + Δx)
sin(x) + Δx 1!- cos(x) + (Δx)2 -2!--f′′(x) + …
|Δx| < ∞

+n (Δx)- (n)! sin(x + πn 2) + …

cos(x + Δx)
cos(x) − Δx sin(x) −Δx2cos(x) 2! + Δx3sin(x)- 3!
|Δx| < ∞

+4 Δx-c4o!s(x) −… + Δxncos(x+ nπ) -----n!--2-- ±…

tan x
x + 1 3x³ + 2 15x⁵ + 17 315-x⁷ + 62 2835-x⁹…
|x| < π 2

cot x
1 x −[x x3 2x5 -x7- ] 3 + 45 + 945 + 4725 ...
0 < |x| < π

ex
1 + x 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + …
|x| < ∞

ax = ex ln a
1 + xlna -1!- + (xlna)2 --2!-- + (xlna)3 --3!-- + (x lna)4 --4!-- + …
|x| < ∞

ln x
2[x−1 (x− 1)3 (x− 1)5 x+1 + 3(x+1)3 + 5(x+1)5 + ...
x > 0

ln x
(x − 1) −(x−1)2- 2 + (x−-1)3- 3 + …
0 < x ≤ 2

+(−1)n+1(x−1)n --n--- + …

ln x
x−-1 x + 1 2(x−-1) x² + 1 3( x−1) x³ + …
x > 1 2

+1 n( ) x−1 xn + …

ln(1 + x)
x −x2 2 + x3- 3 −x4 4 + …
−1 < x ≤ 1

+(−1)n+1xn n + …

arcsin x
x + x3- 2⋅3 + 1⋅3x5 2⋅4⋅5 + 1⋅3⋅5x5- 2⋅4⋅6⋅7 + …
|x| < 1

arccos x
π 2 −[ ] x + -x3-+ 1⋅3x5+ 1⋅3⋅5x5+ ... 2⋅3 2⋅4⋅5 2⋅4⋅6⋅7
|x| < 1

arctan x
x −x3 3 + x5 5 −… + (−1)nx2n+1 2n+1 + …
|x| < 1

Reihenentwicklungen

_____________________________________________________________________

C.6  Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten

Eine allgemeine Funktion f(x), die genügend oft stetig differenzierbar ist, soll in der Nähe des Wertes x₀ angenähert werden (Siehe auch die Ausführungen über Taylorreihen in C.4).

__________________________________________________________________________

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

_____________________________________________________________________

Abbildung C.6 zeigt, wie die Funktion cos(x) an der Stelle x₀ = −π∕4 angenähert wird. Die Funktion und die ersten drei Ableitungen sind

In nullter Näherung würde man sagen, dass cos(x) = 1∕√-- 2 + O(1) ist in der Umgebung von x₀ = −π∕4. Das Symbol O(1) bedeutet, dass Terme von x mit dem Exponenten grösser oder gleich 1 vernachlässigt wurden.

In erster oder linearer Näherung hätten wir cos(x) = 1∕√2-−1∕√2--(x−(−π∕4))+O(2) = 1∕√2--(1 − (x + π∕4))+O(2). Hier sind Terme mit dem Exponenten 2 oder mehr vernachlässigt worden.

Die nächste Näherung, die 2., nimmt auch die quadratischen oder paraboloiden Anteile mit. Hier wäre cos(x) = 1∕√2-−1∕√2--(x−(−π∕4))−1∕√2-(x−(−π∕4))² +O(3) = 1∕√ -- 2(1 − (x + π∕4) − (x + π∕4)) ² + O(3).

Allgemein sind die verschiedenen Approximationen

Mit x = x₀ + Δx lauten die Gleichungen

oder allgemein

(C.4)

Dabei ist j! = 1 ⋅ 2 ⋅… ⋅ j die Fakultät von j, Per Definition ist 0! = 1. Die nullte-Ableitung ist einfach die Funktion selber.

Als Beispiel betrachten wir cos(x) an der Stelle x₀ = −π∕4. Wir haben

und

Diese Kurven werden in Abbildung C.6 gezeigt.

__________________________________________________________________________

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

_____________________________________________________________________

Abbildung C.6 zeigt die Approximation für x₀ = −π∕2. Hier ist der Funktionswert wie auch die zweite Ableitung null, so dass eine lineare Approximation resultiert. Erst die dritte Ableitung ist wieder ungleich null.

__________________________________________________________________________

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

_____________________________________________________________________

Abbildung C.6 zeigt die Approximationen bei x₀ = 0. Hier ist die erste und die dritte Ableitung null, so dass nur die zweite übrig bleibt.

C.7  Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

__________________________________________________________________________

Definition von Vektoren. r ist ein Ortsvektor, v der Geschwindigkeitsvektor.

_____________________________________________________________________

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

geschrieben.

Addition:

(C.1)

Versuch zur Vorlesung:

Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28, Video)

Versuch zur Vorlesung:

Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28, Video (nur aus dem Netz der Universität Ulm))

Länge eines Vektors

(C.2)

Skalarprodukt

(C.3)

der Einheitsvektor ex ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

(C.4)

C.7.1  Gesetze

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

(C.7)

Sie sind kollinear, wenn

(C.8)

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

(C.9)

(C.10)

(C.11)

C.7.1.1. Orthogonalität zweier Vektoren testen

Gegeben seien zwei Vektoren a und b. Die Projektion von a auf b, das heisst, die Komponente von a in die Richtung von b ist

(C.12)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

(C.13)

Beispiel:

Sei a = (3,2,− 2) und b = (− 2,0,1). Dann ist

Beispiel:

Sei a = (3,2,− 2) und b = (0,0,1). Dann ist

Dies ist die z-Komponente von a.

C.7.2  Eigenschaften von Kurven im Raum

Die Ausführungen folgen [Bro+08, Seite 214]. Eine Kurve sei durch einen Parameter t gegeben

(C.14)

An einem Punkt r(t) können die folgenden Richtungen und Grössen definiert werden:

Tangente

Die Geradengleichung der Tangente mit dem Parameter λ ist

(C.15)

Normalenebene

Die Ebene, die durch den Punkt r(t) und den Tangentenvektor RT,t₀(λ) gegeben ist, heisst Normalenebene und ist durch die Ebenengleichung

(C.16)

gegeben.

Schmiegungsebene

Die Schmiegungsebene geht durch drei Punkte r(t₀) (Punkt M), r(t₁) (Punkt N) und r(t₂) (Punkt P). Die Lage der Ebene wird durch die zwei gleichzeitigen Grenzprozesse lim t₁→t₀r(t₁) und lim t₂→t₀r(t₂) definiert. Die Schmiegungsebene RSE,t₀ am Punkt r(t₀) enthält den Tangentenvektor RT,t₀(λ).

(C.17)

Hauptnormale

Die Hauptnormale RHN,t₀ ist die Schnittgerade zwischen Normalenebene und Schmiegungsebene. Sie steht senkrecht auf dem Tangente RT,t₀(λ).

(C.18)

Binormale

Die Binormale RBN,t₀ ist die Senkrechte auf die Schmiegungsebene RSE,t₀. Sie ist sowohl senkrecht zur Tangente RT,t₀(λ) und zur Hauptnormalen RHN,t₀(λ).

(C.19)

rektifizierende Ebene

Die rektifizierende Ebene RRE,t₀ wird durch die Tangente RT,t₀(λ) und die Binormale RBN,t₀(λ) aufgespannt.

(C.20)

C.8  Vektoridentitäten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Längen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

C.8.1  Produkte mit Vektoren

Doppeltes Vektorprodukt

(C.1)

Das Spatprodukt oder gemischte Produkt berechnet das Volumen des durch a,b,c aufgespannten Spates. Das Vorzeichen ist + bei gerader Permutation von a,b,c und − bei ungerader Permutation.

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(C.3)

Jacobi-Identität

(C.4)

Lagrangesche Identität

(C.5)

Vierfaches Vektorprodukt

(C.6)

C.8.2  Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

(C.7)

Ableitung eines Produktes

(C.8)

Ableitung des Skalarproduktes

(C.9)

Ableitung des Vektorproduktes

(C.10)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a ⋅a = a² = const. Aus Gleichung (C.9) folgt

(C.11)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

(C.12)

C.8.3  Vektorableitungen bei Skalarfeldern

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 668])

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

(C.13)

Ableitung ∂φ(r) ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

(C.14)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor n)

(C.15)

C.8.4  Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung c

(C.16)

Ableitung ∂a(r) -∂ec- in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

(C.17)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

Gradient eines Produktes

(C.19)

Kettenregel beim Gradienten

(C.20)

Gradient eines Skalarproduktes

(C.21)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

(C.22)

Gradient eines Vektors v = (vx,vy,vz) T

(C.23)

Divergenz eines Produktes

(C.24)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

(C.25)

Divergenz eines Vektorproduktes

(C.26)

Rotation eines Produktes

(C.27)

Rotation eines Vektorproduktes

(C.28)

Rotation eines Potentialfeldes

(C.29)

Divergenz einer Rotation

(C.30)

Rotation einer Rotation

(C.31)

Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten

(C.32)

und für Vektorfunktionen

(C.33)

C.8.5  Graphische Darstellung der Ableitungen in drei Dimensionen

C.8.5.1. Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.

__________________________________________________________________________

Gradient als Richtung der stärksten Steigung

_____________________________________________________________________

Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft” über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition

Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Variablen

C.8.5.2. Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

_________________________________________

Vektorfeld mit Umrandung

_____________________________________________________________________

Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. Die „Fläche” ist dx. In die x-Richtung heisst das, dass

fliesst.

In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, fx(x,y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung

Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Mit

und

erhalten wir für die

Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

Wir definieren

Divergenz einer Vektorfunktion f(x,y,z) in drei Dimensionen

C.8.5.3. Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

_________________________________________

Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

_____________________________________________________________________

Wir nehmen nun an, dass die durch f(x,y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

und

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei Rx ein „−” eingefügt. Mit

und

ist die Stärke der Drehung oder die

Rotation in zwei Dimensionen

Diese R zeigt in die +z-Richtung, wenn wir den zweidimensionalen Raum im dreidimensionalen eingebettet betrachten. Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene (Rotation um z) auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also

Rotation in drei Dimensionen

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

C.8.6  Totale Ableitung bei mitgeführten Koordinatensystemen

Wenn v = ddtr ein konstanter Geschwindigkeitsvektor ist und diese Grösse an einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Ort beobachtet wird, dann gilt (Siehe Jackson[Jac75, p212]):

(C.34)

wobei d- dt die totale Ableitung im raumfesten Koordinatensystem und ∂- ∂t die lokale, mitgeführte Ableitung ist. Diese Gleichung stammt von der Kettenregel:

In drei Dimensionen muss mit dem Gradienten gerechnet werden:

Dabei bedeutet die partielle Ableitung ∂∕∂t dass man nur nach der Zeitvariable ableitet, nicht aber nach der impliziten Zeitableitung in r.

Mit Gleichung (C.28) kann man schreiben

oder

Nun ist div B = 0. Weiter ist div (-d ) dtv = d- dtdiv v = d- dt(3) = 0 und grad v = ddt-grad r = ddtE = 0, wobei E die 3 mal 3 Einheits-Diagonalmatrix ist. Damit haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit

und

(C.40)

C.9  Satz von Gauss

Der Satz von K. F. Gauss (1777-1855) verknüpft ein Volumenintegral mit einem Oberflächenintegral.

Gegeben seien

eine vektorielle Ortsfunktion v(r)

eine geschlossene Fläche a, die das Volumen V (S) umschliesst.

(C.1)

Man kann auch schreiben div v = ∇⋅v, wobei ∇ = (∂ ∕∂x,∂∕∂y, ∂∕∂z ) der Nabla-Operator ist.

C.10  Satz von Green

Der Satz von G. Green (1793-1841) verknüpft ein Volumenintegral mit einem Oberflächenintegral.

Gegeben seien

eine skalare Ortsfunktion Ψ(r)

eine geschlossene Fläche a, die das Volumen V (S) umschliesst.

(C.1)

Man kann auch schreiben grad Ψ = ∇Ψ, wobei ∇ = (∂ ∕∂x,∂∕∂y, ∂∕∂z ) der Nabla-Operator ist.

C.11  Satz von Stokes

Der Satz von G. G. Stokes (1819-1903) verknüpft ein Oberflächenintegral mit einem Linienintegral.

Gegeben seien

eine vektorielle Ortsfunktion v(r)

eine geschlossener Weg s, der die Oberfläche a(s) umrandet.

(C.1)

Man kann auch schreiben rot v = ∇×v, wobei ∇ = (∂ ∕∂x,∂ ∕∂y,∂ ∕∂z) der Nabla-Operator ist.

Dabei wird jedes Flächenelement so umlaufen, dass die entsprechende Normale n der Bewegung einer Rechtsschraube entspricht.

D.  Rechnen mit Integralen

D.1  Integration

__________________________________________________________________________

Integration einer Funktion

_____________________________________________________________________

Integrieren, d.h. Fläche unter der Kurve oder den „zurückgelegten”Weg bestimmen

(D.1)

Die verwendeten Symbole sind nebensächlich. Man kann mathematische Operationen mit allen Symbolen durchführen, z.B. die Integration mit u.

_________________________________________________________________

f(t)
∫ f(τ)dτ

tn
n1+1-tn+1
wobei n≠ − 1

sin (t)
− cos (t)

cos (t)
sin (t)

et
et

1t
ln(t)

Beispiele für Integrale

_____________________________________________________________________

Gesetze der Integration

(D.2)

(D.3)

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 447])

Konstanter Faktor

Integral einer Summe oder Differenz

Substitutionsmethode

Sei y = ϕ(x)

Partielle Integration der Kettenregel der Differentiation

D.2  Unbestimmte Integrale

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 445])

___________________________________________________________________________

Funktion
Integral

Funktion
Integral

xn
∫ xndx = xn+1 n+1
n≠ − 1
1 x
∫ dx x = ln |x|

sin(x)
∫ sin(x)dx = − cos(x)

cos(x)
∫ cos(x)dx = sin(x)

tan(x)
∫ tan(x)dx = − ln | cos(x)|

cot(x)
∫ cot(x)dx = ln | sin(x)|

1 cos2(x)
∫ dx cos2(x)- = tan(x)

1 sin2(x)
∫ dx sin2(x) = − cot(x)

1 a2+x2
∫ dx a2+x2 = 1 a arctan x a

ex
∫ exdx = ex

ax
∫ axdx = ax- lna

ln x
∫ ln xdx = x ln x − x

sinh x
∫ sinh xdx = cosh x

cosh x
∫ cosh xdx = sinh x

tanh x
∫ tanh xdx = ln | cosh x|

coth x
∫ coth xdx = ln | sinh x|

--1--- cosh2x
∫ --dx--- cosh2x = tanh x

--1-- sinh2x
∫ -dx-- sinh2 x = − coth x

√--1--- a2−x2
∫ √-dx-- a2−x2 = arcsin x a

Unbestimmte Integrale

_____________________________________________________________________

D.2.1  Bestimmte Integrale und Integrale mit variabler oberer Grenze

Wenn für eine Funktion f(x) die Stammfunktion

(D.1)

ist, haben bestimmte Integrale der Funktion f(x) die Form

(D.2)

Der Name der Variablen im bestimmten Integral sind irrelevant

(D.3)

Wir können nun die obere Grenze variabel machen. Wichtig ist, dass die Variable im Integral eine andere Variable ist wie in der Grenze

(D.4)

Wenn F(x) nach x abgeleitet wird, erhält man wieder f(x).

(D.5)

Wenn die Variable x die untere Grenze ist und die obere Grenze fest ist, b, dann gilt

(D.6)

und

(D.7)

Ist die obere Grenze eine Funktion g(x), gilt

(D.8)

Dies ist nichts anderes als die Kettenregel der Differentiation (Siehe Tabelle C.2).

D.3  Berechnung von Linienintegralen

Die folgenden Ausführungen lehnen sich an [Bro+08, Seite 214] an. Gegeben sei ein Vektorfeld F(r). Zu berechnen sei das Linienintegral

zwischen den Punkten r₁ und r₂ entlang der Bahn b. Wir nehmen an, dass die Bahn b mit der Bahnlänge s parametrisiert sei, also durch r(s) gegeben sei. Dann ist F(r) = F(r(s)) und der Tangenteneinheitsvektor ist

Mit r(s₁) = r₁ und r(s₂) = r₂ ist das Linienintegral

(D.1)

Das Linienelement ds wird aus der Kurvenlänge s(t) (t ein beliebiger Parameter) in kartesischen Koordinaten so berechnet:

(D.2)

Ausgeschrieben ist dann das Linienintegral mit s₁ = s(t₁) und s(t) = s(t₂) und r(s(t))) = (x(s(t)),y(s(t)),z(s(t))) T

(D.3)

Wenn r(t) gegeben ist, wobei t irgend ein stetiger Parameter ist, nicht notwendigerweise die Kurvenlänge, dann kann man mit

(D.4)

und damit

(D.5)

D.4  Die Diracsche Deltafunktion

Die Diracsche Deltafunktion ist ein nützliches Instrument, um diskrete Ladungsverteilungen, Kräfte, Punktmassen als kontinuierliche Verteilung oder Kraftfelder zu beschreiben.

Wir beginnen, indem wir die Funktion

(D.1)

__________________________________________________________________________

Darstellung von f(x), wobei a variiert wird.

_____________________________________________________________________

In der Abbildung D.4 sieht man, dass mit kleiner werdendem a die Amplitude von f(x) immer grösser wird. Die Fläche unter der Kurve

(D.2)

ist konstant und unabhängig von a. Wir definieren nun die Diracsche Delta-Funktion

(D.3)

Damit ist auch

(D.4)

Als Anwendung betrachten wir das Integral des Produktes

wobei g(x) genügend oft (Fragen Sie einen Mathematiker oder lesen die Packungsbeilage oder ein Mathematikbuch) stetig differenzierbar sein soll. Die Taylorreihe von g(x) ist dann

(D.5)

Dann ergibt das Integral

Damit ist klar, dass die nützliche Gleichung

(D.7)

gilt. Man kann sie anwenden, zum Beispiel im Gaussschen Gesetz, wenn man das elektrische Feld einer Ebene berechnen will. Wir setzen für die Ladungsdichte

Für die Einheiten haben wir

Der Unterschied in den Dimensionen rührt daher, dass die Delta-Funktion δ(z) implizit die Dimension [δ(z)] = m⁻¹ hat, sonst wären die Definition in Gleichung (D.3) und Gleichung (D.1) dimensionsmässig nicht korrekt.

Das Gausssche Gesetz sagt dann

E.  Umrechnungen zwischen kartesischen, sphärischen und zylindrischen Koordinatensystemen

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 218])

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 667])

Definitionen

Kartesisches System

Sphärisches System

Zylindrisches System

Die Transformation zwischen den Koordinatensystemen läuft auf eine allgemeine Drehung der Koordinaten im Raum hinaus.

__________________________________________________________________________

Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System. Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten

_____________________________________________________________________

E.1  Vom kartesischen ins sphärische System

E.2  Vom sphärischen ins kartesische System

E.3  Vom kartesischen ins zylindrische System

E.4  Vom zylindrischen ins kartesische System

__________________________________________________________________________

Umrechnung der Koordinaten

_____________________________________________________________________

E.5  Vom sphärischen ins zylindrische System

E.6  Vom zylindrischen ins sphärische System

F.  Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten

Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten

__________________________________________________________________________

Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem

_____________________________________________________________________

Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y und z, andererseits die Kugelkoordinaten r, ϕ, und 𝜃. Am Punkt P definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System ex, ey und ez und im mitgeführten kartesischen System er, eϕ und e𝜃.

__________________________________________________________________________

Betrachtung in der xy-Ebene für eϕ

_______________________________________________________________________________________

Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf diese Ebene nennen wir ρ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)

__________________________________________________________________________

Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von er und e𝜃

_______________________________________________________________________________________

Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren ρ und ez. In dieser Darstellung ist er radial und e𝜃 zeigt in die Richtung der positiven 𝜃-Koordinate. Dadurch ist auch er, e𝜃 und eϕ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man

Dabei merken wir uns, dass 𝜃 und ϕ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir

Wir wissen, dass ex, ey und ez ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere 1 = ex ⋅ex = ey ⋅ey = ez ⋅ez und 0 = ex ⋅ey = ey ⋅ezx = ez ⋅ex. Wenn wir mit diesem Wissen er ⋅er, e𝜃 ⋅e𝜃 und eϕ ⋅erϕ sowie er ⋅e𝜃, e𝜃 ⋅eϕ und eϕ ⋅er berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem er, e𝜃 und eϕ ein orthogonales Koordinatensystem ist.

Wenn wir dieses Gleichungssystem nach ex, ey und ez auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen

Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.

F.1  Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

(F.1)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

(F.2)

Wir verwenden die Beziehungen

und leiten sie ab. Wir erhalten

Wir setzen in die Gleichung F.2 die Gleichungen F.8, F.9, F.10, F.6, F.7 und F.8 ein und ordnen nach er, e𝜃 und eϕ.

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, e𝜃 und eϕ getrennt. Wir beginnen mit er.

Wir fahren mit e𝜃 weiter.

Wir schliessen mit eϕ.

Zusammenfassend haben wir

F.2  Beschleunigung

Die Beschleunigung ist in kartesischen Koordinaten

(F.1)

Wir verwenden die Beziehungen

und leiten sie zweimal ab. Wir erhalten aus

die Gleichungen

und

sowie

Wir setzen in die Gleichung F.1 die Gleichungen F.8, F.9, F.10, F.5, F.6 und F.7 ein und ordnen nach er, e𝜃 und eϕ.

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, e𝜃 und eϕ getrennt. Wir beginnen mit er.

und

und schliesslich

Zusammenfassend haben wir

F.2.1  Interpretation

Wir teilen die Beschleunigung in drei Komponenten auf

(F.14)

Dies ist in der angegebenen Reihenfolge die Parallelbeschleunigung, die den Betrag der Geschwindigkeit erhöht, die Zentripetalbeschleunigung und die Coriolis-Beschleunigung.

Im Einzelnen haben wir

G.  Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 146])

PIC Dreieck

halber Dreiecksumfang

s = a+b+c- 2

Radius des Umkreises

R = 2sainα- = 2sbinβ- = 2csinγ-

Radius des Inkreises

r = ∘ ------------- (s−a)(s−b)(s−c) s = s tan α2- tan β 2 tan γ 2 = 4R sin α2-β 2γ 2

Flächeninhalt

S = 1 2ab sin γ = 2R² sin α sin β sin γ = rs =
∘ --------------------- s(s − a)(s − b)(s − c)

Sinussatz

sainα- = sibnβ- = sicnγ- = 2R
R ist der Umkreisradius

Projektionssatz

c = a cos β + b cos α

Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck

c² = a² + b² − 2ab cos γ

Mollweidsche Gleichungen

(a + b) sin γ 2 = c cos ( α−β) -2--
(a − b) cos γ 2 = c sin ( ) α−β- 2

Tangenssatz

a+b a−b = tanα+β tanα2−β 2

Halbwinkelsatz

tan α- 2 = ∘ --------- (s−b)(s−c) s(s− a)

Tangensformeln

tan α = asin β c−acosβ = asin γ b−acosγ

Beziehungen für halbe Winkel

sin α- 2 = ∘ --------- (s−b)(s−c) bc
cos α2 = ∘ s(s−a)- --bc--

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 148])

___________________________________________________________________________

gegeben
Formeln

1.

1 Seite und 2 Winkel (a,α,β)

γ = π−α−β, b = assiinnαβ, c = assiinnαγ, S = 1 2ab sin γ

2.

2 Seiten und der eingeschlossene Winkel (a,b,γ)

tan α−β- 2 = a−-b a+b cot γ 2 α+β- 2 = π 2 −γ 2 α und β werden aus α +β und α−β berechnet. c = asinγ sin-α-, S = ab sin γ

3.

2 Seiten und der einer von ihnen gegenüberliegende Winkel (a,b,α)

sin β = bsianα- Für a ≥ b ist β < π2 und eindeutig bestimmt. Für a < b sind die folgenden Fälle möglich:

β hat für b sin α < a zwei Werte β₂ = π − β₁

β hat genau einen Wert (π 2) für b sin α = a

Für b sin α > a ist es unmöglich, ein Dreieck zu konstruieren.

γ = π −α−β c = a-sinγ sinα S = 1 2ab sin γ

4.

3 Seiten (a,b,c)

r = ∘ (s−a)(s−-b)(s−-c)- s, tan α- 2 = -r- s−a, tan β2 = sr−b, tan γ2 = sr−c, S = rs = ∘ --------------------- s(s − a)(s − b)(s − c)

Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke

_____________________________________________________________________

H.  Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen

Hier werden Ableitungen in rotierenden Bezugssystemen betrachtet. Der Maple Quelltext ist:

> with(LinearAlgebra):  
> with(VectorCalculus):  
> with(tensor):  
> SetCoordinates( ’cartesian’[x,y,z] ):  
>  
>  
> AA := Matrix(3,3,[[cos(omegaz*t), sin(omegaz*t),0],  
>                  [-sin(omegaz*t),cos(omegaz*t),0],  
>                  [0,0,1]]);  
>  
> AAinv := MatrixInverse(AA);  
> omega := <0,0,omegaz>;  
> s :=  <R*cos(3*omegaz*t),R*sin(3*omegaz*t),rz>;  
> sp := convert(MatrixVectorMultiply(AA,s),arctrig);  
> res1 :=diff(s,t);  
> CrossProduct(omega,s);  
> tr1 :=diff(sp,t);  
> tr2 := simplify(MatrixVectorMultiply(AAinv,tr1));  
> res2 := tr2+CrossProduct(omega,s);  
> rr :=simplify(res2-res1);  
>  

Der Mathematica-Quelltext ist

Hier ist angenommen worden, dass der Rotationsvektor ω entlang der z-Richtung des Koordinatensystems angeordnet ist. Dann transformiert die Matrix AA einen Vektor aus dem Laborsystem in das rotierende Bezugssystem. AAinv transformiert zurück. s ist der zeitabhängige Ortsvektor. sp ist der Ortsvektor transformiert in das rotierende Bezugssystem. tr1 ist die Ableitung von sp im rotierenden Bezugssystemm tr2 ist tr1 zurücktransformiert in das Laborsystem.

__________________________________________________________________________

Beziehung zwischen den Ableitungen

_____________________________________________________________________

Gleichung

(H.1)

gilt dann, wenn die Ableitung im rotierenden Bezugssystem zurück nach dem Laborsystem transformiert ist.

Nach der Transformation ins rotierende Bezugssystem erhält man

Die Ableitungen im Laborsystem sind

und im rotierenden Bezugssystem (gestrichenes Bezugssystem)

Zurücktransformiert ins Laborsystem mit A⁻¹′ ddst- erhält man

Das Kreuzprodukt ist

und

so dass sowohl im Spezialfall wie auch allgemein gilt

gilt. Wäre ′ dsdt- nicht ins Laborsystem zurücktransformiert worden, hätte man

(H.2)

erhalten, was nicht das Resultat im Laborsystem ist.

Wenn mit Vektoren in der Darstellung eines Koordinatensystems gerechnet wird, müssen alle Vektoren im gleichen Koordinatensystem dargestellt werden!

I.  Drehungen

I.1  Drehmatrizen

Eine Drehung um die x-Achse beschrieben durch den Vektor ex = (1,0,0) T um den Winkel α wird durch die Matrix

(I.1)

die Transformation ausgeführt. Für eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor ey = (0,1,0) T um den Winkel β wird durch die Matrix

(I.2)

die Transformation ausgeführt. Schliesslich wird eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor ez = (0, 0,1) T um den Winkel γ wird durch die Matrix

(I.3)

ausgeführt.

Der Vektor r = (x, y,z) T soll um den Winkel α um die x-Achse gedreht werden. Dies wird mit der Operation

(I.4)

bewerkstelligt. Im Allgemeinen wird eine Drehung durch die Multiplikation des Vektors von links mit einer Matrix beschrieben.

Die Drehung zurück wird (antisymmetrische reelle Matrix mit der Determinante 1) wird durch die inverse Matrix oder die transponierte Matrix beschrieben Alternativ kann man auch α durch −α ersetzen.

(I.5)

Eine Drehung um einen beliebigen Vektor rα = (x α,yα,zα) T mit xα² + y α² + z α² = 1 wird durch

(I.6)

beschrieben[WR14]. Die Drehung ist bei positivem α rechtshändig bezüglich der Richtung von rα (Der Daumen zeigt in die Richtung von rα, die Finger geben die Drehrichtung).

I.2  Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren)

Sei Reα(α) die Drehmatrix. Dann ist der aus r hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Vektor

(I.1)

Ein Beispiel dafür ist in (I.4) gezeigt.

Die aus der Matrix

hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Matrix ist

(I.2)

Die Drehung zurück ist dann

(I.3)

Wenn wir als Beispiel die Matrix

um eα = ( 1√-- √1-) 2,0,− 2T drehen, erhalten wir

I.3  Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln

Das Koordinatensystem ex,ey,ez geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem ex∗,e y∗,e z∗ hervor.

__________________________________________________________________________

Definition der Eulerschen Winkel

_____________________________________________________________________

Die Eulerschen Winkel sind

Drehung um ez∗ : α

Drehung um 0A : β

Drehung um ez∗ : γ

Dabei 0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch ez und ez∗.

Die Reihenfolge der Drehungen ist

Drehung: Bringe ex∗ senkrecht zu e z (In der Abbildung I.3 zeigen die Kreise die Ebenen senkrecht zu ez∗ und senkrecht zu e z Die Schnittlinie der beiden Kreise ist 0A.

Drehung: Bringe z-Achse in richtige Lage

Drehung: Bringe x,y-Achsen in die richtige Lage.

J.  Berechnung elektrischer Felder

J.1  In der Nähe eines Leiterstückes

Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ℓ sei die Ladung Q homogen verteilt. Zu berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ,0,0) auf der x-Achse!

Die Linienladungsdichte ist

Das elektrische Feld bei P ist

Wir integrieren über die Länge des Drahtes

Die Lösung dieser Gleichung ist

__________________________________________________________________________

Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.

_____________________________________________________________________

Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge ℓ. Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von -ℓ 2 bis ℓ 2 reicht. Aus Symmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. Wir betrachten also die Komponente entlang y. Am Punkt  P = (0,y, 0) ist

Ebenso ist

Nach Bronstein[Bro+08] ist

mit X = x² + a². Daraus folgt

Für y » ℓ bekommt man

Für y «−ℓ bekommt man

Wenn die Linienladung «unendlich » ausgedehnt ist, gilt

Dann ist

_________________________________________

Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.

_____________________________________________________________________

J.2  Auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe

Zur Berechnung setzen wir die Flächenladungsdichte auf

Das elektrische Feld auf der Symmetrieachse kann nur parallel zu dieser sein. Wir setzen also an

Also ist

Nach Bronstein ist

Also ist

Für |x|» r ist

und damit

______________________________________________________________________________________________________

E-Feld einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang einer Senkrechten durch den Mittelpunkt.

_____________________________________________________________________

J.3  Innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche

Der Zylindermantel habe den Radius R, die Flächenladungsdichte sei σ. Wir betrachten eine Zylinderfläche koaxial zur geladenen Fläche mit dem Radius r < R. Das E-Feld ist aus Symmetriegründen radial symmetrisch. Der Fluss durch die Fläche ist:

Da keine Ladung umschlossen wird, ist

Für r > R gilt

oder

_______________________________________________________________

Ladung senkrecht zu einem Kreiszylinder.

_____________________________________________________________________

J.4  In allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter

Nach Abschnitt J.3 ist Er = σR 𝜀0- wenn die Ladungsdichte σ auf der Zylinderschale mit R < r aufgebracht ist. Wir betrachten zwei konzentrische Zylinder mit den Radien R₁ < R₂ und deren Oberflächenladungsdichten σ₁ und σ₂. Für r < R₁ gilt

Für R₁ < r < R₂ existiert allein das Feld des inneren Kreiszylinders. Also ist dort:

Schliesslich ist für r > R₂:

wobei hier die Additivität elektrischer Felder benutzt wurde. Wenn für r > R₂  Er = 0 sein soll, muss gelten

oder

.

__________________________________________________________________________

Elektrische Felder bei einem Koaxialkabel, wobei einmal (dünne Linie) die Oberflächenladungsdichten σi vom Betrage nach gleich und einmal (dicke Linie) die Produkte Ri ⋅ σi dem Betrage nach gleich sind.

_____________________________________________________________________

K.  Lorentztransformationen

K.1  Lorentztransformationen für die magnetische Induktion

Bewegung entlang der x-Richtung

Bewegung entlang der y-Richtung

Bewegung entlang der z-Richtung

K.2  Lorentztransformation für das magnetische Feld

Bewegung entlang der x-Richtung

Bewegung entlang der y-Richtung

Bewegung entlang der z-Richtung

Bibliography

[AF00]

Marcelo Alonso and Edward J. Finn. Physik. 3rd ed. QC 21/2000 A Ex.5. JR. Oldenbourg Verlag, 2000 (cit. on p. 833).

[AW95]

George B. Arfken and Hans J. Weber. Mathematical Methods for Physicists. 4th ed. QA 401/1995 A. Academic Press, 1995 (cit. on p. 833).

[Bro+08]

I. N. Bronštein et al. Taschenbuch der Mathematik. 7th ed. QA 40/2008 B. Verlag Harri Deutsch, 2008 (cit. on pp. 95, 369, 833, 887, 893, 900, 936, 938, 945, 959, 995, 996, 1026).

[Cod17a]

Codata. Landé-g-Faktor Elektron. hhttp://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem. Entnommen 2017-06-29. June 29, 2017. url: http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem (visited on 06/29/2017) (cit. on p. 611).

[Cod17b]

Codata. Landé-g-Faktor Proton. hhttp://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gp. Entnommen 2017-06-29. June 29, 2017. url: http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gp (cit. on p. 611).

[Dör01]

Andreas Döring. “Rasterkraftmikroskopische Untersuchungen an Haftklebstoffen”. Seite 61. PhD Thesis. University of Ulm, 2001 (cit. on p. 66).

[Far32a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 122 (1832), pp. 125–162. doi: 10.1098/rstl.1832.0006. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/122/125.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/122/125.short (cit. on p. 834).

[Far32b]

Michael Faraday. “The Bakerian Lecture: Experimental Researches in Electricity. Second Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 122 (1832), pp. 163–194. doi: 10.1098/rstl.1832.0007. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/122/163.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/122/163.short (cit. on p. 834).

[Far33a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Fifth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123 (1833), pp. 675–710. doi: 10.1098/rstl.1833.0030. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/123/675.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/123/675.short (cit. on p. 834).

[Far33b]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Fourth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123 (1833), pp. 507–522. doi: 10.1098/rstl.1833.0022. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/123/507.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/123/507.short (cit. on p. 834).

[Far33c]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Third Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123 (1833), pp. 23–54. doi: 10.1098/rstl.1833.0006. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/123/23.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/123/23.short (cit. on p. 834).

[Far34a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Eighth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 124 (1834), pp. 425–470. doi: 10.1098/rstl.1834.0022. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/124/425.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/124/425.short (cit. on p. 834).

[Far34b]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Seventh Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 124 (1834), pp. 77–122. doi: 10.1098/rstl.1834.0008. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/124/77.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/124/77.short (cit. on p. 834).

[Far34c]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Sixth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 124 (1834), pp. 55–76. doi: 10.1098/rstl.1834.0007. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/124/55.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/124/55.short (cit. on p. 834).

[Far35a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Ninth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 125 (1835), pp. 41–56. doi: 10.1098/rstl.1835.0005. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/125/41.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/125/41.short (cit. on p. 834).

[Far35b]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Tenth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 125 (1835), pp. 263–274. doi: 10.1098/rstl.1835.0016. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/125/263.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/125/263.short (cit. on p. 834).

[Far38a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Thirteenth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 128 (1838), pp. 125–168. doi: 10.1098/rstl.1838.0009. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/128/125.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/128/125.short (cit. on p. 834).

[Far38b]

Michael Faraday. “Supplementary Note to Experimental Researches in Electricity. Eleventh Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 128 (1838), pp. 79–81. doi: 10.1098/rstl.1838.0007. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/128/79.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/128/79.short (cit. on p. 834).

[Far39]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Fifteenth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 129 (1839), pp. 1–12. doi: 10.1098/rstl.1839.0002. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/129/1.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/129/1.short (cit. on p. 834).

[Far40]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Seventeenth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 130 (1840), pp. 93–127. doi: 10.1098/rstl.1840.0004. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/130/93.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/130/93.short (cit. on p. 834).

[Far43]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Eighteenth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133 (1843), pp. 17–32. doi: 10.1098/rstl.1843.0004. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/133/17.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/133/17.short (cit. on p. 834).

[Far46]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twentieth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 136 (1846), pp. 21–40. doi: 10.1098/rstl.1846.0003. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/136/21.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/136/21.short (cit. on p. 834).

[Far49a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twenty-Second Series (Continued)”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 139 (1849), pp. 19–41. doi: 10.1098/rstl.1849.0002. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/139/19.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/139/19.short (cit. on p. 834).

[Far49b]

Michael Faraday. “The Bakerian Lecture: Experimental Researches in Electricity. Twenty-Second Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 139 (1849), pp. 1–18. doi: 10.1098/rstl.1849.0001. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/139/1.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/139/1.short (cit. on p. 834).

[Far50]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twenty-Third Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 140 (1850), pp. 171–188. doi: 10.1098/rstl.1850.0008. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/140/171.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/140/171.short (cit. on p. 834).

[Far51a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twenty-Fifth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 141 (1851), pp. 7–28. doi: 10.1098/rstl.1851.0004. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/141/7.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/141/7.short (cit. on p. 834).

[Far51b]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twenty-Sixth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 141 (1851), pp. 29–84. doi: 10.1098/rstl.1851.0005. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/141/29.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/141/29.short (cit. on p. 834).

[Far51c]

Michael Faraday. “The Bakerian Lecture. Experimental Researches in Electricity. Twenty-Fourth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 141 (1851), pp. 1–6. doi: 10.1098/rstl.1851.0001. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/141/1.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/141/1.short (cit. on p. 834).

[Far52a]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twenty-Eighth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 142 (1852), pp. 25–56. doi: 10.1098/rstl.1852.0004. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/142/25.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/142/25.short (cit. on p. 834).

[Far52b]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Twenty-Ninth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 142 (1852), pp. 137–159. doi: 10.1098/rstl.1852.0012. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/142/137.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/142/137.short (cit. on p. 834).

[Far56]

Michael Faraday. “Experimental Researches in Electricity. Thirtieth Series”. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London 146 (1856), pp. 159–180. doi: 10.1098/rstl.1856.0011. eprint: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/146/159.full.pdf+html. url: http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/146/159.short (cit. on p. 834).

[Gia06]

Douglas C. Giancoli. Physik. QC 21/2006 Gb Ex.2. Pearson Studium, 2006 (cit. on p. 833).

[HRW03]

David Halliday, Robert Resnick, and Jearl Walker. Physik. QC 21/2003 H. Wiley-VCH GmbH, 2003 (cit. on p. 833).

[Hec05]

Eugene Hecht. Optik. 4th ed. Übersetzt von Dr. Anna Schleitzer. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, 2005. isbn: 3-486-27359-0 (cit. on pp. 728, 735, 736, 741, 809).

[Jac75]

J. D. Jackson. Classical elecrodynamics. 2nd ed. Wiley, 1975 (cit. on pp. 113, 360, 432, 434, 558, 924).

[Kän78]

Werner Känzig. Physik 2: Elektrizität und Magnetismus. Verlag der Fachvereine Zürich, 1978 (cit. on p. 172).

[Kne78]

Fritz Kneubühl. Repetitorium der Physik. Teubner, 1978 (cit. on pp. 25, 76, 103, 110, 125, 611, 833).

[LL85]

L. D. Landau and E. M. Lifschitz. Elektrodynamik der Kontinua. 4th ed. Vol. 8. Akademie-Verlag Berlin, 1985 (cit. on p. 160).

[LL89]

L. D. Landau and E. M. Lifschitz. Klassische Feldtheorie. Ed. by Hans-Georg Schöpf. Vol. 2. Akademie-Verlag Berlin, 1989 (cit. on pp. 360, 368).

[LLS96]

Rudolf Langkau, Gunnar Lindström, and Wolfgang Scobel. Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen. QC 21/C6.4. vieweg studium, 1996 (cit. on p. 833).

[Lei98]

Hans Jörg Leisi. Klassische Physik. Vol. 2. QC 21/1996 L-2 und QC 21/1996 L-1. Birkhäuser, 1998 (cit. on pp. 200, 216, 242, 250, 290, 294, 311, 339, 354, 360, 378, 382, 418, 579, 602, 647, 833).

[LL96]

Gunnar Lindström and Rudolf Langkau. Physik kompakt: Elektrodynamik. QC 21/C6.3 Ex.2. vieweg studium, 1996 (cit. on p. 833).

[Mar09]

Othmar Marti. Physikalische Elektronik und Messtechnik. http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physikalischeelektronik/phys_elektr/phys_elektr.pdf. Universität Ulm, 2009. url: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physikalischeelektronik/phys_elektr/phys_elektr.pdf (cit. on p. 286).

[Mar14]

Othmar Marti. Mechanik - Vorlesungsskript. Vorlesungsskripte Othmar Marti. Universität Ulm, 2014, p. 389. url: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/krm-2014/krm-2014.pdf (cit. on p. 591).

[Mar15]

Othmar Marti. Wärmelehre. Skript zur Vorlesung. Universität Ulm, 2015. eprint: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/td-2015/td-2015.pdf. url: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/td-2015/td-2015.html (visited on 05/08/2020) (cit. on p. 229).

[Max65]

James Clerk Maxwell. “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”. In: Phil. Trans. R. Soc. Lond. 155 (1865), pp. 459–512. doi: 10.1098/rstl.1865.0008 (cit. on p. 834).

[Max73]

James Clerk Maxwell. A treatise on electricity and magnetism. Oxford : Clarendon Press, 1873 (cit. on pp. 665, 834).

[MS09]

Lillian C. McDermott and Peter S. Shaffer. Tutorien zur Physik. Pearson Studium, 2009 (cit. on p. 833).

[Mes06]

Dieter Meschede. Gerthsen Physik. 23rd ed. QC 21/2006 G-1 Ex.2. Springer Verlag, 2006 (cit. on pp. 742, 833).

[Noe18]

Emmy Noether. “Invariante Variationsprobleme”. In: Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse (1918). (vorgelegt 26.7.1.1918 durch Felix Klein, endgütige Fassung des Manuskripts September 1918), pp. 235–257.

[Pér96]

José-Philippe Pérez. Optik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 1996. isbn: 3-86025-389-1 (cit. on pp. 728, 736).

[Som78]

A. Sommerfeld. Theoretische Physik III, Elektrodynamik. Verlag Harri Deutsch, 1978 (cit. on p. 160).

[Thi11]

Bo Thidé. Electromagnetic Field Theory. Mar. 2011. isbn: 0486477738. url: https://www.researchgate.net/profile/Bo_Thide/publication/258221118_Electromagnetic_Field_Theory/links/0deec5279bb5419081000000/Electromagnetic-Field-Theory.pdf (visited on 06/09/2020) (cit. on p. 360).

[TM04]

Paul A. Tipler and Gene Mosca. Physik. 2nd ed. ISBN-13: 978-3827411648. Spektrum Verlag, 2004 (cit. on pp. 25, 52, 76, 103, 110, 125, 216, 242, 250, 290, 378, 418, 735, 736, 833).

[Tur07]

Claus Wilhelm Turtur. Prüfungstrainer Physik. Teubner Verlag, 2007 (cit. on p. 833).

[Wel94]

Klaus Weltner. Mathematik für Physiker. Lehrbuch und Leitfaden (5 Bände) Exemplar 711621537. vieweg studium, 1994 (cit. on p. 833).

[Wik16a]

Wikipedia. Elektrische Leitfähigkeiten. https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Lizenzbestimmungen_Creative_Commons_Attribution-ShareAlike_3.0_Unported. June 21, 2016. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische\_Leitf{\"a}higkeit (cit. on p. 565).

[Wik16b]

Wikipedia. Permeabilitäten. https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Lizenzbestimmungen_Creative_Commons_Attribution-ShareAlike_3.0_Unported. June 21, 2016. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Permeabilit{\"a}t\_(Magnetismus) (cit. on p. 565).

[Wik20a]

Wikipedia. Impedanzanalysiator. June 12, 2020. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Impedanzanalysator (visited on 06/12/2020) (cit. on p. 493).

[Wik20b]

Wikipedia. Lorentz-Transformation. June 6, 2020. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Transformation (cit. on p. 398).

[WR14]

Inc. Wolfram Research. Mathematica. Version 10.0. Champaign, Illinois: Wolfram Research, Inc., 2014 (cit. on p. 1014).

Stichwortverzeichnis

δ-Funktion
    Dirac, 289–291
Übersetzungsfaktor, 140

Ableitung, 263–264
    Bezugssystem
        rotierend, 311–314
    drei Dimensionen, 278–282
    mitgeführt, 282–283
Ableitung von Vektoren, 275–282
Ableitung:Näherungslösungen, 267–270
Ampèresches Durchflutungsgesetz, 99–104
Ampèresches Gesetz, 107
Amplitude, 215, 216, 218, 219, 238, 239
Analysator, 219
Atom, 42
atomare Polarisierbarkeit, 43

B-Feld
    Eigenschaften, 91–112
Barlowsches Rad, 99
Basis, 77
Basis-Emitter-Kennlinie, 81
Bauelemente, 76–84
Betatron, 162–163
Betrag der Amplitude, 216
Beweglichkeit, 67
Bezugssystem, 86
Bildladung, 25
Binormale, 274
Biot-Savart
    Gesetz, 94–99, 110
    Kraft, 95
Biot-Savart-Kraft, 170
Bohrsches Magneton, 178
Boltzmannstatistik, 179
Brechungsindex, 217
Brechzahl, 217
Brewster-Winkel, 235

Cavendish, 9
Clausius, 48–50
Coulomb, 10
    Gesetz, 10, 54
Coulombeichung, 108
Coulombsches Gesetz, 8–10
Curie-Gesetz, 180, 181
Curie-Konstante, 180

D dielektrische Verschiebung, 15
Diamagnetismus, 169, 170, 174–176
Dichroismus, 218
Dielektrika, 44–51
dielektrische Suszeptibilität, 57
Dielektrische Verschiebung, 15
dielektrische Verschiebung, 55, 168
    Stetigkeit, 47, 57
Dielektrizitätskonstanten, 225
Differentiation
    einfache Funktionen, 265–266
    Regeln, 264
Differentiationsreglen, 264
Dipol, 17–18
Dipolmoment, 17
    induziert, 43, 57
Dirac
    δ-Funktion, 289–291
Divergenz, 17, 279–280
Domäne
    ferromagnetisch, 184
Doppelleitersystem, 201–206
Drehmatrizen, 315–316
Drehmoment, 97
Drehspulinstrument, 98
Drehung
    Matrix, 316–317
    Tensor, 316–317
    Vektor, 316–317
Drehungen, 315–318
Dreibein
    rechtshändig, 201
Dreieck, 309, 310
    schiefwinklig, 309–310
Driftgeschwindigkeit, 59, 67
Durchlassrichtung, 78

Eichung, 108
Einfallsebene, 221, 225
Elektrische Eigenschaften
    materie, 42–54
elektrische Felder von Leitern, 18–25
Elektrische Feldlinien, 55
elektrische Flussdichte, 15
Elektrische Ladung, 8–10
Elektrische Ströme, 59–123
elektrische Suszeptibilität, 168
elektrischer Fluss, 17, 19, 55
elektrischer Strom, 60
Elektrisches Feld
    Fluss, 15
elektrisches Feld, 11–14, 54, 91, 168
    Energie, 39–42
    Energiedichte, 40, 57
    Stetigkeit, 47, 57
elektrisches Potential, 27, 56
Elektrodynamik
    Kraftgesetz, 94
elektromagnetische Wellen, 197–247
Elektromotor, 155–162
    gemittelte Betrachtung, 158
elektromotorische Kraft, 71–73
Elektronen, 91, 178
    Hülle, 42
Elektrostatik, 7–57, 108
elektrostatisches Potential, 25–33, 56
    kontinuierliche Ladungsverteilung, 56
Emitter, 77
EMK, 71–73, 129, 130, 141
Energie
    elektrisches Feld, 39–42
    Magnetfeld, 167–168
    potentiell, 56
Energiedichte des elektrischen Feldes, 40, 57
Energiefluss, 209–210
    stehende Wellen, 210
𝜀₀ Permittivität des Vakuums, 9, 54
Eulersche Winkel, 317–318

Fakultät, 269
Faraday
    Induktionsgesetz
        differentiell, 129–132
        integral, 129–132
    Michael, 12
Faradaysches Induktionsgesetz, 125–167
Feld
    elektrisch, 11–14, 54
    magnetisch, 90–91
Feldlinien, 12
    elektrisch, 55
Ferromagnet, 183
Ferromagnetismus, 170, 181–185
Flächenladungsdichte, 41–42
Fluss, 62
    elektrisch, 55
    elktrisch, 17
    magnetisch, 126–129
Fluss des elektrischen Feldes, 15
Flussdichte
    elektrisch, 15
    magnetisch, 91–94, 126
Frequenz
    Skineffekt, 167
Fresnelsche Formeln
    p-Polarisation, 230, 231
Fresnelschen Formeln, 221
Funkeninduktor, 137

Galilei-Transformation, 198
Gauss
    Gesetz, 47
Gauss, K.F., 283
Gausssches Gesetz, 14–17, 55, 56
Gegeninduktivitäten, 138
Gesetz
    Clausius und Mosotti, 48–50
    Clausius-Mosotti, 49
    Coulomb, 8–10, 54
    Gauss, 14–17, 47, 55, 56
    Kirchhoff, 141–142
    Ohm, 64–71
Gesetz von Biot-Savart, 94–99, 110
Gleichung
    Poisson, 56
Gleichungen
    Maxwell, 191–196
Gradient, 278–279
Graphit, 65
Green, G., 283

H-Feld, 90–91
Hall-Effekt, 112–113
Hallspannung, 113
Hauptnormale, 273
Hauptschlussmotor, 159
Helmholtzspulen, 91
Hohlleiter, 207
Hysterese, 184

i Stromdichte, 63
Impedanz
    Kapazität
        komplex, 149–150
    Kondensator
        komplex, 149–150
Impedanzen, 142–155
Induktion, 125
    magnetisch, 91–94, 126
Induktionsgesetz, 164
    Faraday, 125–167
        differentiell, 129–132
        itegral, 129–132
    universell, 131
Induktionskonstante, 92
induktiver Widerstand, 146, 147, 262
Induktivität
    Selbst-, 136
    Wechselstromwiderstand, 146–147
        komplex, 147–148
induzierte Spannung, 132, 139, 146
Inertialsystem, 87
Influenz, 25, 37
Influenzladung, 25
Inhomogenes Magnetfeld, 169–170
Integrale
    bestimmt, 287–288
    Rechenverfahren, 286
    unbestimmt, 287
    variable obere Grenze, 287–288
Integration, 285–286
Intensität, 216–219, 221, 227, 238, 239, 242

Joulsche Wärme, 71–73

Kapazität, 34–39, 56
    Impedanz
        komplex, 149–150
    Wechselstromwiderstand, 148–149
kapazitiver Widerstand, 261
Kartesische Koordinaten, 293–295
Kern, 42
Kernladungszahl, 42
Kirchhoffsche Gesetze, 141–142
Klebestreifen, 22
Knotenregel, 141
Koaxialkabel, 207
Kollektor, 77
Kollektor-Kennlinienfeld, 81
Kommutator, 155
Kondensator, 76
    Impedanz
        komplex, 149–150
    Reihenschaltung, 38
    Wechselstromwiderstand, 148–149
Kondensatoren, 37
    Parallelschaltung, 38
Kontinuitätsgleichung, 60–64
Koordinaten
    kartesich, 293–295
    sphärisch, 293–295
    zylindrisch, 293–295
Koordinatensystem, 317
Kraft, 9
    Biot
        Savart, 95
Kraftgesetz der Elektrodynamik, 94
Kurve
    Normlenebene, 273
    Raum, 273–274
    tangente, 273

Lösung, allgemein
    Wellengleichung, 199–201
Ladung, 7–14, 17–20, 22, 24–30, 34–36, 38, 39, 42, 45, 46, 49, 50, 52, 54, 55, 59, 61, 66, 71, 72, 85–90, 92–94, 99, 114, 117, 121, 175, 182, 191, 205, 206, 210–212, 319, 324
    elektrisch, 8–10
    magnetisch, 106
    Proton, 87
Ladungsdichte, 21
Ladungserhaltung, 63, 87
Ladungsinvarianz, 87
    relativistisch, 87
Ladungsmenge, 61
Ladungsträger, 59, 61, 62, 67
Ladungstransport, 59
Ladungsverteilung
    kontinuierlich, 55
Landé-Faktor, 179
Langevin-Funktion, 180
Laplace, 110
Larmor
    Satz, 170–174
Larmorkreisfrequenz, 174
Larmorwinkelgeschwindigkeit, 172
Lecher-Leitung, 201
Lecherleitungen, 207
Leiter, 56
    elektrische Felder, 18–25
Leiterschleife
    bewegt, 125–126
Leitfähigkeit, 65
    Skineffekt, 167
Leitwert, 65
Lenzsche Regel, 127, 128
Lichtenberg, G.C. 1742–1799, 8
Lichtstrahlen, 215
Linienintegral, 288–289
Lorentz-Beziehung, 49, 57
Lorentz-Kraft, 91
Lorentz-Transformation, 91, 198
    B, 113–118
    E, 113–118
    allgemeine elektromagnetische Felder, 118–119
    beliebige Geschwindigkeit, 118–119
    EMK, 129
Lorentzeichung, 108
Lorentzkraft, 85, 113, 127, 131

Magnetfeld, 85
    Eigenschaften, 91–112
    Energie, 167–168
    inhomogen, 169–170
    Quellenfreiheit, 104–106
    zeitlich veränderlich, 125–185
Magnetische Eigenschaften der Materie, 168–185
magnetische Feldstärke, 93
magnetische Flussdichte, 91–94, 126, 168
magnetische Induktion, 91–94, 126, 168
Magnetische Kraft
    Berechnung, 86–91
magnetischer Fluss, 126–129
magnetisches Feld, 90–91, 93, 168
Magnetisches Moment, 98
    Elektronen, 178–179
magnetisches Moment, 100
Magnetisierung, 176–178
Maschenregel, 141
Materie
    elektrische Eigenschaften, 42–54
    magnetische Eigenschaften, 168–185
    Magnetisierung, 176–178
Mathematik, 263–274
Maxwell
    Gleichungen, 191–196
Maxwell, James Clerk, 191
Maxwellsche Gleichungen, 191–196
Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, 191
Maxwellspannung, 40, 57
mechanische Spannung, 40
Millikan, 10
Moment
    magnetisch, 98
        Elektronen, 178–179
Mosotti, 48–50
Motor, 98

∇ Nabla-Operator, 283, 284
Nabla-Operator, 283, 284
Nebenschlussmotor, 158
Normalenebene, 273
Normalenebene zu Tangente einer Kurve, 273

Oberfläche, 225
Oberflächenladungsdichte, 40
Oberflächennormalen, 225
Ohmscher Leiter, 65
ohmscher Widerstand, 140
Ohmsches Gesetz, 64–71
Optik , 198
optisch aktive Substanz, 219
Orientierung
    k, E und B, 201
Orientierungspolarisation, 46

p Dipolmoment, 17
p-Polarisation, 221, 238, 239, 242
p-polarisiert, 221
Parallelschaltung, 37
    Kondensatoren, 38, 56
Paramagnetismus, 169, 170, 179–181
Permeabilität
    Skineffekt, 167
    Vakuum, 91
Permittivität, 48
    Vakuum, 9, 54
φ Potential, 27
Pointingvektor, 225
Poisson-Gleichung, 33–34, 56
Poissongleichung, 34
Polarisation, 48
    p, 238, 239, 242
    s, 225, 227, 228, 238, 239, 242
Polarisationsfilter, 220
Polarisator, 219
Polarisierbarkeit, 48
    atomar, 43
Potential
    elektrostatisch, 25–33, 56
        kontinuierlich, 56
    Stetigkeit, 48, 57
potentielle Energie, 56
Poynting-Vektor, 209–210
Poyntingvektor
    stehende Wellen, 210
Produkte mit Vektoren, 274–275
Protonen, 42
Punktladung, 9

Quantenelektrodynamik, 179
Quantenfeldtheorie, 108
Quantenmechanik, 108
Quellen, 17
Quellenfreiheit des Magnetfeldes, 104–106

Raum
    Kurve, 273–274
RC-Stromkreise, 73–76
Rechte-Hand-Regel, 127, 128
Reflexion, 221, 227, 245
Regel
    Lenz, 127
Reihen, 266–267
Reihenschaltung, 38
    Kondensatoren, 38, 57
rektifizierende Ebene, 274
relative Dielektrizitätszahl, 168
relative elektrische Permeabilität, 169
relative elektrische Permittivität, 168
Relativitätstheorie, 86, 108, 211
retardierte Zeit, 213
ρel elektrische Ladungsdichte, 11
Rotation, 280–282
Rotor, 155

s-Polarisation, 221, 225, 227, 228, 238, 239, 242
s-polarisiert, 221
Satz von Gauss, 283
Satz von Green, 283
Satz von Larmor, 170–174
Satz von Stokes, 284
Schaltungen, 76–84
Schiefwinkliges Dreieck, 309–310
Schmiegungsebene, 273
Schwingkreis, 150, 152
    elektrisch, 152
    gedämpft, 152
        komplex, 152–155
    ideal, 150–151
        komplex, 151
Selbstinduktion, 128
Selbstinduktivität, 136, 138
Serienschaltung, 38
SI-System, 91, 93
Signalfilterung, 152
Skineffekt, 164–167
    Frequenz, 167
Spannung, 27, 28, 36, 38, 39, 41, 45, 51, 52, 56, 60, 71, 73, 77, 79–81, 83, 84, 113, 127–129, 139, 140, 143–148, 150, 156, 157, 183, 260
    induziert, 132, 139, 146
    mechanisch, 40
Spannungsquelle, 73
Sperrrichtung, 78
spezifischer Widerstand, 66, 132, 259
Sphärische Koordinaten, 293–295
Spiegelsymmetrie, 21
Spin, 178
    Elektronen, 178–179
Spule, 127
    unendlich lang, 135–136
Stator, 155
Stehende Wellen, 208
stehende Wellen
    Energiefluss, 210
    Poyntingvektor, 210
Stetigkeit, 47–48
    dielektrische Verschiebung, 47, 57
    elektrisches Feld, 47, 57
    Potential, 48, 57
Stokes, G. G., 284
Strahlungsfeld, 213
Strom, 60–62, 64, 71, 79, 80, 82, 83, 85, 87, 90, 92, 93, 98, 99, 101, 103, 104, 109–111, 113, 119, 126–128, 132, 134–136, 138, 140, 143, 145–149, 157, 159, 160, 164, 171, 175, 177, 182, 183
    elektrisch, 60
    makroskopisch, 119
Stromdichte, 61, 63
Stromdichtefeld, 62
Stromkreise, 73–76
Stromverteilung
    Magnetfeld, 106–112
Suszeptibilität, 169
    dielektrisch, 57
Symmetrieüberlegungen, 21

Tangente, 273
Tangente an Kurve, 273
Taylorreihe, 266–267
Tensor, 34, 65, 210, 256, 260, 261
Transformator, 136–141
Translationsinvarianz, 21

Umrechnung
    kartesisch zu sphärisch, 294
    kartesisch zu zylindrisch, 294
    sphärisch zu kartesisch, 294
    sphärisch zu zylindrisch, 295
    zylindrisch zu kartesisch, 295
    zylindrisch zu sphärisch, 295

Vakuum, 197, 198
Vakuumpermittivität, 217
van de Graaff-Generator, 71
Vektoren, 270–274
    Ableitung, 275–282
    Vektorprodukt, 274–275
Vektorfeld, 9, 61, 107, 119, 196, 257, 279
    Stromdichte, 63
Vektoridentitäten, 274–283
Vektorpotential, 106–108, 110, 111, 122
Vektorprodukt, 274–275
Verschiebung
    dielektrisch, 15
Verschiebungspolarisation, 47
Verschiebungsstrom , 125
Vierervektor, 90
Volumen, 274

Weber, 127
Wechselspannungsquelle, 152
Wechselstom
    Induktivität, 146–147
        komplex, 147–148
    Ohmscher Widerstand, 142–144
        komplex, 144–145
    Spule, 146–147
        komplex, 147–148
Wechselstromkreise, 142–155
Wechselstromwiderstand
    Kapazität, 148–149
    Kondensator, 148–149
Wellen
    Doppelleiter, 201–206
    elektromagnetisch, 197–247
    Raum, 210–214
    stehend, 208
Wellengleichung, 197–199
    allgemeine Lösung, 199–201
    Vakuum, 197–199
Wellenvektor, 215
Wellenwiderstand, 206–207
Wellenzahl, 215
Wideroe-Bedingung, 163
Widerstand, 65, 68, 70–73, 75–77, 80, 82–84, 126, 129, 143, 145, 152, 165, 167, 202, 206, 207, 259, 261
    induktiv, 146, 147, 262
    kapazitiv, 261
    ohmsch, 140
        komplex, 144–145
        Wechselstrom, 142–144
    spezifisch, 66, 132, 259
Winkel
    Euler, 317–318
Wirbelstrom, 132–135

Zahlendichte, 179
zeitlich veränderliche Magnetfelder, 125–185
Zylinderkoordinaten, 293–295

1 Gravitation: FG(r) = Gm2e- r2 = 6.670 ⋅10⁻¹¹ N m²/kg^2(9.1091⋅10-31-kg)2 r2 = 5.5345 ⋅10⁻⁷¹ N m²r⁻².

2 Elektrostatische Kraft: FE(r) = -1-- 4π𝜀0q2e r2 = --------1--------- 4π8.8544⋅10-12 C2/Nm^2(1.6021⋅10-19 C)2 r2
= 2.3068 ⋅10⁻²⁸ N m²r⁻².

3 g ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes

4 Es ist V A = W = N m/s sowie C s⁻¹ = A. Also ist C V = A s V = J = N m und damit C = N m/V.

5 Auch bei Dielektrikas gibt es Bildladungen

1 Der an Gymnasien propagierte physikalische Strom von „- ” nach „+ ” ist ein Massenstrom, aber nicht ein Strom von Ladung. Wir beschäftigen uns hier mit Ladungsströmen und nicht mit Massenströmen. Die gymnasiale Unterscheidung von von physikalischer und technischer Stromrichtung ist unsinnig. Die physikalische Stromrichtung ist das gleiche wie die technische Stromrichtung, also so wie hier definiert.

2 Im Gegensatz zum Kondensator ist hier E≠0 in einem endlichen Gebiet.

3 Wir vernachlässigen dabei die Gravitationsarbeit. Frage: Ist dies für das Problem wichtig (prinzipiell und praktisch)?

4 Die elektromotorische Kraft ist keine Kraft im Sinne der Mechanik!

5 Die Inertialsysteme bewegen sich gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit!

6 In S sind die Ladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich.

7 oder jeder anderen Anordnung von zwei parallelen, homogenen Flächenladungen

1 Beachte die Phasenverschiebung zwischen magnetischem Fluss und Drehmoment!

2 Jackson rechnet im cgs-System!

1 Wegen der Rotation in den Maxwellgleichungen!

2 Die Analyse von Spannungen in Bauteilen nachgebildet mit Plexiglas war eine wichtige Anwendung (heute gibt es Programme zur Finite-Elemente-Analyse)