Unterabschnitte

Strömungen

Beschreibung von Strömungen





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-024.eps}
Vektorfeld der Strömung




An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit $ \vec{v}\left( \vec{r}\right) $ einen Betrag und eine Richtung.

Das Vektorfeld $ \vec{v}\left( \vec{r}\right) $ ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn $ \vec{v}\left( \vec{r}\right) $ nicht von der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.

Bahnlinien: Bahn eines Teilchens

Bei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkompressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte $ \rho$.

Fluss





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-025.eps}
Fluss




Der Fluss ist definiert als

$\displaystyle d\phi=\rho v\cos\alpha dA$ (2.78)

oder

$\displaystyle d\phi=\rho\vec{v\cdot}d\vec{A}$ (2.79)

Integralform

$\displaystyle \phi=\int\limits_{A}\rho\vec{v}d\vec{A=}\int\limits_{A}\vec{j}d\vec{A}$ (2.80)

wobei $ A$ beliebige Fläche (auch gekrümmt) ist. $ \phi$ ist der Fluss. Er hat die Einheit

$\displaystyle \left[\phi\right] = \frac{kg}{s}$

$ \vec{j}=\rho\vec{v}$ ist die Stromdichte (analog zum elektrischen Strom). Ihre Einheit ist

$\displaystyle \left[\vec{j}\right] = \frac{kg}{m^2 s}$

Bei einer geschlossenen Fläche fliesst netto Masse aus dem Volumen heraus, wenn eine Quelle im Volumen ist. Bei geschlossenen Flächen wird der Fluss nach aussen immer positiv gezählt, nach innen negativ.





\includegraphics[width=0.95\textwidth]{deform-026a.eps}
Berechnung der Divergenz




Im allgemeinen Fall ändert die Dichte mit dem Ort. Wir haben links die Dichte $ \rho(x)$ und die Geschwindigkeit $ v_x(x)$ und rechts $ \rho(x+dx) =
\rho(x)+\frac{\partial \rho}{\partial x} dx$ und $ v_x(x+dx) =
v_x(x)+\frac{\partial v_x}{\partial x} dx$. Zusammen erhalten wir

$\displaystyle d\phi_{1}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$ $\displaystyle =-\rho\left( x\text{,} y\text{,} z\right) v_{x}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$    
$\displaystyle d\phi_{2}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$ $\displaystyle =\rho\left( x+dx\text{,} y\text{,} z\right) v_{x}\left( x+dx\text{,} y \text{,} z\right) dydz$    
  $\displaystyle = \left(\rho\left( x\right) v_{x}\left( x\right) + \left[\rho\lef...
...l\rho}{\partial x}v_x\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\right]dx\right) dydz$    

wobei die Zweitordnungsterme mit $ dx^2$ vernachlässigt wurden. Der Nettofluss ist

$\displaystyle d\phi_{1}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)+d\phi_{2}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$ $\displaystyle =\left[\rho\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\frac{\partial v_...
...{\partial\rho}{\partial x}v_x\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\right]dxdydz$    
  $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial x}\left[\rho\left( x\text{,} y\text{,} z\right)v_x\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\right]dxdydz$    
  $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial x}\left[\rho\left( x\text{,} y\text{,} z\right)v_x\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\right]dV$ $\displaystyle =$ $\displaystyle d\phi_{x}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$    

Analog bekommt man für die $ y$- und die $ z$-Richtung:

$\displaystyle d\phi_{y}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial x}\left[\rho\left( x\text{,} y\text{,} z\right)v_x\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\right]dV$    
$\displaystyle d\phi z\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial x}\left[\rho\left( x\text{,} y\text{,} z\right)v_x\left( x\text{,} y\text{,} z\right)\right]dV$ (2.81)

Der Nettofluss aus dem Volumen ergibt sich zu

$\displaystyle d\phi\left( x\text{,} y\text{,} z\right)$ $\displaystyle =d\phi_{x}\left( x\text{,} y\text{,}  z\right)+d\phi_{y}\left( x\text{,} y\text{,} z\right)+d\phi_{z}\left( x\text{,} y\text{,}  z\right)$    
  $\displaystyle =\left( \frac{\partial \left(\rho v_{x}\right)}{\partial x}+\frac...
...ght)}{\partial y}+\frac{\partial \left(\rho v_{z}\right)}{\partial z}\right) dV$ (2.82)

Ohne Quelle ist $ d\phi=0$. Die Grösse

$\displaystyle \textrm{div} {}\left(\rho \vec{v}\right) =\frac{\partial \left(\...
...o v_{y}\right)}{\partial y}+\frac{\partial \left(\rho v_{z}\right)}{\partial z}$ (2.83)

(Divergenz) beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss. Sie ist in dem Falle auch gleich null.

Wenn $ \textrm{div} {}\left( \vec{v}(\vec{r})\right) \neq 0$ ist, so muss sich die Dichte an der Stelle $ \vec{r}$ ändern, oder es muss eine Quelle vorhanden sein.

Wir erinnern uns, der Fluss $ \phi$ beschreibt die Massenänderung pro Zeit im Volumen $ dV$. Die Masse im Volumen $ dV$ nimmt um $ d\phi dt$ ab (bei positivem $ d\phi$ und nimmt um $ \dot{\rho}dV dt$ zu. Zusammen ergibt sich

$\displaystyle dm = -d\phi dt = -\textrm{div} {}{\left(\rho \vec{v}\right)} dV dt = \dot{\rho} dV dt$

und damit

$\displaystyle d\phi= \textrm{div} {}\left(\rho\vec{v}\right)dV =- \dot{\rho}dV$ (2.84)

Damit bekommt man

$\displaystyle \textrm{div} {}\left(\rho \vec{v}\right)=-\dot{\rho}$ (2.85)

Dies ist die Kontinuitätsgleichung.

Wenn $ \rho$ nicht vom Ort abhängt, hat man auch.

$\displaystyle \rho \textrm{div} {}\vec{v}=-\dot{\rho}$

Dann heisst $ \rho \textrm{div} {}\vec{v}=\textrm{div} {} \vec{j}$ die Quelldichte.

Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall $ \textrm{div} {}\vec{v}=0.$

Es gilt:

$\displaystyle \phi=\underset{\text{Fluss durch A (\glqq Materialmenge\grqq )}}{...
...\text{{\uml A}nderung der Dichte}}{\underbrace{\iiint\limits_{V}\dot{\rho}dV} }$ (2.86)

da der Satz von Gauss für ein beliebiges Vektorfeld $ \vec{x}$ besagt

$\displaystyle \iint\limits_{A}{}\vec{x}\cdot d\vec{A}=\iiint\limits_{V}(\textrm{div} {}\vec{x})dV$ (2.87)





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-027.eps}
Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit




Die Stromlinien durch $ A$ definieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinen Austausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit

$\displaystyle A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}$ (2.88)

Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-028.eps}
Geschwindigkeitsgradient und Rotation




Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.

Wasser strömt mit $ \pm\ell\frac{dv_{y}}{dx}$ am Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn

$\displaystyle \omega_{z}=\frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}$ (2.89)

$ \omega$ zeigt in die $ z$ Richtung. Im Allgemeinen ist

$\displaystyle \vec{\omega}=\left( \frac{\partial v_{z}}{\partial y}-\frac{\part...
...l y},\frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}\right)$ (2.90)

mit $ \vec{\nabla=}\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial}{\partial
z}\right) $ wird

$ \textrm{rot} {} \vec{v=\nabla\times v}$ die Rotation des Strömungsfeldes.

Es gilt dann

$\displaystyle \underset{\text{Bahnkurve s}}{\underbrace{\oint\vec{v}d\vec{s}} }...
... berandete Fl{\uml a}che}}{\underbrace{\int \textrm{rot} {} \vec{v}d\vec{A}}}$ (2.91)

Falls $ \textrm{rot} {} \vec{v}=0$ ist kann $ \vec{v}$ aus dem Geschwindigkeitspotential $ U$ abgeleitet werden.

$\displaystyle \vec{v}=-\textrm{grad} {}U$ (2.92)

Dann gilt $ \textrm{rot} {} \vec{v}=0$

Für inkompressible Flüssigkeiten gilt

$\displaystyle \textrm{div} {}\vec{v}=-\textrm{div} {}\textrm{grad} {}U=-\Delta U=0$ (2.93)

Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch die gleiche Mathematik beschrieben werden:

Strömung $ \longleftrightarrow$ Graviation $ \longleftrightarrow$ Elektrostatik

Lokale und totale Ableitungen





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-029.eps}
Mitbewegtes System




Sei $ S^{\ast}$ das Laborsystem, $ S$ das mitbewegte System,das $ \Delta m$ folgt. Seien $ s^{\ast}$ lokale zeitliche Ableitungen und $ s$ totale zeitliche Ableitungen

Das 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von $ \Delta m,$ aber nur in $ S\left( t\right) $

(in $ S^{\ast}$ betrachtet man Volumina, nicht Massen)

Also ist

$\displaystyle \vec{F}_{m}=\frac{\vec{F}}{m}=\vec{a}=\frac{d\vec{v}} {dt}    in   S\left( t\right)$ (2.94)

Lokale Ableitung:

$ \vec{r}$ ist in $ S^{\ast}$ fest

$\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( \vec{r},t\right) =\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( x,y,z,t\right)$    
$\displaystyle \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}\left( \vec{r},t\right) =\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}\left( x,y,z,t\right)$ (2.95)

Totale zeitliche Ableitungen

In $ S\left( t\right) $ beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.

$\displaystyle \vec{r}=\vec{r}\left( t\right) =\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right)$ (2.96)

wobei $ x\left( t\right) $ die Koordinaten in $ S^{\ast}$ sind

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle =\rho\left( \vec{r}\left( t\right) ,t\right) =\rho\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) t\right)$    
$\displaystyle \vec{v}$ $\displaystyle =\vec{v}\left( \vec{r}\left( t\right) ,t\right) =\vec{v}\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) t\right)$ (2.97)

Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn $ \vec{r}\left( t\right) $

$\displaystyle \frac{d\rho}{dt}$ $\displaystyle =\frac{d}{dt}\rho\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) ,t\right)$    
$\displaystyle \vec{a}$ $\displaystyle =\frac{d\vec{v}}{dt}$ (2.98)

Zusammenhang:

Dichte

$\displaystyle \frac{d}{dt}\rho=\frac{\partial}{\partial t}\rho+\left( \textrm{grad} {} \rho\right) \cdot\vec{v}$ (2.99)

Beweis:

$\displaystyle \frac{d}{dt}\rho=\frac{\partial\rho}{\partial x}\cdot\frac{\parti...
...{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial t} +\frac{\partial\rho}{\partial t}$ (2.100)

qed.

Beschleunigung:

$\displaystyle \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\l...
... {}\left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2}\right) -\vec{v}\times \textrm{rot} {}\vec{v}$ (2.101)


Kontinuitätsgleichung

Grund Massenerhaltung

$\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}+\textrm{div} {}\left( \rho\vec{v}\right) =\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho \textrm{div} {} \vec{v}=0$ (2.102)

Beweis: Ortsfests Volumen

$\displaystyle \Delta V$ $\displaystyle =\Delta x\cdot\Delta y\cdot\Delta z$    
$\displaystyle \delta\left( \Delta m\right)$ $\displaystyle =\Delta x\cdot\Delta y\cdot\Delta z\cdot\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( z+\frac{1}{2}\Delta z\right) \delta t$    
  $\displaystyle =-\rho\left( z+\Delta z\right) \cdot v_{z}\left( z+\Delta z\right...
...rho\left( z\right) v_{z}\left( z\right) \cdot\delta t\cdot\Delta x\cdot\Delta y$    
$\displaystyle \frac{\delta\left( \Delta m\right) }{\partial t}$ $\displaystyle =\Delta x\Delta y\Delta z\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( z\...
...{z}\left( z\right) \right) }{\partial z}\cdot\Delta z\cdot\Delta x\cdot\Delta y$    
$\displaystyle \frac{\partial\rho\left( z\right) }{\partial t}$ $\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial t}\left( \rho\left( z\right) v_{z}\left( z\right) \right)    usw.$ (2.103)


Stationäre Strömung

Sei $ \frac{\partial}{\partial t}f=0$ für beliebige $ f$. Dann ist die Dichte $ \frac{dp} {dt}=\left( \textrm{grad} {} \rho\right)
\cdot\vec{v}$ und die Kontinuitätsgleichung $ \textrm{div} {}\left( \rho\vec{v}\right) =0$.

$\displaystyle \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\textrm{grad} {}\left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2}\right) -\vec{v}\times \textrm{rot} {}\vec{v}$ (2.104)

Im Stromfaden gilt

$\displaystyle A_{1}\rho_{1}v_{1}=A_{2}\rho_{2}v_{2}=const$ (2.105)

Inkompressible Flüssigkeiten

$\displaystyle \frac{d\rho}{dt}$ $\displaystyle =\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$    
$\displaystyle \textrm{div} {} \vec{v}$ $\displaystyle =0$ (2.106)

dann gilt: $ A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}=const.$

Innere Reibung





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-030.eps}
Innere Reibung in einer Flüssigkeit




Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.

$ \vec{v}\left( z\right) $ ist parallel zur Wand.

Für die Kraft gilt

$\displaystyle \vec{F}=\eta A\frac{\vec{v}}{z}$ (2.107)

$ \eta:\left[ \frac{Ns}{m^{2}}\right] $ heisst Viskosität (Scherviskosität)

Beispiel

Wasser: $ 1.8\cdot10^{-3}\frac{Ns}{m^{2}}$

Glyzerin $ 1\frac{Ns}{m^{2}}$

Allgemein:

$\displaystyle \vec{F}=\eta A\frac{d\vec{v}}{dz}$ (2.108)

wobei $ A$ klein sein soll.

Temperaturabhängigkeit:

Moleküle müssen ihren Platz wechseln ( $ \rightarrow$ Bolzmannstatistik)

$\displaystyle \eta=\eta_{\infty}e^{\frac{b}{T}}$ (2.109)


Laminare Strömung





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-031.eps}
Volumenkräfte




Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlinien benachbart bleiben (Beispiel: Blut)

$\displaystyle d\vec{F}_{1}$ $\displaystyle =\left. -\eta\frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\right\vert _{1}dydz$    
$\displaystyle d\vec{F}_{2}$ $\displaystyle =\eta\left. \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\right\vert _{2}dyd...
...ial x}\right\vert _{1}+\frac{\partial^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}}dx\right) dydz$    
$\displaystyle d\vec{F}_{R}$ $\displaystyle =d\vec{F}_{1}+d\vec{F}_{2}=\eta\frac{\partial ^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}}dxdydz=\eta\frac{\partial^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}}dV$ (2.110)

Allgemein:

$\displaystyle d\vec{F}_{R}=\eta\left( \frac{\partial^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}...
...v}}{\partial^{2}y^{2}}+\frac{\partial ^{2}\vec{v}}{\partial^{2}z^{2}}\right) dV$ (2.111)

oder

$\displaystyle \vec{F}_{V_{R}}=\frac{d\vec{F}}{dV}=\eta\Delta\vec{v}$ (2.112)

die Volumenkraft der Reibung


Die Druckkraft ist

$\displaystyle d\vec{F}_{p}=pdydz-\left( p+\frac{\partial p}{\partial x}dx\right) dydz=-\frac{\partial p}{\partial x}dV$ (2.113)

also

$\displaystyle \vec{F}_{V_{p}}=-\textrm{grad} {} p$ (2.114)

$ \vec{F}_{V_{R}}$ und $ \vec{F}_{V_{p}}$ beschreiben die Dynamik



Strömung durch einen Spalt





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-032.eps}
Strömung durch einen Spalt




$ v=0$ an der Wand

$ v=v_{0}$ in der Mitte

$ \frac{dv}{dx}\Rightarrow$ Reibungskraft $ F_{R}=2\ell b\eta\frac{dv}{dx}$

Druck: $ F_{p}=2xb\ell\frac{dp}{dz}$

$ \Rightarrow\frac{dv}{dx}=\frac{1}{\eta}\frac{dp}{dz}x$

$ \Rightarrow v\left( x\right) $ ist eine Parabel

$\displaystyle v=v_{0}-\frac{1}{2\eta}\frac{dp}{dx}x^{2}=v_{0}-\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta\ell }x^{2}$

Am Rand ist $ v=0$

$\displaystyle \Rightarrow\hspace{1cm} v_{0}=\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta\ell }d^{2}$

Rohrströmung





\includegraphics[width=0.2 \textwidth]{deform-033.eps}
Rohrströmung




Rand: $ v=0$

$\displaystyle F_{R}=2\pi r\ell\eta\frac{dv}{dr}$

$\displaystyle F_{p}=\pi r^{2}\left( p_{1}-p_{2}\right) $

also

$\displaystyle \frac{dv}{dr}=\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta \ell}
$

$\displaystyle \Rightarrow\hspace{1cm} v=v_{0}-\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2}$

und

$\displaystyle v_{0}=\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2}$

infinitesimal

$\displaystyle v_{z}\left( r\right) =-\frac{1}{4\eta}\frac{dp}{dz}\left( R^{2}-r^{2}\right) $

Volumenstrom: $ d\dot{V}=2\pi rdr\cdot v\left( r\right) $

also:

$\displaystyle \dot{V}=\int\limits_{0}^{R}2\pi rv\left( r\right) dr=\frac{\pi\left( p_{1}-p_{2}\right) }{8\eta l}R^{4}=\frac{\pi}{8\eta}\frac{dp}{dz}R^{4}$ (2.115)

Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei $ \frac{dp}{dz}=-8\eta\frac {\bar{v}}{R^{2}}$ und $ \bar{v}=\frac{\dot{V}}{\pi R^{2}}$

Der Strömungswiderstand ist: $ \frac{8\eta\ell}{\pi R^{4}}$

Druck und Volumenstrom

Druckkraft $ F_{p}=\pi R^{2}\left( p_{1}-p_{2}\right) =\frac{8\eta l}{R^{2} }\dot{V}$


Strömung um Kugeln





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-034.eps}
Strömung um eine Kugel




Die Kugel hat im Abstand $ r$ keinen Einfluss mehr auf die Strömung

$\displaystyle \Rightarrow\hspace{1cm}-\frac{dv}{dz}\sim\frac{v}{r}$

Oberfläche: $ 4\pi r^{2}$

$\displaystyle F\approx\eta\frac{dv}{dz}\cdot A=-\eta\frac{v}{r}4\pi r^{2}\sim-4\pi\eta vr
$

Genauer erhält man

$\displaystyle F=-6\pi\eta vr$ (2.116)

das Stokes-Gesetz.


Das Navier-Stokes-Gesetz, Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit

Das Navier-Stokes-Gesetz, die Bewegungsgleichung für viskose Medien lautet

$\displaystyle \rho\frac{d\vec{v}}{dt}$ $\displaystyle = \rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\textrm{grad} {}\frac{\vec{v}^2}{2}-\vec{v}\times\textrm{rot} {}\vec{v}\right)$ (2.117)
  $\displaystyle = \vec{F}_V -\textrm{grad} {}p +\eta \Delta \vec{v}+\left(\zeta+\frac{\eta}{3}\right) \textrm{grad} {}\textrm{div} {} \vec{v}$    
  $\displaystyle = \vec{F}_V-\textrm{grad} {}p -\eta \textrm{rot} {}\left(\textr...
...ght)+\left(\zeta+\frac{4\eta}{3}\right)\textrm{grad} {}\textrm{div} {}\vec{v}$    

wobei $ \eta$ die Scherviskosität, $ \zeta$ die Volumenviskosität, $ \vec{F}_V$ die Volumenkraft (siehe Gleichung (2.57) ), $ \vec{v}$ das Geschwindigkeitsfeld und $ \rho$ die Dichte der Flüssigkeit ist.

Die Volumenviskosität kommt von der Dissipation beim Komprimieren oder Expandieren von Flüssigkeiten oder Gasen. Wenn wir eine Volumenelement $ dxdydz$ betrachten, so messen wir neben der statischen Druckkraft

$\displaystyle p\; \vec{n}= \frac{F}{A}$

noch eine dynamische Spannung

$\displaystyle \sigma^*\;\vec{n}= \frac{F^*}{A}=-\zeta\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}\;\vec{n}= -\zeta\left(\frac{d}{dt}\ln\rho\right)\vec{n}$

Die Einheit der Volumenviskosität oder zweiten Viskosität ist $ [\zeta]=\frac{kg}{m s}= [\eta]$.

In Spezialfällen vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung.

Reibungslose Medien
Hier ist $ \eta = 0$ und $ \zeta = 0$. Die Navier-Stokes-Gleichung vereinfacht sich zu

$\displaystyle \rho\frac{d\vec{v}}{dt}$ $\displaystyle = \rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\textrm{grad} {}\frac{\vec{v}^2}{2}-\vec{v}\times\textrm{rot} {}\vec{v}\right)$ (2.118)
  $\displaystyle = \vec{F}_V -\textrm{grad} {}p$    

Inkompressible Medien
Hier ist $ \textrm{div} {} \vec{v}=0$. Die Navier-Stokes-Gleichung wird also

$\displaystyle \rho\frac{d\vec{v}}{dt}$ $\displaystyle = \rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\textrm{grad} {}\frac{\vec{v}^2}{2}-\vec{v}\times\textrm{rot} {}\vec{v}\right)$ (2.119)
  $\displaystyle = \vec{F}_V -\textrm{grad} {}p +\eta \Delta \vec{v}$    
  $\displaystyle = \vec{F}_V-\textrm{grad} {}p -\eta \textrm{rot} {}\left(\textrm{rot} {} \vec{v}\right)$    

Da das Volumen sich nicht ändert, hat die Volumenviskosität keinen Einfluss.
Potentialströmungen inkompressibler Flüssigkeiten
Hier gilt $ \textrm{div} {} \vec{v}=0$ und $ \textrm{rot} {} \vec{v}=0$. Ebenso verschwindet die partielle Ableitung nach der Zeit. Die Navier-Stokes-Gleichung wird zu

$\displaystyle \rho\frac{d\vec{v}}{dt}$ $\displaystyle = \rho \textrm{grad} {}\frac{\vec{v}^2}{2}$ (2.120)
  $\displaystyle = \vec{F}_V -\textrm{grad} {}p$    

Dies ist auch die Bernoulli-Gleichung.
Potentialströmung
Hier gilt $ \textrm{rot} {} \vec{v}=0$. Ebenso verschwindet die partielle Ableitung nach der Zeit. Die Navier-Stokes-Gleichung wird zu

$\displaystyle \rho\frac{d\vec{v}}{dt}$ $\displaystyle = \rho\left(\textrm{grad} {}\frac{\vec{v}^2}{2}\right)$ (2.121)
  $\displaystyle = \vec{F}_V-\textrm{grad} {}p +\left(\zeta+\frac{4\eta}{3}\right)\textrm{grad} {}\textrm{div} {}\vec{v}$    


Prandtl-Grenzschicht





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-035.eps}
Prandtl-Grenzschicht




Reibungskraft: $ F_{R}=\eta A\frac{V}{D}$

Verschieben um $ \ell$:

$\displaystyle W=F_{R}\cdot\ell=\eta A\frac{V}{D}\ell$ (2.122)

Kinetische Energie in der Grenzschicht:

$\displaystyle E_{kin}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{D}A\rho dz\left( v\cdot\frac{z}{D} ^{2}\right) =\frac{1}{6}A\rho v^{2}D$ (2.123)

mit $ W=E_{kin} $wird$  $

$\displaystyle D=\sqrt{\frac{6\eta l}{\rho v}}
$

Reynolds-Kriterium

$\displaystyle D$ $\displaystyle \ll\ell$    
  $\displaystyle \Rightarrow\frac{\ell}{D}\gg1$    
$\displaystyle \sqrt{\frac{\rho v\ell^{2}}{6\eta l}}$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{\rho v\ell}{6\eta}}\gg1$ (2.124)

$\displaystyle \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A \mathc...
.../''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits =\frac{\rho v\ell}{\eta}\gg1$ (2.125)

dabei ist $ \ell$ eine typische Dimension und $ v$ die mittlere Geschwindigkeit.

wenn


Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl. $ Re_{krit}$ mit

$\displaystyle \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A\mathcode\lq \-''2D\mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits$ $\displaystyle >\mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A\mathc...
...mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits _{krit}\Rightarrow$turbulent    
$\displaystyle \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A\mathcode\lq \-''2D\mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits$ $\displaystyle <\mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A\mathc...
...mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits _{krit}\Rightarrow$laminar (2.126)

Bem. Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich $ \Rightarrow$ Windkanal

Bei $ D\ll l$ ist $ F_{R}=\eta A\frac{V}{D}=A\sqrt{\frac{V^{3}\eta\rho}{l}}$

$ F_{R}$ ist etwa der Mittelwert aus

\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}[c]{c}
\text{Stokes}\sim\eta v\ell\text{...
...ent, zu gross}
\end{array}\right\} \text{f{\uml u}r Flugzeuge}
\end{displaymath}


Strömung idealer Flüssigkeiten





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-036.eps}
Ideale Strömung




ideal: keine Reibung, laminar


Volumenerhaltung: $ A_{1}\Delta x_{1}=A_{2}\Delta x_{2}=\Delta V$

Arbeit: $ \Delta W_{1}=p_{1}A_{1}\Delta x_{1}$

$\displaystyle \Delta W_{2}=p_{2}A_{2}\Delta x_{2}$

Energiebilanz: $ \Delta W=\Delta W_{1}-\Delta W_{2}=\Delta E_{kin}$

$\displaystyle \left( p_{1}-p_{2}\right) \Delta V=\frac{1} {2}\rho\Delta V\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) $

also

$\displaystyle p+\frac{1}{2}\rho v^{2}=p_{0}=const$ (2.127)

Dies ist die Bernoulli-Gleichung.

Ist die Flüssigkeit im Gravitationsfeld, muss noch $ \rho gh$ berücksichtigt werden (allg. $ W_{pot})$

Anwendungen

Manometer

$ _{}$





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-037.eps}
Manometer




Ein Manometer misst nur den statistischen Druck

Prandtlsches Staurohr

$ _{}$





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-038.eps}
Prandtlsches Staurohr




$\displaystyle p_{0}-p=\frac{1}{2}\rho v^{2}$ (2.128)

Strömung aus einem Loch

$ _{}$





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-039.eps}
Ausströmen aus einem Loch. Der äussere Druck $ p_0$, der ja überall gleich ist, wurde vernachlässigt.




$\displaystyle \frac{1}{2}\rho v^{2}$ $\displaystyle =p$    
$\displaystyle v$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{2p}{\rho}}$ (2.129)

Wenn der Druck $ p$ ein Schweredruck ist, gilt

$\displaystyle p=\rho gh$

Es folgt

$\displaystyle v=\sqrt{2gh}$

Wenn $ v>\sqrt{\frac{2p_{0}}{\rho}}=v_{k}$ wird der statische Druck $ <0$. Negative Drucke können nicht existieren. Das System reagiert mit einer Dampfbildung (Kavitation).

Strömungswiderstand





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-040.eps}
Stromlinie




Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Widerstand (Paradoxon von d'Alembert).





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-041.eps}
Reales Bild einer Wirbelstrasse




Def. Wirbel: Wenn ein Boot auf einem geschlossenen Weg angetrieben wird

Def. Zirkulation :

$\displaystyle \Gamma=\oint\vec{v}d\vec{s}=\int \textrm{rot} {} \vec{v }d\vec{a}\neq0$ (2.130)





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-042.eps}
Potentialwirbel




$\displaystyle v_{r}$ $\displaystyle =0$ (2.131)
$\displaystyle v_{\varphi}$ $\displaystyle =\frac{\Gamma}{2\pi r}$ (2.132)

Beim Potentialwirbel gilt:

\begin{displaymath}
\begin{array}[c]{c}
\textrm{rot} {} \vec{v=0 }\text{f{\um...
...textrm{rot} {} \vec{v\neq0}\text{ f{\uml u}r }r=0
\end{array}\end{displaymath}

Für $ r\neq 0$ existiert also ein Geschwindigkeitspotential $ \phi=\frac{\Gamma}{2\pi}\varphi$

Druck und Druckgradient

Nach Bernoulli gibt es einen Radius $ r_0$, bei dem der dynamische Druck negativ würde. $ r_0$ ergibt sich zu

$\displaystyle p$ $\displaystyle =p_{0}-\frac{1}{2}\rho v^{2}=p_{0}-\rho\frac{\Gamma^2}{8\pi^{2} }\cdot\frac{1}{r^{2}}$    
$\displaystyle p$ $\displaystyle =0$   für$\displaystyle  r_{0}=\frac{\Gamma}{2\pi}\left( \frac{\rho}{2p_{0} }\right) ^{\frac{1}{2}}$ (2.133)

d.h. für $ r<r_{0}$ ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.

Volumenkraft

$\displaystyle \vec{F}_{V}=-\textrm{grad} {}p=-\rho\frac{\Gamma^{2}}{4\pi^{2}}\frac{\vec{r}}{r^{4}}$ (2.134)

(nach innen gerichtet)

Helmholtzsche Wirbelsätze





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-043.eps}
Helmholtzsche Wirbelsätze




In Wirbeln gelten die folgenden Gesetze:

1. Wirbelsatz
Im Inneren eines Gases oder einer Flüssigkeit können keine Wirbel beginnen.
2. Wirbelsatz
Wirbel enthalten zu jeder Zeit die gleichen Teilchen
3. Wirbelsatz
Die Zirkulation

$\displaystyle \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{s}$ (2.135)

ist für jeden Wirbelquerschnitt $ Q$ senkrecht zum Wirbelfaden konstant.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm