Kinetische Gastheorie


Gase bestehen aus einzelnen Teilchen, die sich ungeordnet bewegen

1. Teilchen: $ \vec{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right) \qquad \qquad
v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$

                         $ x-Komponente:v_{x}$

                         Da x,y,z gleichwertig, ist $ \left<v_{x}^{2}\right>=\left<v_{y}^{2}\right>=\left<v_{z}^{2}\right>$

                         also $ v^{2}=3\left<v_{x}^{2}\right>$

                         Impulsänderung der Wand $ \Delta p=2mv_{x}$

                         Anzahl Teilchen die in x-Richtung fliegen: $ n=\frac{N
}{V}Teilchendichte$


$ dz=n\cdot A\cdot v_{x}dt\qquad \qquad $Anzahl Teilchen


Totale Impulsänderung: $ dp=2mv_{x}dz=2mv_{x}nAv_{x}dt$

$ \frac{dp}{dt}=F=2mnAv_{x}^{2}$

Mittlere Kraft: $ \left<F\right>=2mnA\left<v_{x}^{2}\right>$

$ \left<v_{x}^{2}\right>$ schliesst sowohl Teilchen die nach rechts laufen wie auch solche die nach links laufen ein.

also: Druck

$\displaystyle p$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\left<F\right>_{t}}{A}=\frac{1}{3}mn\left<v^{2}\right>_{t}$  
    $\displaystyle Grundgleichung von D.Bernoulli$  

mit $ \left<E_{transl}\right>_{t}=\frac{1}{2}m\left<v^{2}\right>_{t}=\frac{3}{2}kT $ wird

$\displaystyle p=nkT$ (3.140)

Mit $ \frac{N}{V}=n\qquad $ N:Teilchenzahl, V:Volumen

erhalten wir

$\displaystyle pV=NkT$ (3.141)

Zustandsgleichung des idealen Gases.

Wichtig: in der Herleitung

Annahme: keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen, kein Eigenvolumen

mit $ R=N_{A}k=8,31\frac{J}{K {mol}}$

wir $ pV=\nu RT\qquad \qquad \nu :Molzahl$

Daraus $ p\sim V^{-1}\qquad (T=const.)\qquad Boyle-Mariotte$

                 $ p\sim T\qquad \qquad (V=const.)\qquad Gay-Lussac$

                 $ V\sim T\qquad \qquad (p=const.)\qquad Charles$


Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm