Unterabschnitte

Oberflächenspannung





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{deform-016.eps}
Molekulares Bild der Oberfläche




Kräfte sind isotrop verteilt Nettokraft in das Innere der Flüssigkeit


Schiebt sich ein Molekül an die Oberfläche, so leistet es die Arbeit $ W_{is}\left( M\right) $ gegen $ \vec{F}_{S}$

also ist

$\displaystyle E(M)=W_{is}(M)$ (2.62)

Die potentielle Energie der Moleküle in der Oberfläche $ A$ ist minimal, wenn die Oberfläche $ A$ minimal ist.

$\displaystyle E_{S}\left( M\right) =\sigma_{S}\cdot A$ (2.63)

Die Einheit von $ \sigma_{S}$ ist $ \left[ \frac{N}{m}\right] $. $ \sigma_{S}$ heisst Oberflächenspannung.

Wenn $ n\cdot A$ Moleküle an der Oberfläche sind, gilt

$\displaystyle \sigma_{S}=nE_{A}\left( M\right) =\frac{1}{d_{eff^{2}}}E_{S}\left( M\right)$ (2.64)

Dabei ist $ n=\frac{1}{d_{eff^{2}}}$ die Flächendichte der Moleküle, $ d_{eff}$ der effektive Durchmesser eines Moleküls und $ E_{S}\left( M\right) $ die Arbeit, die benötigt wird um ein Molekül gegen die Oberflächenkraft an die Oberfläche zu bringen.

Anwendung:





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-017.eps}
Berechnung der Kraft eines Flüssigkeitsfilmes




  1. Der Flüssigkeitsfilm hat 2 Oberflächen

  2. Verschiebung um $ \Delta y$ benötigt die Arbeit

    $\displaystyle \Delta F\cdot\Delta y=2\Delta E_{S}=\sigma_{S}\cdot2\Delta A=2\sigma _{S}b\Delta y$ (2.65)



    und

    $\displaystyle \Delta F=2\sigma_{S}b$ (2.66)

Pro Flüssigkeitsoberfläche wirkt auf die Breite $ \Delta x$ die Kraft.

$\displaystyle \Delta F_{S}=\sigma_{S}\Delta x$ (2.67)





\includegraphics[width=0.13\textwidth]{deform-018.eps}
Tropfenzähler. Situation kurz vor dem Abreissen




Der Umfang ist $ 2\pi r$. Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass kurz vor dem Abreissen die aufwärtsgerichte Kraft der Oberflächenspannung gerade das Gewicht des Tropfens kompensieren.

$\displaystyle 2\pi r\sigma_{S}=V\rho g$ (2.68)

Also ist

$\displaystyle V=\frac{2\pi r\sigma_{S}}{\rho g}$ (2.69)

Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.


Freie Oberflächen





\includegraphics[width=0.4 \textwidth]{deform-019.eps}
Krümmungsradien bei einer freien Oberfläche




Die Oberfläche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien $ R_{1}$ und $ R_{2}$

Behauptung

$\displaystyle \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{\Delta p}{2\sigma_{S}}$ (2.70)

Beweis für eine Kugel





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-020.eps}
Oberflächenspannung und Druck in einer Kugel




Wir haben eine Äquatorialfläche $ A$ und einen Äquatorialumfang $ U$. Die Druckkraft ist $ \Delta p\cdot A$, die Oberflächenspannung am Umfang $ 2\sigma_{S}U$ (da wir 2 Oberflächen haben!)

Also

$\displaystyle \Delta pA$ $\displaystyle =2\sigma_{S}U$    
$\displaystyle \Delta p\pi R^{2}$ $\displaystyle =2\sigma_{S}\cdot2\pi R$    
$\displaystyle \frac{2}{R}$ $\displaystyle =\frac{\Delta p}{2\sigma_{S}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$ (2.71)

da bei der Kugel $ R_{1}=R_{2}=R$ ist.

Beispiel Seifenblasen.

Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wieso?)

Freie Oberflächen sind Minimalflächen mit

$\displaystyle \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=0$ (2.72)

Da der Krümmungsradius $ R^{-1}\propto\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$ ist, gilt auch

$\displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=0$ (2.73)

Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-021.eps}
Benetzende Flüssigkeiten




Steigt die Flüssigkeit wird ihre Oberfläche kleiner.

$\displaystyle F_{Graviation}=F_{S} \left( \text{am Umfang}\right)$ (2.74)

$\displaystyle \pi r^{2}\cdot h\cdot\rho\cdot g=\sigma_{S}\cdot2\pi r$ (2.75)

und

$\displaystyle h=\frac{2\sigma_{S}}{r\rho g}$ (2.76)

Bei Nichtbenetzung hat man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Quecksilber)

Grenzflächenenergien existieren zwischen beliebigen Medien.





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-022.eps}
Kräftegleichgewicht an der Grenzfläche




Sei $ \sigma_{23}$ negativ. Dann ist

$\displaystyle \sigma_{12}\cos\theta=\sigma_{13}-\sigma_{23}$ (2.77)

Wenn $ \sigma_{13}-\sigma_{23}>\sigma_{12}$ ist, kriecht die Flüssigkeit hoch. Wenn $ \sigma_{23}>\sigma_{13}>0$ dann ist $ \theta>90 {{}^\circ} $. Beispiel: Quecksilber.


Das Problem kann auch anders angesehen werden:

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm