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Up: PHYS1100 Grundkurs I  Skript:  PDF-Datei

Übungsblatt 04
PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)


Date: 11. 11. 2005 und 14. 11. 2005

Aufgaben

  1. Berechnen Sie die kinetische Energien
    1. eines SMART ($ 805 kg$) bei $ 100 km/h$,
    2. eines Lastwagens ( $ 4\cdot10^7 g$) bei $ 90 km/h$,
    3. eines VW Touareg ($ 2945 kg$) bei $ 201 km/h$,
    4. eines Velofahrers ($ 80 kg$, inklusive Velo) bei $ 15 km/h$,
    5. eine Fahrradfahrerin ($ 70 kg$, inklusive Fahrrad) bei $ 50 km/h$,
    6. eines Joggers ($ 62.143 kg$) bei $ 11.743 km/h$
    7. einer Gewehrkugel (zylinderförmig, $ 6mm$ Durchmesser, $ 20 mm$ Länge aus Blei (Daten bitte selber nachschlagen) bei $ 600 m/s$ und
    8. eines Kometen ($ 10^3 t$), bei $ 12 km/s$.
  2. Gegeben seien die Kraftfelder (Kraftvektoren, die eine Funktion des Ortes sind)
    1. $\displaystyle \vec{F}_1(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
ax^3 \\
bx^4 \\
cx^5 \\
\end{array}\right)$

    2. $\displaystyle \vec{F}_2(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
ay^3 \\
bz^5 \\
cx \\
\end{array}\right)$

    Berechnen Sie jeweils ausgehend vom Koordinatenursprung die Arbeit entlang der $ x$-, $ y$- und der $ z$-Achse sowie entlang der Winkelhalbierenden zwischen der positiven $ x$-Achse und der positiven $ y$-Achse.
  3. Gegeben seien die Kraftfelder (Kraftvektoren, die eine Funktion des Ortes sind)
    1. $\displaystyle \vec{F}_3(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
ax^2 \\
by^2 \\
cz^2 \\
\end{array}\right)$

    2. $\displaystyle \vec{F}_4(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
a e^{x^2/x_0^2} \\
b \cosh(y/y_0)\\
c \sinh(z/z_0) \\
\end{array}\right)$

    3. $\displaystyle \vec{F}_5(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \frac{2 e^{(x^2+y^2+z^2)/r_0^2}}{r_0^2}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}\right)$

    4. $\displaystyle \vec{F}_6(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
ay+cz \\
bz+ax \\
cx+by \\
\end{array}\right)$

    5. $\displaystyle \vec{F}_7(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = a\left(
\begin{array}{c}
\frac{-yz\sin(x/x_0)}{x_0} \\
z\cos(x/x_0) \\
y\cos(x/x_0) \\
\end{array}\right)$

      Berechnen Sie jeweils $ E_{pot}$ entlang der $ x$-, $ y$- und der $ z$-Achse sowie entlang der Winkelhalbierenden zwischen der positiven $ x$-Achse und der positiven $ y$-Achse. $ E_{pot}$ sei am Koordinatenursprung null.
  4. Verwenden Sie die Rotation, um aus den Kraftfeldern aus den Aufgaben 2 und 3 die konservativen und die nicht-konservativen Kraftfelder zu finden.
  5. Gegeben sei

    $\displaystyle \vec{F}_8 (x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
ax^4 \\
by^2 \\
cz^6 \\
\end{array}\right)$

    Berechnen Sie $ E_{pot}(1$,$  1$,$  1)$, indem Sie $ E_{pot}(0$,$  0$,$  0) = 0$ setzen und entlang der Pfade
    1. $ (0$,$  0$,$  0) \longrightarrow (1$,$  0$,$  0) \longrightarrow (1$,$  1$,$  0) \longrightarrow (1$,$  1$,$  1)$
    2. $ (0$,$  0$,$  0) \longrightarrow (0$,$  1$,$  0) \longrightarrow (0$,$  1$,$  1) \longrightarrow (1$,$  1$,$  1)$
    3. $ (0$,$  0$,$  0) \longrightarrow (0$,$  0$,$  1) \longrightarrow (1$,$  0$,$  1) \longrightarrow (1$,$  1$,$  1)$
    integrieren.
  6. Die Bahn eines wiederkehrenden Kometen ist durch

    $\displaystyle \vec{r}(t) = \left(
\begin{array}{c}
a \cos(t/t_0) \\
b \sin(t/t_0) \\
\end{array}\right)$

    (Ellipsenbahn) gegeben. Berechnen Sie
    1. Drücken Sie $ ds(t)$ als Funktion von $ dx(t) = \frac{df_x(t)}{dt}dt$ und $ dy(t)$ aus.
    2. Berechnen Sie $ \vec{\tau}(t)$.
    3. Berechnen Sie $ R(t)$.
    4. Berechnen Sie $ \vec{n}(t)$.
    5. Berechnen Sie $ v(t)$.
    6. Berechnen Sie $ a_\tau(t)$.
    7. Berechnen Sie $ a_n(t)$.
  7. Gegeben sind die Messdaten aus der Vorlesung
        $ m_1$ vorher $ m_2$ vorher $ m_1$ nachher $ m_2$ nachher
    $ m_1/kg$ $ m_2/kg$ $ f_1$ $ f_2$ $ f_1$ $ f_2$ $ f_1$ $ f_2$ $ f_1$ $ f_2$
    0.5 0.5 335 352 0 0 0 0 386 404
    0.5 0.5 787 792 0 0 0 0 801 806
    0.5 0.5 2032 2040 0 0 0 0 2055 2064
    0.75 0.5 3670 3678 0 0 3691 3735 3687 3695
    0.75 0.5 4242 4250 0 0 4258 4296 4262 4270
    0.25 0.75 5382 5388.5 0 0 5413 5396 5406 5420
    0.5 0.75 6810 6816 0 0 6881 6829 6826 6834
    0.5 0.75 7103 7108 0 0 7165 7117 7117 7124
    0.5 0.75 7930 7937 0 0 7995 7944 7944 7956
    0.5 0.5 9378 9386 9384 9377 9410 9401 9405 9414
    0.5 0.5 10364 10377 10403 10400 10413 10409 10407 10462
    0.5 0.5 10934 10945 10953 10946 10972 10965 10969 10983
    0.25 0.75 12388 12399 12414 12401 12444 12436 12500 12572
    0.25 0.75 14211 14197 14224 14217 14234 14229 14248 14239
    0.75 0.25 14677 14665 14685 14681 14694.5 14689 0 0

    Die Bildnummern (Frames) $ f_i$ sind notiert worden, wenn die Schlitten die linken ($ f_1$) und die rechte ($ f_2$) Markierung jeweils im Abstand von $ 20 cm$ berührt haben. Die Videokamera nimmt $ 25$ Bilder pro Sekunde auf. Der Messfehler ist jeweils $ \pm 0.5 Frames$.
    Wir vermuten, dass der Gesamtimpuls vorher $ p_{vorher}$ gleich dem Gesamtimpuls nachher $ p_{nachher}$ ist, und dass das gleiche für die Gesamtenergie $ E_{kin}$ gilt. Um dies zu zeigen berechnen Sie die Differenzen $ <\Delta p>= <p_{vorher} - p_{nachher}>$ und $ <\Delta E> = <E_{kin\text{,} vorher} - E_{kin\text{,} nachher}>$ sowie die Grössen $ \sigma_{<\Delta p>}$ und $ \sigma_{<\Delta E>}$. Diskutieren Sie die Resultate.
    Das Videofile gibt es unter 2005-11-02.avi ($ 16 MBytes$, XVid). Die dazugehörige Software VirtualDub gibt es bei SourceForge.

Lösungen

    1. $\displaystyle W_{kin}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}mv^{2}$    
      $\displaystyle W$ $\displaystyle =310570,99J\approx3,1\cdot10^{5}J$    

    2. $\displaystyle W=1,25\cdot10^{7}J$    

    3. $\displaystyle W=4590314,24J\approx4,6\cdot10^{6}J$    

    4. $\displaystyle W=694,44J\approx694J$    

    5. $\displaystyle W=6751,54J\approx6752J$    

    6. $\displaystyle W=330,61J\approx331J$    

    7. $\displaystyle W$ $\displaystyle =1154,3J          m=\rho\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h=6,41\cdot 10^{-3}kg   $    
      $\displaystyle \rho$ $\displaystyle =11,34\frac{kg}{dm^{3}}$    

    8. $\displaystyle W=7,2\cdot10^{13}J
$

  1. Kurvenintegrale allgemein:

    $\displaystyle \vec{F}\left( \vec{x}\right) =\left( \begin{array}[c]{c} f_{1}\le...
...  f_{2}\left( \vec{x}\right) \\  f_{3}\left( \vec{x}\right) \end{array} \right)$    

    Kurve$  \Gamma$:

    $\displaystyle \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} x\left( t\righ...
...ft( t\right) \\  z\left( t\right) \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ a\leq t\leq b$    

    $\displaystyle \int\limits_{\Gamma}\vec{F}\left( \vec{x}\right) d\vec{x}=\int\li...
...( \vec{x}\right) dx+f_{2}\left( \vec{x}\right) dy+f_{3}\left( \vec{x}\right) dz$    

    $\displaystyle \int\limits_{\Gamma}\vec{F}\left( \vec{x}\right) d\vec{x}$ $\displaystyle =\int\limits_{a}^{b} \vec{F}\left( \vec{x}\left( t\right) \right) \cdot\frac{d\vec{x}\left( t\right) }{dt}dt\nonumber$    
      $\displaystyle =\int\limits_{a}^{b}\vec{F}\left( \vec{x}\left( t\right) \right) \cdot\dot{\vec{x}}\left( t\right) dt\nonumber$    
      $\displaystyle =\int\limits_{a}^{b}\left( f_{1}\left( \vec{x}\left( t\right) \ri...
...) +f_{3}\left( \vec{x}\left( t\right) \right) \dot{z}\left( t\right) \right) dt$    

    1. $\displaystyle \vec{F}=\left( \begin{array}[c]{c} ax^{3}\\  bx^{4}\\  cx^{5} \end{array} \right)$    

      $\displaystyle \Gamma_{1}:x-Achse:0\leq t\leq s\ \ \ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} t\\  0\\  0 \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{x}=\int\limits_{0}^{s}a\left( x\left( t\right) \right) ^{3} \cdot1dt=\int\limits_{0}^{s}at^{3}dt=\frac{1}{4}as^{4}$    

      $\displaystyle \Gamma_{2}:y-Achse:0\leq t\leq s\ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} 0\\  t\\  0 \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{y}=\int\limits_{0}^{s}b\left( x\left( t\right) \right) ^{4} \cdot1dt=\int\limits_{0}^{s}0\cdot1dt=0$    

      $\displaystyle \Gamma_{3}:z-Achse:0\leq t\leq s\ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} 0\\  0\\  t \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{z}=\int\limits_{0}^{s}c\left( x\left( t\right) \right) ^{5} \cdot1dt=\int\limits_{0}^{s}0\cdot1dt=0$    

      $\displaystyle \Gamma_{4}:$Winkelhalbierende$\displaystyle :0\leq t\leq s\ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} t\\  t\\  0 \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{xy}$ $\displaystyle =\int\limits_{0}^{s}a\left( x\left( t\right) \right) ^{3} \cdot1+b\left( x\left( t\right) \right) ^{4}\cdot1dt\nonumber$    
        $\displaystyle =\int\limits_{0}^{s}a\cdot t^{3}+bt^{4}dt\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{1}{4}as^{4}+\frac{1}{5}bs^{5}$    
      Weglänge hier $\displaystyle :\sqrt{2}\cdot s!\nonumber$    

    2. $\displaystyle \vec{F}=\left( \begin{array}[c]{c} ay^{3}\\  bz^{5}\\  cx \end{array} \right)$    

      $\displaystyle \Gamma_{1}:x-Achse~0\leq t\leq s\ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} t\\  0\\  0 \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{x}=\int\limits_{0}^{s}a\left( y\left( t\right) \right) ^{3} \cdot1dt=\int\limits_{0}^{s}0\cdot1dt=0$    

      $\displaystyle \Gamma_{2}:y-Achse:0\leq t\leq s\ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} 0\\  t\\  0 \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{y}=\int\limits_{0}^{s}b\left( z\left( t\right) \right) ^{5} \cdot1dt=\int\limits_{0}^{s}0\cdot1dt=0$    

      $\displaystyle \Gamma_{3}:z-Achse:0\leq t\leq s\ \ \ \vec{x}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{c} 0\\  0\\  t \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{z}=\int\limits_{0}^{s}cx\left( t\right) \cdot1dt=\int\limits_{0} ^{s}0\cdot1dt=0$    

      $\displaystyle \Gamma_{4}:$Winkelhalbierende$\displaystyle :0\leq t\leq s\ \ \ \left( \vec{x}\right) t=\left( \begin{array}[c]{c} t\\  t\\  0 \end{array} \right)$    

      $\displaystyle W_{xy}$ $\displaystyle =\int\limits_{0}^{s}a\left( y\left( t\right) \right) ^{3} \cdot1+b\left( z\left( t\right) \right) ^{5}\cdot1+cx\left( t\right) \cdot0dt\nonumber$    
        $\displaystyle =\int\limits_{0}^{s}at^{3}dt=\frac{1}{4}as^{4}$    

      hier: $ s=x_{Ende}=y_{Ende}\neq$Weglänge

      Weglänge: $ l=\sqrt{2}\cdot s$

    1. $\displaystyle E_{pot}$ $\displaystyle =-\int\vec{F}d\vec{s}\nonumber$    
      $\displaystyle E_{x}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}a\left( x\left( t\right) \right) ^{2} \cdot1dt=-\int\limits_{0}^{s}at^{2}dt=-\frac{1}{3}as^{3}$    
      $\displaystyle E_{y}$ $\displaystyle =-\frac{1}{3}bs^{3}$    
      $\displaystyle E_{z}$ $\displaystyle =-\frac{1}{3}cs^{3}$    
      $\displaystyle E_{xy}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}at^{2}\cdot1+bt^{2}\cdot1+ct^{2}\cdot 0dt=-\left( \frac{1}{3}as^{3}+\frac{1}{3}bs^{3}\right)$    

    2. $\displaystyle E_{x}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}a\cdot e^{\frac{t^{2}}{x_{0}^{2}}} \cdot1dt=...
...rn0pt\fam0 erf}\nolimits \left( \frac{i\cdot s}{x_{0}}\right) \right) \nonumber$    
      $\displaystyle E_{y}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}b\cosh\left( \frac{t}{y_{0}}\right) \cdot1dt=-y_{0}b\sinh\left( \frac{s}{y_{0}}\right) \nonumber$    
      $\displaystyle E_{z}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}c\sinh\left( \frac{t}{z_{0}}\right) \cdot1dt=-z_{0}c\left( \cosh\left( \frac{s}{z_{0}}\right) -1\right) \nonumber$    
      $\displaystyle E_{xy}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}ae^{\frac{t^{2}}{x_{0}^{2}}}\cdot 1+b\cosh\left( \frac{t}{y_{0}}\right) \cdot1dt\nonumber$    
        $\displaystyle =-\left( -\frac{1}{2}ia\sqrt{\pi}x_{0}\mathop{\mathcode\lq \'''27\ma...
...\frac{i\cdot s}{x_{0}}\right) +y_{0}b\sinh\left( \frac{s}{y_{0}}\right) \right)$    

      Error Function: $ \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A\mathcode\lq \-''2D\mat...
...mits \left( x\right) =\frac{2}{\sqrt{\pi}
}\cdot\int\limits_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$

    3. $\displaystyle E_{x}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\frac{2e^{\frac{t^{2}}{r_{0}^{2}}}}{r_{0}^{2} }\cdot t\cdot1dt=-e^{\frac{s^{2}}{r_{0}^{2}}}+1$    
      $\displaystyle E_y$ $\displaystyle =-e^{\frac{s^{2}}{r_{0}^{2}}}+1$    
      $\displaystyle E_{z}$ $\displaystyle =-e^{\frac{s^{2}}{r_{0}^{2}}}+1$    
      $\displaystyle E_{xy}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\frac{2e^{\frac{2t^{2}}{r_{0}^{2}}}}{r_{0}^{2} }t\cdot1+\frac{2e^{\frac{2t^{2}}{r_{0}^{2}}}}{r_{0}^{2}}\cdot t\cdot1dt$    
        $\displaystyle =-\left( \frac{1}{2}e^{\frac{2s^{2}}{r_{0}^{2}}}+\frac{1}{2} e^{\frac{2s^{2}}{r_{0}^{2}}}\right) +1$    
        $\displaystyle =1-e^{\frac{2s^2}{r_0^2}}$    

      (Weglänge $ \ell$: mit $ s=\frac{\ell}{\sqrt{2}}$ folgt das gleiche Ergebnis wie für $ E_x$.)

    4. $\displaystyle E_{x}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\left( a\cdot0+c\cdot0\right) \cdot 1dt=0\nonumber$    
      $\displaystyle E_{y}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\left( b\cdot0+a\cdot0\right) \cdot 1dt=0\nonumber$    
      $\displaystyle E_{z}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\left( c\cdot0+b\cdot0\right) \cdot 1dt=0\nonumber$    
      $\displaystyle E_{xy}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\left( at+c\cdot0\right) \cdot1+\left( b\cdot0+a\cdot t\right) \cdot1+\left( c\cdot t+b\cdot t\right) \cdot0dt\nonumber$    
        $\displaystyle =-as^{2}$    

    5. $\displaystyle E_{x}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}\frac{a\cdot0}{x_{0}}\cdot\sin\left( \frac {t}{x_{0}}\right) \cdot1dt=0$    
      $\displaystyle E_{y}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}a\cdot0\cdot\cos0\cdot1dt=0$    
      $\displaystyle E_{z}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}a\cdot0\cdot\cos0\cdot1dt=0$    
      $\displaystyle E_{xy}$ $\displaystyle =-\int\limits_{0}^{s}a\cdot\left( -t\right) \cdot0\cdot \sin\left...
...\frac{1}{x_{0}}\cdot1+a\cdot0\cdot \cos\left( \frac{t}{x_{0}}\right) \cdot1dt=0$    

  2. Rotation: $ \textrm{rot} {} \vec{F}=\nabla\times\vec{F}$

    $\displaystyle \vec{F}=\left( \begin{array}[c]{c} a\\  b\\  c \end{array} \right...
...frac{\partial b}{\partial x}-\dfrac{\partial a}{\partial y} \end{array} \right)$    

      0
    1. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{1}=\left( \begin{array}[c]{c} 0-0\\  0...
...right) =\left( \begin{array}[c]{c} 0\\  -5cx^{4}\\  4bx^{3} \end{array} \right)$    

    2. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{2}=\left( \begin{array}[c]{c} 0-5bz^{4...
...ght) =\left( \begin{array}[c]{c} -5bz^{4}\\  -c\\  -3ay^{2} \end{array} \right)$    

    3. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{3}=\left( \begin{array}[c]{c} 0-0\\  0-0\\  0-0 \end{array} \right) =\vec{0}$    

    4. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{4}=\left( \begin{array}[c]{c} 0-0\\  0-0\\  0-0 \end{array} \right) =\vec{0}$    

    5. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{5}=\left( \begin{array}[c]{c} yz-yz\\ ...
...right) \cdot\frac{4e^{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r_{0}^{2}}}}{r_{0}^{4} }=\vec{0}$    

    6. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{6}=\left( \begin{array}[c]{c} b-b\\  c-c\\  a-a \end{array} \right) =\vec{0}$    

    7. $\displaystyle \textrm{rot}\,{}\ \vec{F}_{7}=\left( \begin{array}[c]{c} a\cos\fr...
...ight) +\frac{a}{x0}z\sin\left( \frac{x}{x0}\right) \end{array} \right) =\vec{0}$    

  3. $\displaystyle \vec{F}_{8}$ $\displaystyle =\left( \begin{array}[c]{c} ax^{4}\\ by^{2}\\ cz^{6} \end{array} \right) \nonumber$    

    1. $\displaystyle E_{pot}$ $\displaystyle =\int\limits_{\Gamma_{1}}-\vec{F}d\vec{s}+\int\limits_{\Gamma_{2}}-\vec{F}d\vec{s}+\int\limits_{\Gamma_{3}}-\vec{F}d\vec{s}\nonumber$    
        $\displaystyle =E_{1}+E_{2}+E_{3}$    

      $\displaystyle E_{1}=-\int\limits_{0}^{1}at^{4}\cdot1dt=\left.-\frac{1}{5}at^{5}\right\vert _{0}^{1} =-\frac{1}{5}a$    

      $\displaystyle E_{2}=-\int\limits_{0}^{1}bt^{2}\cdot1dt=-\left.\frac{1}{3}bt^{3}\right\vert _{0}^{1} =-\frac{1}{3}b$    

      $\displaystyle E_{3}=-\int\limits_{0}^{1}ct^{6}\cdot1dt=-\left.\frac{1}{7}ct^{7}\right\vert _{0}^{1} =-\frac{1}{7}c$    

      $\displaystyle E_{pot}\left( 1,1,1\right) =-\frac{1}{5}a-\frac{1}{3}b-\frac{1}{7}c$    

    2. analog, nur Reihenfolge verschieden $ \Rightarrow$ gleiches Ergebnis
    3. analog, nur Reihenfolge verschieden $ \Rightarrow$ gleiches Ergebnis
  4. $\displaystyle \vec{r}\left( t\right) =\left( \begin{array}[c]{ccc} a & \cos & \frac{t}{t_{0}}\\  b & \sin & \frac{t}{t_{0}} \end{array} \right)$    

    1. $\displaystyle ds\left( t\right)$ $\displaystyle =\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}dt\nonumber$    
        $\displaystyle =\sqrt{\left( \frac{a}{t_{0}}\sin\frac{t}{t_{0}}\right) ^{2}+\left( \frac{b}{t_{0}}\cos\frac{t}{t_{0}}\right) ^{2}}dt$    

    2. $\displaystyle \vec{\tau}\left( t\right) =\binom{\frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^{2...
...\frac{t}{t_{0}}\\  \frac{b}{t_{0}} & \cos & \frac{t}{t_{0}} \end{array} \right)$    

    3. $\displaystyle R\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{\left( \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}{\dot...
...c{b}{t_{0}}\cos\frac {t}{t_{0}}\right) ^{2}}^{3}}{\left( \ast\right) }\nonumber$    
      $\displaystyle \left( \ast\right)$ $\displaystyle =-\frac{a}{t_{0}}\sin\frac{t}{t_{0}}\cdot\left( -\frac{b}{t_{0}^{...
...{t_{0}^{2}}\cos \frac{t}{t_{0}}\cdot\frac{b}{t_{0}}\cos\frac{t}{t_{0}}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{ab}{t_{0}^{3}}\sin^{2}\frac{t}{t_{0}}+\frac{ab}{t_{0}^{3}}\cos ^{2}\frac{t}{t_{0}}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{ab}{t_{0}^{3}}\nonumber$    
      $\displaystyle R\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{\sqrt{\left( \frac{a}{t_{0}}\sin\frac{t}{t_{0} }\right) ^{...
...{b}{t_{0}}\cos\frac{t}{t_{0}}\right) ^{2}}^{3} }{\frac{ab}{t_{0}^{3}}}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{t_{0}^{3}}{ab}\cdot\frac{1}{t_{0}^{3}}\sqrt{a^{2}\sin^{2}\frac {t}{t_{0}}+b^{2}\cos^{2}\frac{t}{t_{0}}}^{3}$    

    4. $\displaystyle \vec{n}\left( t\right) =\binom{\frac{-\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+...
...frac{t}{t_{0}}\\  -\frac{a}{t_{0}} & \sin & \frac{t}{t_{0}} \end{array} \right)$    

    5. $\displaystyle v\left( t\right) =\left\vert \vec{v}\left( t\right) \right\vert =\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}$    

    6. $\displaystyle a_{\tau}\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}} {\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{-\frac{a}{t_{0}}\sin\frac{t}{t_{0}}\cdot\left( -\frac{a}{t...
..._{0}^{2}}\sin\frac{t}{t_{0}}\right) }{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot {y}^{2}}}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{\sin\frac{t}{t_{0}}\cdot\cos\frac{t}{t_{0}}\left( \frac{a^...
...{3}}-\frac{b^{2}}{t_{0}^{3}}\right) }{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} }\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{\left( a^{2}-b^{2}\right) \frac{1}{t_{0}^{3}}\sin\frac{t}{t_{0} }\cdot\cos\frac{t}{t_{0}}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}$    
        $\displaystyle =\frac{\left( a^{2}-b^{2}\right) \frac{1}{t_{0}^{3}}\sin\frac{t}{...
...{t}{t_{0} }\right) ^{2}+\left( \frac{b}{t_{0}}\cos\frac{t}{t_{0}}\right) ^{2}}}$    

    7. $\displaystyle a_{n}\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{\sqrt {\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}=\frac{v^{2}}{R}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{\left( \sqrt{\left( \frac{a}{t_{0}}\sin\frac{t}{t_{0}}\rig...
...eft( \frac{t_{0}^{3}}{ab}\right) ^{-1}=\frac{ab}{t_{0}^{3}\sqrt {...}}\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{ab}{t_{0}^{3}\sqrt{\left( \frac{a}{t_{0}}\sin\frac{t}{t_{0} }\right) ^{2}+\left( \frac{b}{t_{0}}\cos\frac{t}{t_{0}}\right) ^{2}} }\nonumber$    
        $\displaystyle =\frac{ab}{t_{0}^{2}\sqrt{a^{2}\sin^{2}\frac{t}{t_{0}}+b^{2}\cos^{2} \frac{t}{t_{0}}}}$    

  5. m1 vorher m2 vorher m1 nachher m2 nachher
    m1 m2 f1 f2 f1 f2 f1 f2 f1 f2
    0,5 0,50 335 352 0 0 0 0 386 404
    0,5 0,50 787 792 0 0 0 0 801 806
    0,5 0,50 2032 2040 0 0 0 0 2055 2064
    0,75 0,50 3670 3678 0 0 3691 3735 3687 3695
    0,75 0,50 4242 4250 0 0 4258 4296 4262 4270
    0,25 0,75 5382 5388,5 0 0 5413 5396 5406 5420
    0,5 0,75 6810 6816 0 0 6881 6829 6826 6834
    0,5 0,75 7103 7108 0 0 7165 7117 7117 7124
    0,5 0,75 7930 7937 0 0 7995 7944 7944 7956
    0,5 0,50 9378 9386 9384 9377 9410 9401 9405 9414
    0,5 0,50 10364 10377 10403 10400 10413 10409 10407 10462
    0,5 0,50 10934 10945 10953 10946 10972 10965 10969 10983
    0,25 0,75 12388 12399 12414 12401 12444 12436 12500 12572
    0,25 0,75 14211 14197 14224 14217 14234 14229 14248 14239
    0,75 0,25 14677 14665 14685 14681 14694,5 14689 0 0

    Frames / s: 25,00
    Zeit pro Frame: 0,04 s
    Strecke: 0,2 m

        vorher   nachher  
    m1 m2 v1 / m/s v2 / m/s v1 / m/s v2 / m/s
    0,5 0,5 0,29411765 0 0 0,27777778
    0,5 0,5 1 0 0 1
    0,5 0,5 0,625 0 0 0,55555556
    0,75 0,5 0,625 0 0,11363636 0,625
    0,75 0,5 0,625 0 0,13157895 0,625
    0,25 0,75 0,76923077 0 -0,29411765 0,35714286
    0,5 0,75 0,83333333 0 -0,09615385 0,625
    0,5 0,75 1 0 -0,10416667 0,71428571
    0,5 0,75 0,71428571 0 -0,09803922 0,41666667
    0,5 0,5 0,625 -0,71428571 -0,55555556 0,55555556
    0,5 0,5 0,38461538 -1,66666667 -1,25 0,09090909
    0,5 0,5 0,45454545 -0,71428571 -0,71428571 0,35714286
    0,25 0,75 0,45454545 -0,38461538 -0,625 0,06944444
    0,25 0,75 -0,35714286 -0,71428571 -1 -0,55555556
    0,75 0,25 -0,41666667 -1,25 -0,90909091 0

    p vorher p nachher E vorher E nachher $ \Delta p$ $ \Delta E$

    0,14705882

    0,13888889 0,0216263 0,01929012 0,00816993 0,00233617
    0,5 0,5 0,25 0,25 0 0
    0,3125 0,27777778 0,09765625 0,07716049 0,03472222 0,02049576
    0,46875 0,39772727 0,14648438 0,10249871 0,07102273 0,04398567
    0,46875 0,41118421 0,14648438 0,10414863 0,05756579 0,04233574
    0,19230769 0,19432773 0,0739645 0,05864478 -0,00202004 0,01531972
    0,41666667 0,42067308 0,17361111 0,14879577 -0,00400641 0,02481535
    0,5 0,48363095 0,25 0,1940392 0,01636905 0,0559608
    0,35714286 0,26348039 0,12755102 0,06750709 0,09366246 0,06004393
    -0,04464286 0 0,22520727 0,15432099 -0,04464286 0,07088628
    -0,64102564 -0,57954545 0,73142669 0,39269112 -0,06148019 0,33873558
    -0,12987013 -0,17857143 0,17920391 0,15943878 0,0487013 0,01976514
    -0,17482517 -0,10416667 0,08129982 0,05063657 -0,07065851 0,03066324
    -0,625 -0,66666667 0,20727041 0,24074074 0,04166667 -0,03347033
    -0,625 -0,68181818 0,26041667 0,30991736 0,05681818 -0,04950069

      $ \Delta p$ $ \Delta E$
    Mittelwerte: 0,01639269 0,04282482
    Std.Abw.: 0,04837503 0,08819565
    Std.Abw. d. M.: 0,01249038 0,02277202




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Up: PHYS1100 Grundkurs I  Skript:  PDF-Datei
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm