Unterabschnitte

Wärmeenergie und Temperaturen

Beobachtung: potentielle Energie oder kinetische Energie kann in Wärme umgewandelt werden (Beispiel. Versuch TH 110)

Beobachtung: Gase bestehen aus einzelnen Teilchen $ m_{i}$. In Festkörpern laufen hochfrequente Schallwellen (Phononen)

Behauptung: Wärmeenergie ist kinetische Energie der Teilchen

Mittlere Energie ist $ \bar{E}=\frac{1}{2}m \bar{v}^{2}$ für alle Teilchen gleich, unabhängig von $ m:=\frac{1}{2}m\left<v^{2}\right>_{t}$

$ \rightarrow$ Stossprozesse gleichen die Energie aus.


Gleichverteilungsatz





\includegraphics[width=0.7\textwidth,keepaspectratio=true]{waerme-001.eps}
Wahrscheinlichtkeitsdichte und Anzahl Teilchen in einem Energieintervall




Sei $ f\left( E\right) $ die Energieverteilungsfunktion d.h. in $ \left(
E,E+dE\right) $ gibt es $ f\left( E\right) dE$ Teilchen.

Stoss eines Teilchens aus $ \left( E_{1}E_{1}+dE\right) $ mit $ \left(
E_{2}E_{2}+dE\right) $

Wahrscheinlichkeit $ f\left( E_{1}\right) \cdot f\left( E_{2}\right) $

danach sind die Teilchen in $ \left( E_{1}',E_{1}'+dE\right) $ und $ \left(
E_{2}',E_{2}'+dE\right) $

Gleichgewicht, wenn Stösse in beide Richtungen gleich wahrscheinlich sind:

als $ f\left( E_{1}\right) \cdot f\left( E_{2}\right) =f\left( E_{1}'\right)
\cdot f\left( E_{2}'\right) $

Energieerhaltung: $ E_{1}+E_{2}=E_{1}'+E_{2}'$

$ E_{1}'$ ist aber beliebig also muss

$ f\left( E_{1}\right) \cdot f\left( E_{2}\right) =f\left( E_{1}+E_{2}\right) $

$ \Rightarrow f\left( E_{1}\right) =A_{e}^{-\frac{E_{1}}{B}}\qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad (-da f\left( \infty \right) =0)$

B ist der Mittelwert der Energie, für alle gleich

$ \Rightarrow$ Boltzmannverteilung

Temperatur: Mass für die mittlere kinetische Energie

$ E_{translation}=\frac{1}{2}m\bar{v}^{2}=\frac{3}{2}kT$

k: Boltzmannkonstante                  $ k=1,381\cdot 10^{-23}\frac{J}{k}$

Temperatur (gemessen in Kelvin)

Konsequenz: es gibt einen absoluten Temperaturnullpunkt

Anwendung: $ \sqrt{\bar{v}^{2}}=v_{th}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:$ Ausströmgeschwindigkeit ins Vakuum.

Bem. Schallgeschwindigkeit: $ c<v_{th}$


Thermometer

Üblicherweise wird die Länge eines Stoffes zur Temperaturänderung gemessen

$\displaystyle l=l_{0}\left( 1+\alpha T\right)$ (3.136)

$ \alpha :$Ausdehnungskoeff.

$ \alpha \sim 10^{-6}-10^{-5}\frac{1}{K}$

Freiheitsgrade:

Bewegung im Raum $ \Rightarrow$3 Koordinaten $ \Rightarrow$ 3 Freiheitsgrade

Rotation                         $ \Rightarrow$ 3 Eulerwinkel $ \Rightarrow$ 3 Freiheitsgrade (wenn >1 Atom im Molekül)

Schwingungen         $ \Rightarrow$ weitere Freiheitsgrade


Das Argument mit dem Stössen gilt auch zwischen den Freiheitsgraden, d.h. die mittlere Energie / Freiheitsgrad ist gleich Äquipartitionsgesetz.


$\displaystyle E_{Freiheitsgrad}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}kT \notag$ (3.137)
$\displaystyle E_{Molek\ddot{u}l}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f}{2}kT$ (3.138)

f: Anzahl Freiheitsgrade


Wärmekapazität

Energie pro Molekül: $ E_{mol}=\frac{f}{2}kT$

Energie für Temperaturerhöhung $ \Delta E_{mol}=\frac{f}{2}k\Delta T$

Anzahl Moleküle der Masse m im Körper des Masse M: $ n=\frac{M}{m}$

also $ \Delta E=\frac{M}{m}\frac{f}{2}k\Delta T=C\Delta T$

Wärmekapazität $ C_{v}=\frac{Mf}{2m}k$

spezifische Wärmekapazität $ C_{v}=\frac{fk}{2m}$

Mol: $ N_{A}=6,022\cdot 10^{23}\frac{Teilchen}{mol}$

molare Wärmekapazität: $ C_{vmol}=N_{A}\frac{f}{2}k$

mit f=6 (z.B. Festkörper)

$\displaystyle C_{vmol}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3N_{A}k=25\frac{J}{mol K}$ (3.139)
    $\displaystyle Dulong Petit$  

Bei Gasen unterscheidet man: $ C_{v}\qquad (v=const)$

                                                                 $ C_{p}\qquad
(p=const)$

$ C_{p}$ enthält die Kompressionsarbeit


Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm