Wärmekapazität bei konstantem Druck

Volumenarbeit:

$\displaystyle \Delta V=V\frac{\Delta T}{T}$ (3.146)

Arbeit:

$\displaystyle p\Delta V=pV\frac{\Delta T}{T}=\nu RT\frac{\Delta T}{T}=\nu R\Delta T$ (3.147)

Erwärmungsarbeit:

$\displaystyle C_{V}\Delta T=\frac{1}{2}f\nu R\Delta T$ (3.148)

also

$\displaystyle C_{p}=C_{V}+R\nu =\left( \frac{f}{2}+1\right) \nu R$ (3.149)

Wärmeäquivalent:

$\displaystyle 1kcal$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4,1kJ \notag$ (3.150)
$\displaystyle 1cal$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4,1J$ (3.151)

Adiabatenexponent:

$\displaystyle \gamma =\frac{C_{p}}{C_{V}}=\frac{f+2}{f}$ (3.152)

$ \Rightarrow$ d.h. die Wärmekapazität erlaubt Aussage über die molekulare Struktur.

Bei schnellen Vorgängen ist $ dQ=0$ (Beispiel Schall)

dann gilt:

$\displaystyle C_{V_{mol}}\nu dT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -pdV \notag$ (3.153)
$\displaystyle \frac{f}{2}\nu RdT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\nu RT\frac{dV}{V}$ (3.154)

oder

$\displaystyle \frac{f}{2}\frac{dT}{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{dV}{V} \notag$ (3.155)
  $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \left( \frac{T}{T_{0}}\right) ^{-\frac{f}{2}}=\left( \frac{V}{
V_{0}}\right)$ (3.156)

oder

$\displaystyle \frac{V}{V_{0}}=\left( \frac{T}{T_{0}}\right) ^{\frac{1}{1-\gamma }}$ (3.157)

oder

$\displaystyle \frac{T}{T_{0}}=\left( \frac{V}{V_{0}}\right) ^{1-\gamma }$ (3.158)

oder mit

$\displaystyle pV$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \nu RT \notag$ (3.159)
$\displaystyle \frac{p}{p_{0}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{V}{V_{0}}\right) ^{-\gamma }$ (3.160)

und

$\displaystyle \frac{p}{p_{0}}\left( \frac{T}{T_{0}}\right) ^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}$ (3.161)

Bemerkung: Da mit der Atmosphäre keine Wärme ausgetauscht wird gilt:

$\displaystyle pV^{\gamma } = const$

und nicht

$\displaystyle pV=const$

In analoger Form ändert sich $ T$.

Prozesse werden mit Zustandsdiagrammen beschrieben:

z.B.:                  $ T\left( p,V\right) $

es gibt:         
V=const: Isochore
p=const: Isobare
T=const: Isotherme
dQ=0 Adiabate

Druckarbeit (abgegebene Arbeit):

$ \Delta W=p\Delta V$ (isobar)
$ W=U_{1}-U_{2}=C_{V_{mol}}\nu \left( T_{1}-T_{2}\right) $ adiabatisch
$ W=\int pdV=\nu RT\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V}=\nu R\psi \ln \frac{V_{2}
}{V_{1}}$ (isotherm)
$ W=0$ (isochor)


Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm