Unterabschnitte

Ein bisschen Mathematik

Ableitung





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{einfuehrung-002}
Berechnung der Ableitung




d.h. die Steigung einer Kurve oder die Änderung finden

$\displaystyle \frac{df\left( x\right) }{dx}=f'\left( x\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f\left( x+\Delta x\right) -f\left( x\right) }{\Delta x}$ (2.1)

Gesetze beim Ableiten:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right...
... g\left( x\right) +f\left( x\right) \left( \frac{d}{du}g\left( x\right) \right)$ (2.2)

$\displaystyle \frac{d}{dx}f\left( g\left( x\right) \right) =\left( \frac{d}{du}f\left( u\right) \right) \frac{dg\left( x\right) }{dx}$ mit $\displaystyle u=g\left( x\right)$ (2.3)



$ f(x)$ $ f'(x)$
$ \sin\left( x\right) $ $ \cos\left( x\right)$
$ \cos\left( x\right)$ $ -\sin\left( x\right)$
$ \ln(x) $ $ \frac{1}{x}$
$ e^{x} $ $ e^{x} $
Beispiele für Ableitungen


Integration





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{einfuehrung-003}
Integration einer Funktion




Integrieren, d.h. Fläche unter der Kurve oder den zurückgelegtenWeg bestimmen

$\displaystyle \int\limits_{u_{1}}^{u_{2}}f\left( u\right) du=\lim_{n=\infty} \s...
...t( u_{1}+j\frac{u_{2}-u_{1}}{n}\right) \cdot\left( \frac{u_{2}-u_{1}}{n}\right)$ (2.4)

Die verwendeten Symbole sind nebensächlich. Man kann mathematische Operationen mit allen Symbolen durchführen, z.B. die Integration mit $ u$.



$ f(t)$ $ \int f(\tau) d\tau$  
$ t^n$ $ \frac{1}{n+1}t^{n+1}$ wobei $ n\neq -1$
$ \sin\left( t\right)$ $ -\cos\left( t\right)$  
$ \cos\left( t\right)$ $ \sin\left( t\right)$  
$ e^t$ $ e^t$  
$ \frac{1}{t}$ $ \ln(t)$  
Beispiele für Integrale


Gesetze der Integration

$\displaystyle \int\left( g\left( x\right) +h\left( x\right) \right) dx=\int g\left( x\right) dx+\int h\left( x\right) dx$ (2.5)

$\displaystyle \int\left( g\left( x\right) \cdot h'\left( x\right) \right) dx=g\left( x\right) h\left( x\right) -\int g'\left( x\right) h\left( x\right) dx$ (2.6)

Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{einfuehrung-004}
Definition von Vektoren. $ \vec{r}$ ist ein Ortsvektor, $ \vec{v}$ der Geschwindigkeitsvektor.




\begin{displaymath}\overrightarrow{r}=\vec{r}=\left(
\begin{array}[c]{r}
x\\
y
\end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath}\overrightarrow{v}=\vec{v}=\left(
\begin{array}[c]{r}
v_{x}\\...
...eft(
\begin{array}[c]{r}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{array}\right)\end{displaymath}

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

$\displaystyle \dot{\vec{x}}=\frac{d\vec{x}}{dt}$

geschrieben.

Addition:

$\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\left( \begin{array}[c]{r} a_{x}  a_{y}  b_{z...
...egin{array}[c]{r} a_{x}+b_{x}  a_{y}+b_{y}  d_{z}+b_{z} \end{array} \right)$ (2.7)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

$\displaystyle \left\vert \vec{a}\right\vert =\sqrt{a_{y}^{2}+b_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$ (2.8)

Skalarprodukt

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}={a_{x}b_{x}+a_{y}b_{z}+a_{z}b_{z}}=\left\vert...
...\vert \vec{b}\right\vert \cdot\cos\left( \angle \vec{a}\text{,} \vec{b}\right)$ (2.9)

der Einheitsvektor $ \vec{e}_{x}$ ist ein Vektor der Länge $ 1$, der in die $ x$-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\left( \begin{array}[c]{r} a_{x}  a_{y} ...
..._{z}b_{y}  a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}  a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x} \end{array} \right)$ (2.10)

Gesetze Für die Orientierung der Vektoren gilt:

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{a}$ (2.11)

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{b}$ (2.12)

$\displaystyle \left\vert \vec{a}\times\vec{b}\right\vert =\left\vert \vec{a}\right\vert \left\vert \vec{b}\right\vert \cdot\sin\left( \angle a\text{,} b\right)$ (2.13)

Spatprodukt.

$\displaystyle \vec{a}\cdot\left( \vec{b}\times\vec{c}\right) =\vec{b}\cdot\left( \vec{c}\times\vec{a}\right)=-\vec{b}\cdot\left( \vec{a}\times\vec{c}\right)$ (2.14)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch $ \vec{a}$,$  \vec{b}$   ,$  \vec{c}$ aufgespannten Spates.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm